Конспект лекций - Квантовая механика Часть 1 (1183826), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В этом случае всегда существуют взаимно коммутирующие операторы Ĝ1 , Ĝ2 . . . (в частном случае,один оператор Ĝ), коммутирующие с F̂ . Любая собственная функцияΨf g1 g2 ... (q) этих операторов характеризуется определенным наборомквантовых чисел f, g1 , g2 . . ., которые однозначно фиксируют квантовое состояние. Набор коммутирующих операторов, собственные значения которых однозначно определяют квантовое состояние системы,называется полным набором.4.2Соотношение неопределенностейПусть F̂ и Ĝ – операторы физических величин F и G (F̂ + = F̂ иĜ = Ĝ), и [F̂ , Ĝ] = iK̂. Докажем, что в любом квантовом состоянии Ψ(нормированном на единицу, т.е. hΨ|Ψi = 1) выполняется следующеесоотношение (соотношение неопределенностей):+h(∆F )2 ih(∆G)2 i ≥hKi2.4Замечание.
Прежде чем приступить к доказательству, покажем,что K̂ + = K̂. Заметим для начала, что (F̂ Ĝ)+ = Ĝ+ F̂ + . Действительно,hΨ|F̂ ĜΦi = h(F̂ Ĝ)+ Ψ|Φi,hΨ|F̂ ĜΦi = hF̂ + Ψ|ĜΦi = hĜ+ F̂ + Ψ|Φi.20Заметим также, что i+ = −i. Это следует из цепочки равенствhi+ Ψ|Φi = hΨ|iΦi = h(−i)Ψ|Φi.Подвергнем теперь эрмитовому сопряжению обе стороны равенства[F̂ , Ĝ] = iK̂.Справа получим −iK̂ + , а слева[F̂ , Ĝ]+ = (F̂ Ĝ − ĜF̂ )+ = (Ĝ+ F̂ + − F̂ + Ĝ+ ) == (ĜF̂ − F̂ Ĝ) = −(F̂ Ĝ − ĜF̂ ) = −[F̂ , Ĝ] = −iK̂.Поэтому K̂ + = K̂.Доказательство соотношения неопределенностей.Рассмотрим оператор отклонения от среднего ∆F̂ = F̂ − hF i. Длянего имеемh∆F i = hΨ|(F̂ − hF i)Ψi = hΨ|F̂ Ψi − hF ihΨ|Ψi = hF i − hF i = 0,(∆F̂ )+ = (F̂ − hF i)+ = F̂ − hF i = ∆F̂ .По определению, h(∆F )2 i = hΨ|(∆F̂ )2 Ψi.
Всё то же справедливо дляоператора ∆Ĝ = Ĝ − hGi:h∆Gi = 0,(∆Ĝ)+ = ∆Ĝ,h(∆G)2 i = hΨ|(∆Ĝ)2 Ψi.При этом[∆F̂ , ∆Ĝ] = iK̂.Введем теперь новый оператор z∆F̂ + i∆Ĝ, где z – произвольноедействительное число. Тогдаh(z∆F̂ + i∆Ĝ)Ψ|(z∆F̂ + i∆Ĝ)Ψi = f (z) ≥ 0.С другой стороны,f (z) = hΨ|(z∆F̂ + i∆Ĝ)+ (z∆F̂ + i∆Ĝ)Ψi == hΨ|(z∆F̂ − i∆Ĝ)(z∆F̂ + i∆Ĝ)Ψi == z 2 h(∆F )2 i + h(∆G)2 i + izhΨ|(∆F̂ ∆Ĝ − ∆Ĝ∆F̂ )Ψi == z 2 h(∆F )2 i + h(∆G)2 i + izhΨ|iK̂Ψi == z 2 h(∆F )2 i + h(∆G)2 i − zhKi.21Но так какf (z) = z 2 h(∆F )2 i − zhKi + h(∆G)2 i ≥ 0,∀ z,то должно быть выполнено условие (дискриминант квадратичнойфункции f (z) неположителен)hKi2 − 4h(∆F )2 ih(∆G)2 i ≤ 0,илиh(∆F )2 ih(∆G)2 i ≥hKi2.4Доказательство закончено.Пример:F̂ = x̂ = x,Ĝ = p̂x = −i~d.dxВычислим коммутатор [x̂, pˆx ],dd[x̂, pˆx ]Ψ(x) = x −i~Ψ(x) − −i~xΨ(x) = i~Ψ(x) ⇒ K̂ = ~.dxdxТогда соотношение неопределенностей имеет видh(∆x)2 ih(∆px )2 i ≥~2.4Определение: Если Ψ0 — волновая функция состояния, в которомh(∆F )2 ih(∆G)2 i =hKi2,4то Ψ0 – волновая функция когерентного состояния.Нетрудно установить уравнение, которому удовлетворяет функция Ψ0 .
В самом деле, вернемся к доказательству соотношения неопределенностей. Знак равенства в этом соотношении при Ψ = Ψ0 означает,что дискриминант квадратичной функции f (z) равен нулю, и, следовательно, в точкеhKiz0 =2h(∆F )2 iфункция f (z) обращается в нуль (z0 – корень уравнения f (z) = 0). Ноесли f (z0 ) = 0, тоz0 ∆F̂ + i∆Ĝ Ψ0 = 0.Это и есть уравнение, которое определяет волновую функцию Ψ0 .22Лекция 55.1Квантовая динамика.Связь квантовой механикис классическойУравнение ШредингераПопробуем найти общий вид динамического уравнения для волновой функции Ψ(q, t).
В соответствии с постулатом I система полностью описывается волновой функцией Ψ(q, t). В частности, волноваяфункция в момент t определяет состояние системы во все последующие моменты времени. Это означает, что искомое уравнение можетсодержать производные Ψ(q, t) по t не старше первой. Следовательноуравнение должно иметь видi~∂Ψ(q, t)= ĤΨ(q, t),∂t∂Ψ(q, t)i= − ĤΨ(q, t).∂t~Левая часть линейна, поэтому линейна и правая часть (иначе нарушался бы принцип суперпозиции – постулат II). Следовательно Ĥ –линейный оператор.Дифференцируя по t условие нормировкиZΨ∗ (q, t)Ψ(q, t)dq = 1,получим серию равенствZZ∂Ψ∗∂ΨΨ dq + Ψ∗dq = 0,∂t∂tZ Zii(ĤΨ)∗ Ψ dq − Ψ∗(ĤΨ) dq = 0,~~iihĤΨ|Ψi − hΨ|ĤΨi = 0,~~hĤΨ|Ψi = hΨ|ĤΨi.Таким образом, Ĥ – эрмитовый оператор. Значит Ĥ – оператор некоторой физической величины.23Установим вид оператора Ĥ.
Для этого рассмотрим волну де БройляΨp (x, t) = √px−Eti1e ~ .2π~Подставляя ее в левую часть написанного нами общего уравнения,получимiE∂Ψp (x, t)= i~ −Ψp (x, t) = EΨp (x, t).i~∂t~С другой стороны, волна де Бройля – это собственная функция опеdратора p̂ = −i~ , то естьdxp̂ 2 Ψp (x, t) = p 2 Ψp (x, t),p̂ Ψp (x, t) = p Ψp (x, t),В нерелятивистском случае E =i~...p2.
Следовательно2mp̂ 2∂Ψp (x, t)=Ψp (x, t),∂t2mp̂ 2– оператор кинетической энергии.2mЕсли движение происходит в потенциальном поле U (x), то естественно предположить, что оператором Ĥ является оператор полнойэнергии, т.е.p̂ 2+ U (x).Ĥ =2mВ классической теории полную энергию, выраженную через координаты и импульсы, называют функцией Гамильтона H = H(p, q, t).Поэтому оператор полной энергиит.е. в данном случае Ĥ =Ĥ =p̂ 2+ U (x)2mназывают также оператором Гамильтона или гамильтонианом.В общем случае динамика квантовой системы полностью определяется уравнением Шредингера с начальным условием:∂Ψ(q, t)i~= ĤΨ(q, t),∂tΨ(q, 0) = Ψ0 (q),24где Ĥ – гамильтониан системы.
Условиемировку Ψ(q, t) на единицу для всех t.R|Ψ0 (q)|2 dq = 1 задает нор-Замечание. Уравнение Шредингера можно постулировать (считать пятым постулатом).5.2Зависимость физических величин от времениВ общем случае оператор физической величины может явно зави∂ F̂ (t)– производная по явной зависеть от времени: F̂ = F̂ (t). Пусть∂tсимости оператора от t. Среднее значение физической величины F вобщем случае также зависит от t:hF i = hΨ(t)|F̂ (t)|Ψ(t)i.Найдем производную hF i по t, пользуясь тем, что∂Ψi= − ĤΨ.∂t~Получим:dhF i∂Ψ∂ F̂∂Ψ=h|F̂ |Ψi + hΨ||Ψi + hΨ|F̂ |i=dt∂t∂t∂t=i∂ F̂ihĤΨ|F̂ Ψi + hΨ||Ψi − hΨ|F̂ |ĤΨi =~∂t~= hΨ|∂ F̂i|Ψi +hΨ|Ĥ F̂ |Ψi − hΨ|F̂ Ĥ|Ψi =∂t~= hΨ|∂ F̂idF̂+ [Ĥ, F̂ ]|Ψi ≡ hΨ||Ψi.∂t~dtЗдесь введен оператор изменения физической величины во времениdF̂∂ F̂i=+ [Ĥ, F̂ ].dt∂t~dF̂Если= 0, то hF i = const.
В таком случае говорят, что F – этоdtсохраняющаяся величина, интеграл движения.25Таким образом, если1) F̂ не зависит от t явно, то есть∂ F̂= 0,∂t2) [Ĥ, F̂ ] = 0,то F – интеграл движения.Примеры:1. Пусть F̂ = Ĥ. Если Ĥ не зависит от t (гамильтониан замкнутойсистемы), то полная энергия (замкнутой системы) сохраняется.p̂ 2d(свободное движение), то2. Пусть F̂ = p̂ = −i~ . Если Ĥ =dx2mимпульс p сохраняется.dp̂ 23. Пусть F̂ = p̂ = −i~и Ĥ =+U (x) (движение в потенциальdx2mном поле). Оператор p̂ не зависит от t, но в данном случае [Ĥ, p̂ ] 6= 0,dp̂поэтому импульс p не сохраняется. Найдём операторизмененияdtимпульса во времени.
Вычислим коммутатор[Ĥ, p̂ ] = [U (x), p̂ ].Имеем[U (x), p̂ ]f (x) = −i~ U (x)f 0 (x) + i~ (U 0 (x)f (x) + U (x)f 0 (x)) == i~ U 0 (x)f (x).Следовательно[U (x), p̂ ] = i~U 0 (x).Поэтомуiidp̂= [Ĥ, p̂ ] =dt~~i~dUdx=−dU.dxdx̂p̂ 2+ U (x). Найдем операторизме2mdtнения координаты во времени. В данном случае4. Пусть F̂ = x̂ = x и Ĥ =[ Ĥ, x] =1[p̂ 2 , x ].2mВычислим коммутатор [ p̂ 2 , x ] через вспомогательное соотношение[ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂,26в справедливости которого легко убедиться, раскрыв коммутаторы влевой и правой частях.
Тогда[ p̂ 2 , x ] = p̂ [ p̂, x ] + [ p̂, x ] p̂ = −2i~p̂ .Для искомой производной получимiiip̂dx̂= [Ĥ, x ] =[ p̂ 2 , x ] =(−2i~p̂) =,dt~2m~2m~mто есть5.3p̂dx̂=.dtmТеорема Эренфестаdx̂ dp̂иопределяют скорости изменения средних знаdtdtчений координаты hxi и импульса hpi, соответственно. Воспользовавшись полученными соотношениями, находимОператорыdhxidx̂p̂hpi= hΨ| |Ψi = hΨ| |Ψi =,dtdtmmdhpidp̂dU= hΨ| |Ψi = −hΨ||Ψi ≡ −dtdtdxZdUdU|Ψ|2 dx = −hi.dxdxСледовательноd 2 hxidUi.= −hdt2dxПусть ∆x – размер области локализации частицы (размер области, где плотность вероятности |Ψ|2 существенно отлична от нуля).dUЕслислабо меняется в этой области (т.е.
∆x L, где L – размерdxdUобласти существенного изменения), тоdxdUdU hi'.dxdx x'hximВ этом случае движение области локализации частицы определяетсявторым законом Ньютонаd 2 hxidU '−.mdt2dx x'hxi27Мы показали, что в пределе ∆x L классическая динамика выводится из квантовой динамики. Это утверждение называется теоремойЭренфеста.Замечание. Пусть L – масштаб неоднородности потенциала U (x)(и его производной); частица движется в области размера ∼ L, т.е.hxi ∼ L. Если в каждый момент времени неопределенность координаты ∆x мала по сравнению со средним значением hxi,∆x hxi ∼ L,то координата частицы, фактически, определена и равна hxi. Естественно ожидать, что в этом пределе изменение hxi во времени определяется классическим законом движения – вторым законом Ньютона.Именно это и утверждает доказанная нами теорема Эренфеста.Замечание.
Теорема Эренфеста позволяет понять, почему движение электрона в электронно-лучевой трубке описывается классическими уравнениями, тогда как движение этого же электрона в атоме –квантовыми уравнениями.5.4Скобки Пуассона и коммутаторыОбобщая, можно сказать, что всюду там, где неопределенность ∆Fфизической величины F мала по сравнению с hF i, среднее значение hF i должно меняться по классическим законам. Напомним, что вклассической механике мы имеем дело с обобщенными координатамиq = (q1 , q2 , . . . ), обобщенными импульсами p = (p1 , p2 , . .
. ), а также сфункциями обобщенных координат и импульсов F = F (p, q, t). Полная производная по времени величины F определяется соотношением∂FdF=+ {H, F },dt∂tгде {H, F } – это скобка ПуассонаX ∂H ∂F∂H ∂F{H, F } =−.∂pi ∂qi∂qi ∂pii28Если неопределенность ∆F мала, то среднее значение hF i должно меняться по тому же закону, что и классическое значение F . Следовательно должны существовать соответствия:F↔hF i,∂F∂t↔hΨ|{H, F }↔ihΨ| [Ĥ, F̂ ] |Ψi.~∂ F̂|Ψi,∂tПо этой причине коммутатор [Ĥ, F̂ ] иногда называют квантовой скобкой Пуассона. Указанное соответствие между коммутатором и скобкойПуассона может быть использовано для определения явного вида операторов физических величин.Рассмотрим в качестве примера одномерное движение.
Переходя отклассических величин к операторам, получим: q → x̂ = x и p → p̂ =?В классической теории скобка Пуассона {p, x} легко вычисляется:{p, x} = 1.Для коммутатора операторов p̂ и x̂, следовательно, должно быть справеливоi[p̂, x̂] = 1 ⇒ [p̂, x̂] = −i~.~Это верно, если оператор импульса выглядит следующим образом:p̂ = −i~d.dxВ случае n-мерного конфигурационного пространства имеем{pi , qj } = δij .Следовательноi[p̂i , q̂j ] = δij~⇒[p̂i , q̂j ] = −i~δij .В частности, оператор импульса частицы, движущейся в трехмерномпространстве, естьp̂ = −i~∇.295.5Плотность тока вероятностиВ соответствии с постулатом I величина ρ(r, t) = |Ψ(r, t)|2 представляет собой плотность вероятности обнаружить частицу в точке rв момент t. Найдем явный вид плотности тока вероятности для частицы в трехмерном координатном пространстве. Оператор Гамильтонаимеет видĤ =p̂ 2~2+ U (r) = −∆ + U (r).2m2mУравнение Шредингера (для волновой функции Ψ) и комплексно сопряженное уравнение Шредингера (для функции Ψ∗ ) выглядят следующим образом:i~−i~∂Ψ(r, t)∂t∂Ψ∗ (r, t)∂t=−=−~22m~22m∆Ψ(r, t) + U (r)Ψ(r, t),∆Ψ∗ (r, t) + U (r)Ψ∗ (r, t).Домножим первое уравнение на Ψ∗ , а второе – на Ψ.
Тогда, вычитаяиз первого уравнения второе, получим∂Ψ∗+Ψi~ Ψ∂t∂t∗ ∂Ψ=−~2(Ψ∗ ∆Ψ − Ψ∆Ψ∗ )2mилиi~∂~2|Ψ(r, t)|2 = −∇(Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ).∂t2mЭто соотношение может быть переписано в виде уравнения непрерывности∂ρ+ div j = 0,∂tгде~j=(Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ )2m iесть плотность тока вероятности.30Лекция 66.1Стационарные инестационарныесостояния. ЛинейныйосцилляторСтационарные состоянияЕсли гамильтониан Ĥ не зависит явно от t (стационарный случай),то частные решение уравнения Шредингера можно искать в видеΨ(q, t) = ψ(q)A(t).Подставляя Ψ(q, t) в уравнение Шредингера, получимi~ ψ(q)dA(t)= A(t)Ĥψ(q).dtРазделяя переменные, находимĤψ(q)i~(dA/dt)== E,A(t)ψ(q)где E – некоторая константа. Решение для A(t) имеет вид−A(t) = CeiEt~ .В то же время функции ψ(q), удовлетворяющие уравнениюĤψ(q) = Eψ(q),являются собственными функциями оператора Ĥ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
