Конспект лекций - Квантовая механика Часть 1 (1183826), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Орбитальныймомент – это угловой момент, связанный с движением частицы в пространстве. Если же речь идет о собственном (внутреннем) угловом78моменте частицы (классический аналог – вращение тела вокруг собственной оси), то нет причин отказываться от полуцелых значенийуглового момента. Собственный угловой момент частицы обычно называют спином (от английского «to spin» – «вращаться»).Число j называют угловым моментом. Для любого j существуютследующие проекции углового момента:m = −j,−j + 1,...j,то есть всего 2j + 1 состояний |jmi при определенном угловом моменте j.5) Найдем λ(j).

Для этого запишем:ĵ 2 |jmi = λ(j)|jmi.Поскольку λ(j) не зависит от m, то положим m = mmax ≡ j. Тогда:jˆ2 |jji = λ(j)|jji.Ноĵ 2 |jj i = (ĵ− ĵ+ + ĵz + ĵz2 )|jj i = так как ĵ+ |jji = 0 == ĵz (ĵz + 1)|jj i = j(j + 1)|jj i.Поэтому λ(j) = j(j + 1).6) Вычислим αm и βm . Заметим, что∗αm = hjm|ĵ+ |j (m − 1)i = hĵ− jm|j (m − 1)i = hj (m − 1)|ĵ− |jmi∗ = βm.Поэтому требуется определить следующие ненулевые коэффициенты:β−j+1 ,β−j+2 ,...βj .Имеем, с одной стороны,ĵ+ ĵ− |jmi = βm ĵ+ |j (m − 1)i = |βm |2 |jmi,с другой стороны,ĵ+ ĵ− |jmi = (ĵ 2 − ĵz2 + ĵz )|jmi = (j(j + 1) − m2 + m)|jmi.79Выберем фазы векторов состояний |jmi так, чтобы αm = βm былидействительными неотрицательными числами. Тогдаppβm = j 2 + j − m2 + m = (j + m)(j − m + 1) = αm ,то естьĵ− |jmi =pĵ+ |jmi =p(j + m)(j − m + 1) |j (m − 1)i,(j − m)(j + m + 1) |j (m + 1)iили(ĵx ± iĵy )|jmi =13.2p(j ∓ m)(j ± m + 1) |j (m ± 1)i.Спиновый моментСобственный угловой момент частицы называют спиновым моментом или, просто, спином.

Спин обычно обозначают буквой s, тогда ŝ –оператор спина.1Рассмотрим частицу со спином s = . Проекция σ на выделенную2111 1ось может принимать значение либо − , либо + . Векторы |i и222 211| − i образуют полный базис в пространстве спиновых состояний22частицы. Соответственно произвольное спиновое состояние частицыпредставимо в виде суперпозицииX 11|Ψi =| σih σ|Ψi.22σ=±121По общему правилу коэффициент разложения h σ|Ψi – это амплиту2да вероятности того, что измерение проекции спина на ось z в состоянии |Ψi даст значение σ.

Набор таких амплитуд (в данном случае –набор из двух амплитуд) – это спиновая волновая функция или, иначе,спинор:1 1|Ψi h α 2 21+∗ ∗Ψ(σ) ≡ h σ|Ψi = = β , Ψ (σ) = kα β k.2 1 1 h − |Ψi 2 2Условие нормировки имеет вид:Ψ+ Ψ = |α|2 + |β|2 = 1.80Найдем вид спиновых операторов в пространстве базисных векто1ров | σi. По общему правилу операторы принимают вид матриц:211ŝx → (ŝx )σσ0 = h σ|ŝx | σ 0 i,2211ŝy → (ŝy )σσ0 = h σ|ŝy | σ 0 i,2211ŝz → (ŝz )σσ0 = h σ|ŝz | σ 0 i.22Напомним, что базисные векторы |sσi, где s =ными векторами операторов ŝ2 и ŝz :(1, являются собствен2ŝ2 |sσi = s(s + 1)|sσi,ŝz |sσi = σ|sσi.Тогда для матричного оператора ŝz получим:111 1ŝz = h σ|ŝz | σ 0 i = 222 00 ≡ 1 σz .−1 2Аналогичным образом, пользуясь полученными выше соотношениямидля операторов повышения ŝ+ и понижения ŝ− , для матричных операторов ŝx и ŝy находим:11 ŝ+ + ŝ− 1 01| σi=ŝx = h σ|ŝx | σ 0 i = h σ|222221 11 01 11 010= h σ|ŝ+ | σ i + h σ|ŝ− | σ i = 2 222 222 11 ≡ 1σ ,0 2 x111 ŝ+ − ŝ− 1 0ŝy = h σ|ŝy | σ 0 i = h σ|| σi=2222i2=1 111 111 0h σ|ŝ+ | σ 0 i − h σ|ŝ− | σ 0 i = 2i 222i 222 iМатрицы σx , σy , σz называются матрицами Паули.81−i ≡ 1σ .0 2 yЛекция 1414.1КвазиклассическоеприближениеОписание движения в классической механикеU (x)6Ep22m6?6U?x1x2xРассмотрим одномерное движение частицы с полной энергией E впотенциальной яме U (x).

Имеемp2+ U (x),2mпоэтому для зависимости импульса от координаты получимpp (x) = ± 2m(E − U (x)), U (x) ≤ E.E=Знаки ”±” соответствуют движению вдоль и против оси Ox междуточками поворота x1 и x2 (x1 ≤ x ≤ x2 ). Точки поворота определяютсяусловиемU (x1 ) = U (x2 ) = E.14.2Описание движения в квантовой механикеСтационарное уравнение Шредингера имеет вид2(p (x))~2 00ψ (x) + U (x)ψ(x) = Eψ(x) ⇒ ψ 00 (x) +ψ(x) = 0,2m~2гдеpp (x) ≡ 2m(E − U (x)).−Пусть U = const, тогда p = const, и волновая функция выглядит следующим образом:ψ(x) ∼ e±ipx~ ,если U < E,82иψ(x) ∼ e14.3±|p|x~ ,если U > E.Описание движения в квантовой механике вквазиклассическом приближенииЗаметим, что с ростом E увеличивается число осцилляций ψ(x).Рассмотрим характерную длину осцилляции (если p = const, то λ –длина волны де Бройля):λ=2π~pили λ ≡λ~= .2πpУсловие применимости квазиклассического приближения: λ a, гдеa – характерная длина изменения потенциала U (x).

Если это условиевыполненно, то потенциал слабо меняется на расстояниях порядка λ(на расстояниях порядка λ его можно считать постоянным). Если записать волновую функцию в формеψ(x) ∼ eiσ(x) ,тоpaapx∼= 1.~~λРассмотрим три этапа построения решения в квазиклассическомприближении.1) Ищем ψ(x) в виде ψ = Ceiσ(x) . Тогдаσ(x) ∼ψ 0 = iσ 0 Ceiσ ,ψ 00 = −(σ 0 )2 Ceiσ + iσ 00 Ceiσ(x) .Подставляя ψ 00 в уравнение Шредингера и сокращая Ceiσ(x) , получимуравнение на σ(x):p2−(σ 0 )2 + iσ 00 + 2 = 0~или2(p (x))iσ 00 (x) − (σ 0 (x))2 = −.~2a2) Выше было замечено, что в пределе λ a имеем: σ ∼ 1.λТогдаσ1aσ1 aσ0 ∼ ∼, σ 00 ∼ 2 ∼ 2 .aaλaa λ83a 1, имеем:λ1 a 21 a(σ 0 (x))2 ∼ 2 2 ∼ σ 00 (x).a λa λПоэтому, в силу того чтоСледовательно в пределе λ a в точном уравнении для σ(x) в левойчасти доминирует второе слагаемое.3) Ищем решение уравнения для σ(x) методом разложения в рядλпо малому параметру 1:aσ(x) = σ0 (x) + σ1 (x) + σ2 (x) + .

. . ,гдеaλ, σ1 (x) ∼ 1 , σ2 (x) ∼ 1 ,λaПодставляя это разложение в уравнение, находим:σ0 (x) ∼...2iσ000 (x) + iσ100 (x) + iσ200 (x) + . . . − (σ00 (x) + σ10 (x) + σ20 (x) + . . .)2 = −(p (x)).~2Заменяя слагаемые этого уравнения порядковыми оценками, запишем: 1 a11 λ∼ 2+ ∼ 2 + ∼ 2+ ... −a λaa a 21a11λp2−∼+ ∼+ ∼+ ... ∼ − 2 .aλaaa~Собирая слагаемые одинаковых порядков малости, получим:2p (x)1 a 202: −(σ0 (x)) = −, уравнение на σ0 (x),a2 λ~1 a: iσ000 (x) − 2σ00 (x)σ10 (x) = 0 , уравнение на σ1 (x),a2 λ...a) Решаем уравнение на σ0 (x):σ00 (x)p(x)=±~Zx⇒σ0 (x) = ±x084p (x0 ) 0dx .~б) Решаем уравнение на σ1 (x):2σ00 (x)σ10 (x) = iσ000 ,0 qiσ000 (x)i000== (ln |σ0 (x)|) = i ln |σ0 (x)| ,2σ00 (x)2r|p (x)|σ1 (x) = i ln+ C1 .~σ10 (x)λПолучаем, что с точностью до малых поправок σ2 ∼ 1 волноваяaфункция имеет следующий вид :±iψ(x) ' Ceiσ0 (x)+iσ1 (x) = CeRx p (x0 )dx0~x0re− ln|p (x)|+iC1~.Окончательно в квазиклассическом приближении находим:ψ(x) = p±iC|p (x)|Rx p (x0 )dx0~x0e.U (x)6ψ1ψ2ψ3E123x1x2xПусть имеется произвольная потенциальная яма U (x).

Рассмотримпроцедуру построения в квазиклассическом приближении волновойфункции ψ(x) состояния с энергией E. В классически запрещеннойобласти x < x1 (левее левой точки поворота) имеемψ1 (x) = p−A|p (x)|85exR1x|p (x0 )|dx0~,в классически разрешенной области x1 < x < x2 имеемBψ2 (x) = pep (x)−iRx p (x0 )dx0~x1Cie+pp (x)Rx p (x0 )dx0~x1,наконец, в классически запрещенной области x > x2 (правее правойточки поворота) имеемψ3 (x) = p−D|p (x)|eRx |p (x0 )|dx0~x2.Ясно, что в области x1 < x < x2 амплитуды слагаемых волновойфункции, отвечающих движению вдоль и против оси Ox, по модулюодинаковы, т.е. |B| = |C|.

Поэтому ψ2 (x) может быть записана и втакой форме: xZ0Cp (x ) 0ψ2 (x) = pdx + γ sin ~p (x)x1или xZ20C0p(x)ψ2 (x) = psin dx0 + γ 0  .~p (x)x14.4Точки поворотаДалее неизбежно возникает проблема: в окрестностях точек поворота x1 и x2~p (x) → 0 ⇒ λ =→ ∞,pλто есть условие 1 нарушается. Таким образом, в окрестности тоaчек поворота квазиклассическое приближение заведомо неприменимо.Следовательно невозможно непосредственным образом связать другс другом функции ψ1 и ψ2 в окрестности x1 , так же как ψ2 и ψ3 вокрестности x2 .Для решения этой проблемы воспользуемся линейной апроксимацией U (x) в окрестностях точек x1 и x2 . Например, в окрестности x2имеемU (x) ' U (x2 ) + (x − x2 )U 0 (x2 ) = E + (x − x2 )F,86где F = U 0 (x2 ) > 0.

Тогдаpppp = 2m(E − U ) = −2mF (x − x2 ) = −2mF y,где y = x − x2 . Уравнение Шредингера принимает вид:ψ 00 +p2ψ=0~2⇒d 2 ψ 2mF−y ψ(y) = 0dy 2~2илиψ 00 (ξ) − ξψ(ξ) = 0,1/32mFy – безразмерная координата. Решением данного~2уравнения, затухающим при ξ → ∞, является функция Эйри.~pИз условия λ = a и оценки p 0 ∼получим формальноеpaопределение квазиклассического предела: 0 ~p p 2 1.qПодставляя p (y) = −2mF y в это условие, находимгде ξ =q1 ~ −2mF y −2mF 2 √y 1или 1 2 ξ 3/2 1⇒⇒~1 q13/2 2 2mF y |ξ| 1.Таким образом, в области, где становится справедливым квазиклассическое приближение, можно воспользоваться асимптотиками функцииЭйри.Методом перевала (стационарной фазы) получаются следующиерезультаты для асимптотик функции Эйри:2− ξ 3/213,ξ → +∞, 2 ξ 1/4 eψ(ξ) →12 3/2 πsin|ξ| +, ξ → −∞.34|ξ|1/487Исследуем поведение ψ2 (x) при x ∼ x2 (но x < x2 ) :Zx2xp (x0 ) 0dx '~r=−Zx2q2mF (x2 − x0 )r0dx =x~2mF~2Zx2 px2 − x0 dx0 =xx2r2 2mF22mF 20 3/2 (x2 − x ) =(x2 − x)3/2 ≡ |ξ|3/2 .~2 33~23xТаким образом, сравнивая xZ20C0p(x)ψ2 (x) = psin dx0 + γ 0 ~p (x)xв области, где x приближается к x2 (но x < x2 ), с асимптотикой функции Эйри (ξ → −∞), получимγ0 =т.е.π,4 xZ20p(x)πC00sin dx +  .ψ2 (x) = p~4p (x)xВыполняя точно такой же анализ для области x ∼ x1 (но x > x1 ),находимψ2 (x) = pCp (x)Zxsin x188p (x0 ) 0 π dx +.~414.5Энергии дискретных уровнейПонятно, что заданной энергии E должна соответствовать единственная функция ψ(x), т.е.

обе построенные нами функции ψ2 (x)должны тождественно совпадать в области от x1 до x2 . Запишем цепочку равенств: xZ20p (x ) 0 π dx +=ψ2 ∼ sin ~4xZx2= sin x1p (x ) 0dx −~Zx= − sin x10Zx= − sin x10Zxx1p (x ) 0dx −~0p (x ) 0 π dx +=~4Zx2x10p (x ) 0 π =dx −~4 xZ2p (x)π p (x0 ) 0 π dx + −dx +.~4~2x1Отсюда видно, что обе построенные нами функции ψ2 (x) совпадают,еслиZx2p (x)πdx + = π(n + 1), n = 0, 1, . . .~2x1илиZx21p (x)dx = π~ n +2,n = 0, 1, . . .x1Этот результат называют правилом Бора–Зоммерфельда; его обычно записывают в форме:I1p (x)dx = 2π~ n +.2Правило Бора–Зоммерфельда определяет уровни энергии E в потенциальной яме U (x).

Подчеркнем, что оно получено в квазиклассическом приближении (т.е. при условии λ a). Таким образом, строгоговоря, правило Бора–Зоммерфельда определяет энергии состояний,соответствующих n 1.8914.6Проницаемость барьераИспользуя квазиклассическое приближение, можно также рассмотреть задачу о прохождении частицы с энергией E сквозь широкийпотенциальный барьер U (x) (E ≤ U (x) при a ≤ x ≤ b). В квазиклассическом приближении вероятность прохождения сквозь потенциальныйбарьер определяется формулойT 'e−2 Rb|p (x)|dx~a,где|p (x)| =p2m(U (x) − E) .90.

Характеристики

Список файлов книги