Lektsii_zubova_2 (1181474), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Âñå òî÷êè Γ ëåæàò âíå øàðàB(x, |x − x∗ |). Òî÷êà x∗ ëåæèò íà ãðàíèöå ýòîãî øàðà. Ïîýòîìó âåêòîð (x − x∗ ) îðòîãîíàëåí ïëîñêîñòè,êàñàþùåéñÿ Γ â òî÷êå x∗ . Îïåðàöèÿ ïîñòðîåíèÿ âåêòîðà (x − x∗ ) íàçûâàåòñÿ îïåðàöèåé îïóñêàíèÿïåðïåíäèêóëÿðà èç òî÷êè x íà Γ.Ôóíêöèþ âèäà V(0) (x) =∫Γµ(y)dS y|x − y|íàçûâàþò ïîòåíöèàëîì ïðîñòîãî ñëîÿΓ ∈ C2 - îãðàíè÷åííàÿ ïîâåðõíîñòüµ(y) - íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ ôèçè÷åñêèéµ(x) ∈ C(Γ)Òåîðåìà 10.2: Ïóñòü µ(x) ∈ C(Γ).
Òîãäàñìûñë ïëîòíîñòè ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ1)Ïîòåíöèàë ïðîñòîãî ñëîÿ V(0) (x) ∈ C(R3 )2)V(0) (x) - ãàðìîíè÷åñêàÿôóíêöèÿ â (R3 \Γ)( )13)V(0) (x) = O |x| ïðè x → ∞Äîêàçàòåëüñòâî:3) òîëüêî ÷òî äåëàëè òî æå ñàìîå, òîëüêî èíòåãðàë íå ïî øàðó, à ïî ãðàíèöå îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà.2)Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ x1 ∈ (R3 \Γ) δ = dist{x1 , Γ} > 0Ðàññìîòðèì 2 ìíîæåñòâ:()x ∈ B x1 , δ/2 , y ∈ Γδ δ= >02 2()()1∞1∈ C B x , δ/2 × Γ|x − y||x − y| = |x − x1 + x1 − y| > |x1 − y| − |x − x1 | > δ −Òåïåðü ìû ìîæåì ðàññìîòðåòü íàøå ÿäðîçíà÷èò å¼ ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü ïîä çíàêîì èíòåãðàëà:(∫Dαx V (0) (x)Dαx=Γ)1µ(y)dS y|x − y|42Ïîòåíöèàë ïðîñòîãî ñëîÿ - áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ.)1µ(y)dS y = 0|x − y|| {z }(∫∆x V (0) (x) =∆xΓôóíä. ðåø.À ÷òî ïðîèñõîäèò â∫òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè? Γ - îãðàíè÷åííîå, çàìêíóòîå ìíîæåñòâî.µ(y)µ(x) ∈ C(Γ); V (0) (x) =dS y 1 < 2 - ÿäðî áóäåò ïîëÿðíûì. (2 - ðàçìåðíîñòü ïîâåðõíîñòè Γ)|x − y|Γ1K(x, y) =|x − y|(x, y) ∈ (Γ × Γ)Âûáåðåì íåêîòîðîå îãðàíè÷åííîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî.
Ìû ïîñòðîèì íåêîòîðóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, êîòîðàÿ áóäåò ñõîäèòüñÿ ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè.(??WTH??)∫ ((0)Vδ=Γ)1µ(y)dS y ,|x − y| δ((1|x − y|)1|x − y|)δãäå:1, |x − y| > δ |x − y|= 1 , |x − y| < δδ−íåïðåðûâíàÿ δ ñðåçêà()∈ C R3 × R3δÊðèòåðèé "äàë¼êîñòè"òî÷êè:1)dist(x, Γ) > δ - äàë¼êèå.2)dist(x, Γ) < δ - áëèçêèåÄëÿ äàë¼êèõ òî÷åê î÷åâèäíî âûïîëíÿåòñÿ: Vδ(0) − V(0) = 0Òåïåðü ðàññìîòðèì áëèçêèå: ( (()))∫ ∫ (0) 1111(0)Vδ − V = −µ(y)dS y 6 − µ(y)dS y 6 |x − y||x − y| δ|x − y| δΓy∈Γ; |x−y|<δ∫∫dS yµ(y)6dS y 6 M·|x − y||x − y|y∈Γ; |x−y|<δy∈Γ; |x−y|<δÒåïåðü ïóñòü x∗ - ïðîåêöèÿ òî÷êè x íà Γ∀y : |y − x| < δ : |y − x∗ | 6 |y − x| + |x − x∗ | 6 δ + δ = 2δ∫∫dS ydS yM·6 M·|x − y||x − y|y∈Γ; |x−y|<δy∈Γ; |x∗ −y|<2δ()′1)|x − y| > |η | y = ξ1 , ξ2 , Fx∗ (ξ1 , ξ2 )′2)|η′ | = |ηv− 0| 6 |x∗ − y| 6 2δt()2 ()2√∂Fx∗∂Fx∗3)dSy = 1 + ∂ξ + ∂ξ · dξ1 dξ2 6 1 + 2M21 · dξ1 dξ212∫√ (0)Vδ − V (0) 6 M 1 + 2M21|η′ |<2δdξ1 dξ2=M|η′ |√∫2π1+2M21∫2δdφ00√ρdρ= 4πM 1 + 2M21 · δ ⇒ 0ρïðè δ → 0Òî åñòü íàøà îöåíêà íå çàâèñèò îò òî÷êè x.Çàðÿäû ðàñïðåäåëåíû ïî ïîâåðõíîñòè ñ êàêîé-òî ïëîòíîñòüþ.Ïîòåíöèàë äâîéíîãî ñëîÿÈíòåãðàë âèäà V∫(2)(x) =Γ()∂1ν(y)dS y→−∂n y |x − y|íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëîì äâîéíîãî ñëîÿÔèçè÷åñêèé ñìûñë - íà ïîâåðõíîñòè ðàñïðåäåëåíû äèïîëè,è ïîëå )òàêèõ äèïîëåé - V(2) (x)(−n (y)33) ∑() ∑(x − y, →(xk − yk )∂11∂=nk (y)=nk (y)=−∂yk |x − y||x − y3 ||x − y|3∂→n y |x − y|k=1k=143Ëåììà 10.2: Ïóñòü ν(x) ∈ C(Γ).
Òîãäà:1)V(2) (x) - ãàðìîíè÷åñêàÿôóíêöèÿ â (R3 \Γ)()2)V(2) (x) = O |x|12Ïóñòü x < Γ. Òîãäà V3 ∫∑(∫(2)(x) =Γ))3 ∫(()∑∂1∂1ν(y)dS y =ν(y)dS=n(y)yk−∂yk |x − y|∂→n y |x − y|k=1 Γ1∂ν(y)dS y∂xk |x − y|k=1 Γ()()∂1∂1òàê êàê ∂y |x − y| = − ∂x |x − y|kk∫3∑n(y)ν(y)∂kV (0) (x) = −dS y∂xk|x − y|=−nk (y)k=1⇒ΓÇàìåòèì, ÷òî ïîä çíàêîì èíòåãðàëà ñòîèò ïîòåíöèàë ïðîñòîãî ñëîÿ.V (2) (x) - ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè 3-õ ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé.
Çíà÷èò îíà ñàìàÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé. (→− )|x − y| ∂ ( 1 ) x − y, n (y) 1= = → 6−33|x − y||x − y||x − y|2∂n y |x − y|Ëåììà 10.3: Ïóñòü Ω - îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòüñ Γ ∈) C2 .(−n (y)x − y, →Òîãäà ∀x, y ∈ Γ, x , y ñïðàâåäëèâà îöåíêà: |x − y|3 6 |x M− y|d > 0 (íàâåðíÿêà ýòî êàêàÿ-íèáóäü êîíñòàíòà èç ñâîéñòâ ãëàäêèõ ïîâåðõíîñòåé )Ðàçîáü¼ì òî÷êè íà äàë¼êèå îò ãðàíèöû è áëèçêèå:1)äàë¼êèå:|x)− y| > d(−n (y) x − y, →11111M=·6 ·=|x − y| |x − y| d |x − y| |x − y||x − y|22)áëèçêèå: |x − y| < d òî÷êå y ðàññìîòðèì ïîäõîäÿùóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò: y(0, 0, 0); x(ξ1 , ξ2 , Fy (ξ′ ))→−n (y) = (0, 0, 1)(−n (y)) x − y, →F y (ξ′ ) M2 · |ξ′ |2M2=66, òàê êàê|x − y||x − y||x − y3 ||x − y|3√√|x − y| = ξ21 + ξ22 + F2y (ξ′ ); |ξ′ | = ξ21 + ξ22|x − y|36Ëåììà 10.4: Åñëè ν(x) ∈ C(Γ), òî ÏÄÑ V(2) (x) ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ Γ, è V(2) (x) ∈ C(Γ)∫V (2) (x) =K(x, y)ν(y)dS yK(x, y) =ΓÄëÿ ïîëÿðíîãî ÿäðàx,y1)ÿäðî ∈ C(.)2)|ÿäðî| 6 |x −My|α(−n (y))x − y, →|x − y|3æ(x, y), α<n|x − y|αíàøå ÿäðî ïîëÿðíîåËåììà 10.5: Ïóñòü Ω - îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ Γ ∈ C2 .
Òîãäà⇒∫(1)VGAUSS (x) =Äîêàçàòåëüñòâî:Γ(∂1−∂→n y |x − y|∫)dS y =(−n (y))x − y, →|x − y|3Γ1) Ïóñòü x ∈ Ω44dS y−4π, x ∈ Ω −2π, x ∈ Γ= 0, x ∈ R3 \Ωu(x) ≡ 1,∫Γ(òîãäà∂1−∂→n y |x − y|))(∫ (1∂1∂1dS y −−−dS y ⇒→−−4π|x−y|4π|x−y|∂n y∂→ny∫1=Γ)dS y = −4πΓ3)Ïóñòü x ∈ (R3 \Ω)Èñïîëüçóåì ïåðâóþ ôîðìóëó Ãðèíà:)∫∫ ( (()))( )111∂∆y· 1 dy =dS y −∇y, ∇ y 1 dS y ⇒1· →|x − y||x − y|∂−n y |x − y|ΓΓΩ()∫∂1dS y = 0−∂→n y |x − y|∫(Γ3) Òåïåðü ðàññìîòðèì x ∈ Γ0 = ϵ > 0 Ωϵ = Ω\B(x, ϵ);Γϵ = Γ\B(x, ϵ); σϵ = Ω ∩ (|y − x| = ϵ)((−n (y))−n (y))∫∫ x − y, →∫ x − y, →()∂1dS y =dS y +dS y−|x − y|3|x − y|3∂→n y |x − y|σϵΓϵ ∪σϵΓϵ(−n (y))∫ x − y, →ÎöåíèìdS y|x − y|3σϵ()− →−x − y, n (y)|x − y|· →n (y)· cos 011=== 2332|x|x − y||x − y|ϵ( − y| − )∫ x − y, →∫n (y)11dS y =dS y →2πε2 = 2π|x − y|3ε2ε2σϵσϵ((−n (y))−n (y))∫ x − y, →∫ x − y, →dS y →dS y|x − y|3|x − y|3Γϵ∫ Γ ()1(2)Ïîýòîìó VGAUSS (x) = ∂→dS y = −2π∂−n y |x − y|ΓÏóñòü Ω - îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â R3 ñ ãðàíèöåé Γ êëàññà C2 .
Ïóñòü x0 - ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íàΓ è d - êîíñòàíòà,ôèãóðèðóþùàÿâ ñâîéñòâå (3) ïîâåðõíîñòåé êëàññà C2 . Ïîêàæåì,÷òî ∀x, òàêîé ÷òî)(dèíòåãðàë(x ∈ R3 ) ∩ |x − x0 | 64∫I2 =|x0 −y|<d/2(−n (y)) x − y, →|x − y|3dS yîãðàíè÷åí êîíñòàíòîé, íå çàâèñÿùåé îò (.)x01)Îïóñòèì èç òî÷êè x ïåðïåíäèêóëÿð íà Γ è ïîëó÷èì òî÷êó x∗2)Ââåä¼ì â îêðåñòîñòè (.)x∗ ïîäõîäÿùóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò, ñâÿçàííóþ ñ òî÷êîé x∗3)Íåîáõîäèìûå íåðàâåíñòâà:à)Òàê êàê |x − x0 | 6 d4 è x0 ∈ Γ, òî |x − x∗ | 6 d4á)|x0 − x∗ | = |x − x + x0 − x∗ | 6 |x − x0 | + |x − x∗ | 6 d4 + 4d = 2dâ)Òàê êàê |y − x0 | < d2 , |y − x∗ | = |y − x0 + x0 − x∗ | 6 |y − x0 | + |x0 − x∗ | < 2d + d2 = dã) Êîîðäèíàòû òî÷åê è âåêòîðîâ â ïîäõîäÿùåé ñèñòåìå êîîðäèíàò.x∗ =((0, 0, 0))y = η1 , η2 , F(η′ )x = (0, 0, x3 )x − y = (−η1 , −η2 , x3 − F(η′ ))→−n (y) = (−Fη1 , −Fη2 , 1)√1 + F2η1 + F2η245∂F ( ′ ) ∂F ( )∂2 F ( )∂2 F ( ′ )η −0, 0 = η1 · 2 η̃′ + η2 ·η̃˜ ⇒∂η1∂η1∂η1 ∂η2∂η1() ∂2 F ( )∂2 F ( ′ )η1 Fη1 (η′ ) = η21 · 2 η̃′ + η1 η2 ·η̃˜ 6 |η1 |2 · M2 + |η1 |· |η2 |· M2 = M2 |η1 |2 + |η1 |· |η2 | ∂η∂η ∂η( 1 2) 1′2β) Àíàëîãè÷íî η2 Fη2 (η ) 6 M2 |η2 | + |η1 |· |η2 |()γ) |F| 6 M2 · |η1 |2 + |η2 |2 − ñâîéñòâî (1) ïîâåðõíîñòè êëàññà C2 ) η1 · Fη1 + η2 · Fη2 + x3 − F(η′ ) η1 · Fη1 + η2 · Fη2 + x3 + F(η′ )(→−ä) x − y, n (y) =66√√1 + F2η1 + F2η21 + F2η1 + F2η2)()(M2 |η1 |2 + |η2 |2 + 2|η1 |· |η2 | + |η1 |2 + |η2 |2 + |x3 | 3M2 · |η1 |2 + |η2 |2 + |x3 |6<√√1 + F2η1 + F2η21 + F2η1 + F2η2α)Fη1 (η′ ) =dδ|F(η′ )| 6 M2 |η′ |2 & |x − x∗ | 64dd⇒ −2|x3 |· |F(η′ )| > −2· M2 |η′ |2 = − M2 · |η′ |242då)|x − y|2 = η21 + η22 + x23 + F2 (η′ ) − 2x· F(η′ ) > η21 + η22 + x23 − 2x· F(η′ )2 > |η′ |2 + x23 − 2 M2 · |η′ |2 >()d> 1 − M2 · |η′ |2 + |x3 |22(−n (y))∫∫√ x − y, →3M2 · |η′ |2 + |x3 |1æ) I2 =dS6·1 + F2η1 + F2η2 dη1 dη2 6·√y[(]3/2)|x − y|322d1 + Fη1 + Fη2|η′ |<d|x0 −y|<d/21 − M2 · |η′ |2 + |x3 |22∫∫′2|η |dη1 dη23M26[dη1 dη2 + |x3 |·]3/2 ·[(]3/2 =′ |3)|ηdd′221 − M2|η′ |<d|η′ |<d1 − M2 · |η | + |x3 |22∫2π ∫d∫2π ∫dρ· dρ· dφρdρdφ3M2+ |x3 |·=[]3/2 ·[(]3/2 =)ρdd220 00 01 − M21 − M2 ρ + |x3 |22[]6πM2 · d2π|x3 ||x3 |6πM2 · d4π=[− [(]·] =K)]1/2 6 []3/2 + []3/2 + [dd|x|3dd1 − dM2 /2 ρ2 + |x3 |21 − M21−M21 − M21−M22222⇒ |x3 | 6Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ W(x, x0 ) =∫(d4−n (y)) [x − y, →|x − y|3)(Çäåñü x0 ∈ Γ - ïðîèçâîëüíàÿ, à x ∈ B x0 , d4Ïîêàæåì, ÷òî W(x, x0 ) → W(x0 , x0 ) ïðè x → x0]ν(y) − ν(x0 ) dS yΓÁóäåì äåéñòâîâàòü ïî îïðåäåëåíèþ.
Ïóñòü äàíî ϵ > 0 Íàéä¼ì δϵ > 0, òàêîå ÷òî∀x : |x − x0 | < δϵ áóäåò |W(x, x0 ) − W(x0 , x0 )| < ϵ1)Ôóíêöèÿ ν(x) ∈ C(Γ) (⇒ ν(x) ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíàíà Γ ⇒)0∀ϵ > 0 ∃β(ϵ), òàêîé ÷òî ∀ y ∈ Γ & |y − x | < β(ϵ) |ν(y) − ν(x0 )| < ϵβ2)Ïåðâîå ïðèáëèæåíèå ê δϵ : δϵ = 4(−n (y)) ][−n (y)) (x0 − y, →∫ [ x − y, →] |W(x, x0 ), W(x0 , x0 )| = −ν(y) − ν(x0 ) dS y 6|x − y|3|x0 − y|3Γ ∫6 ( −n (y)) ]−n (y)) (x0 − y, →[ x − y, → 0 −ν(y)−ν(x ) dS y + |x − y|3|x0 − y|3[ ∫ϵ(−n (y)) x − y, →|y−x0 |<β|y−x0 |<β|∫Γ\(|y−x0 |<β)|x − y|3{z6K∫dS y +}|y−x0 |<β|(−n (y)) x0 − y, →|x0 − y|3{z6K(−n (y)) ]−n (y)) (x0 − y, →[ x − y, → 0 −ν(y)−ν(x ) dS y 6|x − y|3|x0 − y|3]∫dS y +2· max |ν(y)|·y∈Γ}46Γ\(|y−x0 |<β) (→− ) (x0 − y, →−n (y)) x − y, n (y)−dS y303|x − y||x − y|∫Íî ψ(x) =Γ\(|y−x0 |<β) (−n (y)) →− ) (x0 − y, → x − y, n (y)−dS y303|x − y||x − y|β 3= β>04 4|x − y| > |x0 − y| − |x − x0 | > β −Íàéä¼òñÿ òàêîå δ1 , ÷òî∀x : |x − x0 | < δ1ψ(x0 ) = 0 ⇒β- íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ x ïðè |x − x0 | 6 δϵ = 4Îïðåäåëèì δϵ òàê:Ïðè x òàêèõ, ÷òî |x − x0 | < δϵ èìååì:{δϵ =|ψ(x) − ψ(x0 )| < ϵδ1 , åñëè δ1 < β/4β/4, åñëè δ1 > β/4|W(x, x0 ) − W(x0 , x0 )| < 2K· ϵ + 2M· ϵ = C̃· ϵÇàìåòèì, ÷òî ∀ϵ > 0 âåëè÷èíó δϵ ìîæíî âûáðàòü íå çàâèñÿùåé îò òî÷êè x0Òåîðåìà 10.3: Ïóñòü Ω - îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ Γ ∈ C2 ;1) Òîãäà ÏÄÑ V(2) (x) ∈ C(Ω);(2)2)V+ (x) =limx∈Ω; x→x0 ∈Γ(2)V− (x) =ν(x) ∈ C(Γ)V (2) (x) ∈ C(R3 \Ω)V (2) (x) = V (2) (x0 ) − 2πν(x0 )limx∈R3 \Ω; x→x0 ∈ΓV (2) (x) = V (2) (x0 ) + 2πν(x0 )Äîêàçàòåëüñòâî: Ïóñòü x0 ∈ Γ - ôèêñèðîâàííî.()Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ W(x, x ) =∫0−n (y) [x − y, →Γ|x − y|3]ν(y) − ν(x0 ) dS yÎíà áóäåò íåïðåðûâíîé, è áîëåå òîãî, ïî äîêàçàííîìó ðàíåå, W(x, x0 ) → W(x0 , x0 ) ïðè x → x0∫V (2) (x) = W(x, x0 ) + ν(x0 )Γ(−n (y))x − y, →|x − y|3dS yV (2) (x) → W(x0 , x0 ) + ν(x0 )· (−4π)x → x0 , x ∈ Ω((−n (y))−n (y))∫ x0 − y, →∫ x0 − y, →W(x0 , x0 ) + ν(x0 )· (−4π) =ν(y)dS y − ν(x0 )dS y − 4πν(x0 ) =|x0 − y|3|x0 − y|3ΓΓ= V (2) (x0 ) + 2πν(x0 ) − 4πν(x0 ) = V (2) (x0 ) − 2πν(x0 )Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê áóäåò ñíàðóæè.Òóò íàïèñàíî íåìíîãî òðàâû, ïðî òî ÷òî ãàóññîâêèé èíòåãðàë îãðàíè÷åí.