Физика твёрдого тела 2 (1182143), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Это не единственный вид несоразмерного магнитного упорядочения.Эквивалентные атомы с одинаковыми спинами образуют магнитнуюподрешетку. В ферромагнетике такая подрешетка единственная, в коллинеарном двухподрешеточном антиферромагнетике их две (с противоположными спинами).Поскольку с каждым спином связан магнитный момент, в ферромагнетике при Т< T возникает спонтанная намагниченность. При стремленииcТ к T со стороны высоких температур имеет место поляризационная каcтастрофа (аналогично диэлектрику), но по отношению к магнитному полю: при приложении слабого однородного магнитного поля вещество приобретает бесконечную (в линейном приближении) намагниченность. ПриТ= T , называемой температурой Кюри, происходит фазовый переход втоcрого рода в ферромагнитную фазу, а намагниченность является параметром порядка при этом фазовом переходе.В случае антиферромагнетика при температуре Т= T , называемойcтемпературой Нееля, происходит фазовый переход второго рода в антиферромагнитную фазу, параметром порядка является разность намагниченностей двух подрешеток.

Поляризационная катастрофа по отношениюк однородному магнитному полю при антиферромагнитном фазовом переходе отсутствует.Может оказаться, что атомы, образующие разные магнитные подрешетки, имеют разную химическую природу и, следовательно, разные спины. В этом случае при антипараллельной ориентации спинов подрешетоксуммарный магнитный момент образца не равен нулю. Такие вещества называют ферримагнетиками.Значение T , полученное в рамках теории среднего поля (формулаc(11.25)), отличается от своего экспериментального значения, так как флук-147туации спинов, то есть отклонения их мгновенных значений от среднегоизменяют температуру магнитного упорядочения. В ряде случаев (принизкой размерности системы) они вообще устраняют фазовый переход.Невозможно магнитное упорядочение при Т0 в одномерных моделяхИзинга и Гайзенберга и в двумерной модели Гайзенберга.Двумерная модель Изинга (случай квадратной решетки спинов вприближении взаимодействия ближайших соседей) оказалась тем уникальным случаем, для которого удалось получить точное решение: Онзагером была рассчитана статистическая сумма и найдены все термодинамические характеристики системы.

В частности, для T получено выражеcние2 JS 2.T c ln(1  2 )(11.26)Наличие точного решения в рамках хотя бы одной модели оченьважно: на нем можно проверять эффективность разработанных для другихмоделей приближенных методов. Что касается трехмерной модели Изинга(кубической решетки спинов), то для нее точное решение до сих пор ненайдено даже в случае приближения взаимодействия ближайших соседей,и она является таким же вызовом для физиков, каким долгое время являлась для математиков великая теорема Ферма.11.3. Спиновые волны в ферромагнетикеВ основном состоянии спины атомов ферромагнетика параллельны,( z)а их средние значения равны максимальному значению S S (дляi(z )антиферромагнетика точные значения Sв основном состоянии изiвестны только приближенно).Как и в случаях колебаний кристаллической решетки и электроннойсистемы, можно описать слабо возбужденные состояния спиновой системы на языке квазичастиц.

В спиновой системе они носят название «магноны».Условие слабого возбуждения спиновой системы имеет вид Т<< T .c(z )В этом случае значения Sслабо отличаются от своих максимальныхi148значений. При Т T магнитный порядок полностью разрушается (сильcное возбуждение).Спиновая волна представляет собой бегущую волну отклоненийспинов от своих равновесных положений при Т=0 (рис.48).

Квант такойволны и получил имя «магнон», аналогично тому, как квант колебанийкристаллической решетки был назван фононом.Рис.48.Найдем закон дисперсии магнонов, используя процедуру ХолстейнаПримакова, справедливую в случае S >>1. Гамильтониан системы выберем в виде суммы гамильтонианов Гайзенберга и гамильтониана взаимодействия с внешним магнитным полем:11Hˆ    J l ,l '  Sˆ ( z ) Sˆ ( z )  Sˆ  Sˆl'  Sˆl Sˆ     2 B B0Sˆ ( z ) ,l' l2 l ,l '2 l l l'l(11.27)где l - вектор трансляции, задающий ячейку, в которой находится локали̂̂ˆзованный спин S , J   - обменный интеграл между спинами S и S ,lll'l ,l 'B0 – индукция внешнего магнитного поля, антипараллельного оси z нашейсистемы координат, а Sˆ   Sˆ  iSˆ .

Операторы Ŝ  действуют на собстxyвенную функцию оператора SˆiM по следующему правилу:S( z)Sˆ  MSˆ  MSS  (S  M, отвечающую собственному значениюS 1)(S  M ) M  1  ,SS  ( S  M )(S  M  1) M  1  .SSS(11.28)Коммутатор( z)[ Sˆ  , Sˆ  ]  2   Sˆ  ,l l'l ,l ' l(11.29)149 где    - дельта символ Кронекера, равный единице при l  l ' и нулю вl ,l 'противном случае.Холстейн и Примаков предложили процедуру, позволяющую выразить операторы спина через операторы вторичного квантования для гармонического осциллятора а̂  и а̂ .

Мы приведем приближенное выражеˆ , в котором опуˆ  и ание для спиновых операторов через операторы аllщены слагаемые, содержащие отрицательные степени параметра S:Sˆ   2S aˆ  ;llSˆ   2S aˆ  ,llSˆ z  S  aˆ  aˆ  .ll l(11.30)Подставляя выражения (11.30) в (11.27) и пренебрегая слагаемыми, содержащими произведение четырех операторов а̂  и а̂ , получаем:1Hˆ    J l ,l '[ S 2  S (aˆl aˆ   aˆ  aˆ  aˆ  aˆ  aˆ  aˆ )] l'l l'l ll' l'2 l ,l '2 B B0 l( S  aˆ  aˆ ).l l(11.31)Для приведения гамильтониана (11.31) к диагональному виду сделаем Фурье-преобразование:iqliql aˆ   N  1/ 2  e aˆ  ,aˆ   N  1/ 2  eaˆ  ,(11.32)qqllqqгде N – число элементарных ячеек в кристалле, а суммирование происходит по первой зоне Бриллюэна.

В результате подстановки (11.32) в (11.31)получаемSHˆ  E0 J (h )[aˆq aˆq' eiq ' h ei ( q q ')l  aˆq aˆq ' eiq ' h ei (q 'q )l 2 N l ,h ,q ,q '2aˆq aˆq ' ei ( q 'q )l ] 2 B B0aˆq aˆq ' ei ( q 'q )l ,N l ,q ,q '  h  l 'l ,(11.33)1E0   NS 2 J (0)  2 B SB0 N , J(0) – нулевая Фурье2компонента J (h ) ( J (0)  J (q  0) ), где J (q )   J (h )eiqh . При этом мыгдеh150воспользовались тем фактом, что J   в силу трансляционной симметрииl ,l '   i ( q  q ' )lкристалла зависит только от разности l 'l .

Сумма равна нулюel  при q  q ' и N, если q  q ' . В итоге имеемSHˆ  E0  J (q )  S  J (h )(1  cos qh )aˆqaˆq  2 B B0  aˆq aˆq ,2qq ,h(11.34)где мы воспользовались правилом коммутации операторов аˆ  и aˆ  :qq[аˆ  aˆ  ]  1.q qОбъединяя первые два слагаемые в E0 и учитывая четность функции J (q ) и то, что J(h)(1cosqh )  J (0)  J (q ) , получаемhHˆ  E     (q )aˆ (11.35) aˆ  ,0 qq qгде (q)  S[ J (0)  J (q)]  2B B0(11.36)- закон дисперсии магнонов, изображенный на рис.49. В области малыхволновыхвекторовqa<<1(а–межатомноерасстояние)J (0)  J (q )  q 2a 2 .На границе зоны Бриллюэна  (qB ) ~ J (0)S , и для S~1  (qB ) ~Tc.В отсутствие внешнего магнитного поля и в пренебрежении энергией анизотропии  (q )  q 2 при малых q (q<<q ).BПоскольку намагниченность ферромагнетика2 B   S ( z ) I (T ) lV2 B  NS    aˆq aˆqV q I (0)  2 B d 3q(2 )3 nq  , (11.37)151где I(0) – равновесная намагниченность ферромагнетика при Т=0, а равновесное число магнонов на данной моде  nq  определяется формулой1Бозе-Эйнштейна  n  .qexp( (q ) / T )  1~J(0)S2BB0qРис.49.

Закон дисперсии магнонов.При Т<< T основной вклад в интеграл, стоящий в правой части (11.37),cкоторый берется по первой зоне Бриллюэна, дают q  qТ, где qТ находитсяиз условия  (q )  T :T1 TqT~ qB .a JSПоэтому интегрирование по q можно распространить до бесконечности:I (T )  I (0) Bq 2dq 2 0 exp( q 2 / T )  13 / 2  1/ 2 T  I (0)  B  2 2   zzdz0 e 1.(11.38)Таким образом, при Т<< T величина I (0)  I (T )  T 3/ 2 – закон Блоха.c11.4. Магнитное упорядочение делокализованных моментовДо сих пор мы рассматривали упорядочение локализованных магнитных моментов. Однако в металлах группы железа (Fe, Co, Ni) магнит-152ный момент обусловлен d-электронами, которые делокализованы и описываются блоховскими функциями. Магнетизм таких делокализованныхэлектронов носит название «itinerant» магнетизма.Для получения критерия магнитного упорядочения в «itinerant» магнетиках воспользуемся моделью Хаббарда (§9.2).В приближении молекулярного поля слагаемое U  nˆ nˆв (9.3)i,1i,2iпринимает видU  nˆ nˆ  U  (nˆ  n  nˆ  n    n  n ) , (11.39)i ,2i,1i,1i ,2i i,1 i,2i i,1 i,2где индекс σ=1 отвечает проекции спина +1/2, а σ=2 – проекции спина 1/2.

Поправка к энергии электронов соответствующей подзоны равна1(2)  U  ni,2(1)  .Раздвижка Δ подзон с различной ориентацией спина равна  1   2  U ( ni,2    ni,1 ) UIVячB,(11.40)где Vяч – объем элементарной ячейки,С другой стороны, из §1.3 следует, что при 0 намагниченностьравна1I   ( F )  B  ,(11.41)2где  ( ) – плотность электронных состояний на поверхности Ферми.FОтсюда возникает условие существования нетривиального решения: ( F )2UVяч  1, ( F )(11.42)UVяч  1 имеет место ферро2магнитное упорядочение в области низких температур, в противном случае электронная система остается парамагнитной. Рассматриваемые металлы группы железа имеют высокую плотность состояний на поверхности Ферми.Температура магнитного перехода должна иметь атомный масштабТc~U , то есть «itinerant» магнетики не могут иметь низкую температуру( Fe)( Ni )(Co ) 1044 K , T 627 K , T 1388K ).Кюри (Tcccназываемое критерием Стонера.

При153Глава 12. Сверхпроводники12.1. Явление сверхпроводимостиЯвление сверхпроводимости состоит в исчезновении сопротивленияу ряда веществ, в первую очередь металлов, при охлаждении их нижекритической температуры Тс. Оно было открыто в 1911 году голландскимученым Камерлинг-Оннесом, исследовавшим ртуть (Тс=4 К).

Характеристики

Список файлов книги