Конспект лекций - Квантовая механика Часть 1 (1183826), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В области локализации частицы волновая функцияхорошо апроксимируется волной де Бройля.2.2Свойства волн де БройляВ процессе вычисления интеграла от квадрата модуля |Ψ(x, t)|2волнового пакета мы получили+∞+∞0ZZ(p−p 0 )xi1 i (E −E)t∗~~Ψp 0 (x, t)Ψp (x, t)dx =edx =e2π~−∞ −∞+∞Z(p−p 0 )x0ip−p~= т. к.edx = 2πδ= 2π~ δ(p − p 0 ) =~=ei−∞(E 0 −E)t~δ(p− p 0 ) = δ(p − p 0 ).Этот результат называется условием нормировки волн де Бройля наδ-функцию,+∞ZΨ∗p 0 (x, t)Ψp (x, t)dx = δ(p − p 0 ).−∞Замечание. Если p = p 0 , то правая часть обращается в бесконечность.
В этом смысле, как уже ранее было указано, интеграл отквадрата модуля волны де Бройля не сходится.Замечание. Волна де Бройля Ψp – это волновая функция состояния, которое не может быть осуществлено (состояние свободного движения частицы со строго определенным импульсом p). Поэтому нетпричин беспокоиться по поводу того, что волна де Бройля не можетбыть нормирована на единицу.10Аналогично, в силу того, что p и x входят в волну де Бройля симметрично, справедливо+∞ZΨ∗p (x 0 , t)Ψp (x, t)dp = δ(x − x 0 ).−∞Это условие называется «условием полноты».
Смысл названия будетясен из дальнейшего.2.3Амплитуда C(p)По известной C(p) можно построить волновую функцию Ψ(x, t),+∞ZΨ(x, t) =C(p)Ψp (x, t)dp.−∞Легко понять, что, зная Ψ(x, t), можно найти соответствующуюей C(p), так как C(p) – это, по существу, фурье-образ волновой функции Ψ(x, t). Действительно, +∞+∞+∞ZZZΨ∗p 0 (x, t)Ψ(x, t)dx =C(p) Ψ∗p 0 (x, t)Ψp (x, t)dx dp = C(p 0 ).−∞−∞−∞Таким образом,+∞ZC(p) =Ψ∗p (x, t)Ψ(x, t)dx.−∞2.4Вычисление средних значенийПо определению волновой функции |Ψ(x, t)|2 dx – это вероятностьнайти частицу в интервале от x до x + dx. Тогда среднее значениекоординаты есть+∞Zhxi =x |Ψ(x, t)|2 dx.−∞Аналогично+∞Zhpi =p |C(p)|2 dp.−∞11Преобразуем это выражение:+∞+∞ZZ2hpi =p |C(p)| dp =p C ∗ (p) C(p)dp =−∞+∞Z−∞ +∞ZpΨp (x, t)Ψ∗ (x, t)dx C(p)dp ==−∞−∞∂= т. к.
p Ψp (x, t) = −i~ Ψp (x, t) =∂x +∞+∞ZZ ∂Ψ(x,t)p=Ψ∗ (x, t) C(p)dp dx =−i~∂x−∞−∞+∞+∞ZZd=Ψ∗ (x, t) −i~C(p)Ψp (x, t)dp dx =dx−∞+∞Z−∞d∗Ψ (x, t) −i~ Ψ(x, t) dx.dx=−∞Таким образом, мы получили формулу для определения hpi, в которуювходит непосредственно волновая функция Ψ(x, t).Выпишем полученные соотношения:hxi =+∞ZΨ∗ (x, t)(x̂ Ψ(x, t))dx,x̂ = x,−∞+∞ZΨ∗ (x, t)(p̂ Ψ(x, t))dx,hpi =p̂ = −i~d.dx−∞Мы получили вид оператора координаты x̂ и оператора импульса p̂.Замечание. При переходе от классической к квантовой механикемы теряем однозначность определения x, p, . . . , но приобретаем взаимосвязи между этими физическими величинами.
В классической физике траектория и импульс точно определены и не связаны друг сдругом. В квантовой механике как траектория, так и импульс точно не определены, но их распределения (амплитуды вероятностей –Ψ(x, t) и C(p)) связаны друг с другом.122.5Постановка задачи на собственные функции исобственные значения операторовДля волны де Бройля справедливоp̂ Ψp (x, t) = p Ψp (x, t).Задача о поиске функций Ψf (q), удовлетворяющих уравнению общеговидаF̂ Ψf (q) = f Ψf (q),называется задачей о нахождении собственных функций Ψf (q) и отвечающих им собственных значений f оператора F̂ .
Набор всех значений {f } называется спектром оператора F̂ .Если спектр дискретен, т.е. {f } = f1 , f2 , . . . , fn , . . . , то используется обозначение Ψfn (q) = Ψn (q). ТогдаF̂ Ψn (q) = fn Ψn (q).Однако спектр может быть и непрерывной величиной. В частности,спектром оператора импульса p̂ является вся действительная ось, т.е.p ∈ (−∞, +∞).Лекция 33.1Постулаты квантовоймеханикиОбозначения и определенияВведем обозначения для описания произвольных квантовых систем.Пусть (q1 , q2 , · · · , qn ) ≡ q – конфигурационное пространство (пространство действительных обобщенных координат физической системы). ИнтегралZΦ∗ (q)Ψ(q)dq ≡ hΦ|Ψi = hΨ|Φi∗называется проекцией Ψ на Φ. Если hΦ|Ψi = 0, то говорят, что Φ и Ψортогональны.13Тогда в новых обозначениях основные соотношения запишутся следующим образом:hΨ|Ψi = 1− условие нормировки на единицу,hΨp 0 |Ψp i = δ(p − p 0 ) − условие нормировки на δ-функцию,hΨp |Ψi = C(p)− импульсная амплитуда вероятности,hpi = hΨ|p̂ Ψi− средний импульс,hxi = hΨ|x̂ Ψi− средняя координата.В общем случаеhΦ|F̂ Ψi =RΦ∗ (q)(F̂ Ψ(q))dq,RhĜΦ|Ψi = (ĜΦ(q))∗ Ψ(q)dq,где hΦ|F̂ Ψi ≡ hΦ|F̂ |Ψi – матричный элемент F̂ по Φ и Ψ.
ВеличинаhΨ|F̂ Ψi называется диагональным матричным элементом.Определение: F̂ + – оператор, эрмитово сопряженный по отношению к F̂ на множестве функций Ω, еслиhΦ|F̂ Ψi = hF̂ + Φ|Ψi для ∀ Φ, Ψ ∈ Ω.Определение: Если F̂ + = F̂ , то F̂ – самосопряженный или эрмитовый оператор.Если F̂ – эрмитовый оператор, тоhΨ|F̂ Ψi = hF̂ + Ψ|Ψi = hΨ|F̂ + Ψi∗ = hΨ|F̂ Ψi∗ ,т.е. все диагональные матричные элементы hΨ|F̂ Ψi действительны.Определение: F̂ называют линейным на множестве функций Ω,еслиF̂ (c1 Ψ1 + c2 Ψ2 ) = c1 F̂ Ψ1 + c2 F̂ Ψ2 ,3.2∀ Ψ1 , Ψ2 ∈ Ω,∀ c1 , c2 ∈ C.Постулаты и их следствияТеперь сформулируем 4 постулата квантовой механики и получимнекоторые следствия из них.14I постулат. Пусть произвольной системе соответствует конфигурационное пространство q = (q1 , .
. . , qn ). Система полностью описывается волновой функцией Ψ(q, t) такой, что |Ψ(q, t)|2 dq есть вероятностьобнаружить систему в dq в момент времени t.Потребуем для волновой функции (условие нормировки):Z|Ψ(q, t)|2 dq = 1 ⇔ hΨ|Ψi = 1.II постулат. Принцип суперпозицииа) Если Ψ1 (q, t) – волновая функция состояния 1, а Ψ2 (q, t) – волновая функция состояния 2, то c1 Ψ1 (q, t) + c2 Ψ2 (q, t) – это волноваяфункция некоторого нового состояния, где c1 и c2 – произвольные (сточностью до условия нормировки) комплексные числа.б) Если измерение в состоянии 1 дает результат 1, а измерениев состоянии 2 дает результат 2, то измерение в суперпозиции этихсостояний дает либо результат 1, либо результат 2.III постулат. Каждой физической величине F сопоставляется линейный и эрмитовый оператор F̂ .
Измерение величины F дает одноиз собственных значений оператора F̂ . Если состояние системы описывается собственной функцией Ψf (q) оператора F̂ , то измерение Fобязательно приводит к собственному значению f .Замечание. Пусть состояние системы описывается волновой функцией Ψf (q) – собственной функцией оператора F̂ . Тогда собственноезначение f называют квантовым числом, характеризующим данноесостояние.Следствие из II и III постулатов:Пусть Ψf1 – волновая функция состояния 1, а Ψf2 – волновая функция состояния 2, где Ψf2 и Ψf2 — собственные функции оператора F̂ ,F̂ Ψf1 (q) = f1 Ψf1 (q),F̂ Ψf2 (q) = f2 Ψf2 (q).Тогда измерение величины F в состоянии, которое описывается волновой функцией c1 Ψf1 (q, t) + c2 Ψf2 (q, t), приводит либо к значению f1 ,либо к f2 .Обратно, поскольку измерение F обязательно приводит к одному изсобственных значений, то любая волновая функция Ψ(q) представима15в виде суперпозицииΨ(q) =Xcn Ψn (q),nесли спектр F̂ дискретен, илиZΨ(q) =c(f )Ψf (q)df,если спектр F̂ непрерывен.Следовательно Ψf – полный базис, порожденный оператором F̂ .В общем случае, когда спектр оператора F̂ содержит как дискретную, так и непрерывную части, имеемZXΨ(q) =cn Ψn (q) + c(f )Ψf (q)df.nIV постулат.
Пусть Ψ(q) — волновая функция и имеется разложениеZXΨ(q) =cn Ψn (q) + c(f )Ψf (q)df.nТогда:а) измерение F дает fn с вероятностью |cn |2 ,б) измерение F дает значение в интервале (f , f + df ) с вероятностью |c(f )|2 df .Условие нормировки имеет видZX|cn |2 + |c(f )|2 df = 1.nВеличины cn и c(f ) называют амплитудами вероятности.Теперь рассмотрим некоторые следствия этих постулатов.Следствие 1.
Явные выражения для амплитудПусть имеетсяΨ(q) =XZcn Ψn (q) +c(f )Ψf (q)df,nпри этом в силу условий нормировкиZZX22|Ψ| dq = 1 =|cn | + |c(f )|2 df.n16С другой стороны, подставляя разложение для Ψ∗ (q) в нормировочныйинтеграл, получимZZX∗∗Ψ Ψdq =cn hΨn |Ψi + c∗ (f )hΨf |Ψidf.nСледовательноcn = hΨn |Ψi,c(f ) = hΨf |Ψi.Следствие 2. Условия нормировкиИз предыдущего следствияcn = hΨn |Ψi = hΨn |XZc Ψ (q) +n0n0c(f 0 )Ψf 0 (q)df 0 i =n0=XZcn0 hΨn |Ψn0 i +c(f 0 )hΨn |Ψf 0 idf 0 ,n0c(f ) = hΨf |Ψi = hΨf |XZcn0 Ψn0 (q) +c(f 0 )Ψf 0 (q)df 0 i =n0=XZcn0 hΨf |Ψn0 i +c(f 0 )hΨf |Ψf 0 idf 0 .n0СледовательноhΨn |Ψn0 i = δnn0 ,hΨf |Ψf 0 i = δ(f − f 0 ),hΨn |Ψf i = 0.Следствие 3.
Условие полнотыПодставляя в разложение волновой функции Ψ(q) по полному базису явные выражения для амплитуд , находимZXΨ(q) =cn Ψn (q) + c(f )Ψf (q)df =nZX=hΨn |ΨiΨn (q) + hΨf |ΨiΨf (q)df =nZ=XΨ∗n (q 0 )Ψn (q)Z+n17!Ψ∗f (q 0 )Ψf (q)dfΨ(q 0 )dq 0 .Отсюда получаем условие полноты базисаXΨ∗n (q 0 )Ψn (q)ZΨ∗f (q 0 )Ψf (q)df = δ(q − q 0 ).+nСледствие 4. Средние значения физических величинПусть заданы волновая функция Ψ(q) и оператор F̂ , соответствующий физической величине F . По 1-му следствию cn = hΨn |Ψi иcf = hΨf |Ψi – амплитуды вероятности получить fn и f в измерении F ,соответственно.
Тогда справедливоhF i =Xfn |cn |2 +Zf |c(f )|2 df.nДокажем, что среднее значение hF i определяется также диагональнымматричным элементомhF i = hΨ|F̂ Ψi ≡ hΨ|F̂ |Ψi.Действительно,hΨ|F̂ Ψi = hΨ|F̂X!Zc n Ψn +c(f )Ψf df i =n=XZcn hΨ|F̂ Ψn i +c(f )hΨ|F̂ Ψf idf =n=XZcn hΨ|fn Ψn i +c(f )hΨ|f Ψf idf =n=XZfn cn hΨ|Ψn i +f c(f )hΨ|Ψf idf =n=Xfn cn c∗n +Zf c(f ) c∗ (f )df,nтак какhΨ|Ψn i ≡ hΨn |Ψi∗ = c∗n ,hΨ|Ψf i ≡ hΨf |Ψi∗ = c∗ (f ).18Лекция 44.1Одновременная измеримостьфизических величинОдновременно измеримые величиныОпределение: Физические величины F и G одновременно измеримы, если F̂ и Ĝ обладают общей системой собственных функций,F̂ Ψn (q) = fn Ψn (q),ĜΨn (q) = gn Ψn (q).Для простоты будем рассматривать только дискретные спектры.Определение: Коммутатором двух физических величин называется оператор[F̂ , Ĝ] ≡ F̂ Ĝ − ĜF̂ .Прямая теорема об одновременной измеримости: Если F и Gодновременно измеримы, то [F̂ , Ĝ] = 0, то есть F̂ Ĝ = ĜF̂ , илиF̂ ĜΨ(q) = ĜF̂ Ψ(q),∀ Ψ(q).Доказательство:XТак как Ψn (q) — полный базис, то Ψ(q) =cn Ψn (q).
ТогдаnF̂ ĜΨ = F̂ ĜXcn Ψn = F̂nĜF̂ Ψ = ĜF̂XnXcn gn Ψn =ncn Ψn = ĜXXcn gn fn Ψnncn fn Ψn =nXcn fn gn Ψn .nСледовательно F̂ Ĝ = ĜF̂ . Теорема доказана.Справедлива и обратная теорема об одновременной измеримости: Если [F̂ , Ĝ] = 0, то F и G одновременно измеримы.Доказательство:Проведем доказательство для частного случая, когда один из операторов, например F̂ , имеет невырожденый спектр, т.е. каждомусобственному значению f отвечает только одна собственная функция Ψf (q) (общий случай будет рассмотрен позже).Итак, спектр F̂ невырожден: F̂ Ψn (q) = fn Ψn (q).
ПустьĜΨn (q) = Φn (q).19Подействуем на Φn (q) оператором F̂ ,F̂ Φn (q) = F̂ ĜΨn (q) = ĜF̂ Ψn (q) = fn ĜΨn (q) = fn Φn (q).Мы получили, что Φn – собственная функция F̂ , отвечающая собственному значению fn . В силу невырожденности спектра оператора F̂ имеемΦn (q) ∼ Ψn (q),так чтоĜΨn (q) = Φn (q) ∼ Ψn (q)⇒ĜΨn (q) = gn Ψn (q).Что и требовалось доказать.Следствие. Если [F̂ , Ĝ] 6= 0, то F и G не являются одновременноизмеримыми величинами.Замечание. Пусть спектр оператора F̂ вырожден, т.е. одному собственному значению f отвечают сразу несколько собственных функций. Другими словами, квантовое число f не определяет однозначно квантовое состояние системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
