Lektsii_zubova_2 (1181474), страница 8

Файл №1181474 Lektsii_zubova_2 (Лекции Зубова) 8 страницаLektsii_zubova_2 (1181474) страница 82020-08-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Âñå òî÷êè Γ ëåæàò âíå øàðàB(x, |x − x∗ |). Òî÷êà x∗ ëåæèò íà ãðàíèöå ýòîãî øàðà. Ïîýòîìó âåêòîð (x − x∗ ) îðòîãîíàëåí ïëîñêîñòè,êàñàþùåéñÿ Γ â òî÷êå x∗ . Îïåðàöèÿ ïîñòðîåíèÿ âåêòîðà (x − x∗ ) íàçûâàåòñÿ îïåðàöèåé îïóñêàíèÿïåðïåíäèêóëÿðà èç òî÷êè x íà Γ.Ôóíêöèþ âèäà V(0) (x) =∫Γµ(y)dS y|x − y|íàçûâàþò ïîòåíöèàëîì ïðîñòîãî ñëîÿΓ ∈ C2 - îãðàíè÷åííàÿ ïîâåðõíîñòüµ(y) - íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ ôèçè÷åñêèéµ(x) ∈ C(Γ)Òåîðåìà 10.2: Ïóñòü µ(x) ∈ C(Γ).

Òîãäàñìûñë ïëîòíîñòè ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ1)Ïîòåíöèàë ïðîñòîãî ñëîÿ V(0) (x) ∈ C(R3 )2)V(0) (x) - ãàðìîíè÷åñêàÿôóíêöèÿ â (R3 \Γ)( )13)V(0) (x) = O |x| ïðè x → ∞Äîêàçàòåëüñòâî:3) òîëüêî ÷òî äåëàëè òî æå ñàìîå, òîëüêî èíòåãðàë íå ïî øàðó, à ïî ãðàíèöå îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà.2)Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ x1 ∈ (R3 \Γ) δ = dist{x1 , Γ} > 0Ðàññìîòðèì 2 ìíîæåñòâ:()x ∈ B x1 , δ/2 , y ∈ Γδ δ= >02 2()()1∞1∈ C B x , δ/2 × Γ|x − y||x − y| = |x − x1 + x1 − y| > |x1 − y| − |x − x1 | > δ −Òåïåðü ìû ìîæåì ðàññìîòðåòü íàøå ÿäðîçíà÷èò å¼ ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü ïîä çíàêîì èíòåãðàëà:(∫Dαx V (0) (x)Dαx=Γ)1µ(y)dS y|x − y|42Ïîòåíöèàë ïðîñòîãî ñëîÿ - áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ.)1µ(y)dS y = 0|x − y|| {z }(∫∆x V (0) (x) =∆xΓôóíä. ðåø.À ÷òî ïðîèñõîäèò â∫òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè? Γ - îãðàíè÷åííîå, çàìêíóòîå ìíîæåñòâî.µ(y)µ(x) ∈ C(Γ); V (0) (x) =dS y 1 < 2 - ÿäðî áóäåò ïîëÿðíûì. (2 - ðàçìåðíîñòü ïîâåðõíîñòè Γ)|x − y|Γ1K(x, y) =|x − y|(x, y) ∈ (Γ × Γ)Âûáåðåì íåêîòîðîå îãðàíè÷åííîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî.

Ìû ïîñòðîèì íåêîòîðóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, êîòîðàÿ áóäåò ñõîäèòüñÿ ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè.(??WTH??)∫ ((0)Vδ=Γ)1µ(y)dS y ,|x − y| δ((1|x − y|)1|x − y|)δãäå:1, |x − y| > δ |x − y|= 1 , |x − y| < δδ−íåïðåðûâíàÿ δ ñðåçêà()∈ C R3 × R3δÊðèòåðèé "äàë¼êîñòè"òî÷êè:1)dist(x, Γ) > δ - äàë¼êèå.2)dist(x, Γ) < δ - áëèçêèåÄëÿ äàë¼êèõ òî÷åê î÷åâèäíî âûïîëíÿåòñÿ: Vδ(0) − V(0) = 0Òåïåðü ðàññìîòðèì áëèçêèå: ( (()))∫ ∫ (0) 1111(0)Vδ − V = −µ(y)dS y 6 − µ(y)dS y 6 |x − y||x − y| δ|x − y| δΓy∈Γ; |x−y|<δ∫∫dS yµ(y)6dS y 6 M·|x − y||x − y|y∈Γ; |x−y|<δy∈Γ; |x−y|<δÒåïåðü ïóñòü x∗ - ïðîåêöèÿ òî÷êè x íà Γ∀y : |y − x| < δ : |y − x∗ | 6 |y − x| + |x − x∗ | 6 δ + δ = 2δ∫∫dS ydS yM·6 M·|x − y||x − y|y∈Γ; |x−y|<δy∈Γ; |x∗ −y|<2δ()′1)|x − y| > |η | y = ξ1 , ξ2 , Fx∗ (ξ1 , ξ2 )′2)|η′ | = |ηv− 0| 6 |x∗ − y| 6 2δt()2 ()2√∂Fx∗∂Fx∗3)dSy = 1 + ∂ξ + ∂ξ · dξ1 dξ2 6 1 + 2M21 · dξ1 dξ212∫√ (0)Vδ − V (0) 6 M 1 + 2M21|η′ |<2δdξ1 dξ2=M|η′ |√∫2π1+2M21∫2δdφ00√ρdρ= 4πM 1 + 2M21 · δ ⇒ 0ρïðè δ → 0Òî åñòü íàøà îöåíêà íå çàâèñèò îò òî÷êè x.Çàðÿäû ðàñïðåäåëåíû ïî ïîâåðõíîñòè ñ êàêîé-òî ïëîòíîñòüþ.Ïîòåíöèàë äâîéíîãî ñëîÿÈíòåãðàë âèäà V∫(2)(x) =Γ()∂1ν(y)dS y→−∂n y |x − y|íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëîì äâîéíîãî ñëîÿÔèçè÷åñêèé ñìûñë - íà ïîâåðõíîñòè ðàñïðåäåëåíû äèïîëè,è ïîëå )òàêèõ äèïîëåé - V(2) (x)(−n (y)33) ∑() ∑(x − y, →(xk − yk )∂11∂=nk (y)=nk (y)=−∂yk |x − y||x − y3 ||x − y|3∂→n y |x − y|k=1k=143Ëåììà 10.2: Ïóñòü ν(x) ∈ C(Γ).

Òîãäà:1)V(2) (x) - ãàðìîíè÷åñêàÿôóíêöèÿ â (R3 \Γ)()2)V(2) (x) = O |x|12Ïóñòü x < Γ. Òîãäà V3 ∫∑(∫(2)(x) =Γ))3 ∫(()∑∂1∂1ν(y)dS y =ν(y)dS=n(y)yk−∂yk |x − y|∂→n y |x − y|k=1 Γ1∂ν(y)dS y∂xk |x − y|k=1 Γ()()∂1∂1òàê êàê ∂y |x − y| = − ∂x |x − y|kk∫3∑n(y)ν(y)∂kV (0) (x) = −dS y∂xk|x − y|=−nk (y)k=1⇒ΓÇàìåòèì, ÷òî ïîä çíàêîì èíòåãðàëà ñòîèò ïîòåíöèàë ïðîñòîãî ñëîÿ.V (2) (x) - ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè 3-õ ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé.

Çíà÷èò îíà ñàìàÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé. (→− )|x − y| ∂ ( 1 ) x − y, n (y) 1= = → 6−33|x − y||x − y||x − y|2∂n y |x − y|Ëåììà 10.3: Ïóñòü Ω - îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòüñ Γ ∈) C2 .(−n (y)x − y, →Òîãäà ∀x, y ∈ Γ, x , y ñïðàâåäëèâà îöåíêà: |x − y|3 6 |x M− y|d > 0 (íàâåðíÿêà ýòî êàêàÿ-íèáóäü êîíñòàíòà èç ñâîéñòâ ãëàäêèõ ïîâåðõíîñòåé )Ðàçîáü¼ì òî÷êè íà äàë¼êèå îò ãðàíèöû è áëèçêèå:1)äàë¼êèå:|x)− y| > d(−n (y) x − y, →11111M=·6 ·=|x − y| |x − y| d |x − y| |x − y||x − y|22)áëèçêèå: |x − y| < d òî÷êå y ðàññìîòðèì ïîäõîäÿùóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò: y(0, 0, 0); x(ξ1 , ξ2 , Fy (ξ′ ))→−n (y) = (0, 0, 1)(−n (y)) x − y, →F y (ξ′ ) M2 · |ξ′ |2M2=66, òàê êàê|x − y||x − y||x − y3 ||x − y|3√√|x − y| = ξ21 + ξ22 + F2y (ξ′ ); |ξ′ | = ξ21 + ξ22|x − y|36Ëåììà 10.4: Åñëè ν(x) ∈ C(Γ), òî ÏÄÑ V(2) (x) ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ Γ, è V(2) (x) ∈ C(Γ)∫V (2) (x) =K(x, y)ν(y)dS yK(x, y) =ΓÄëÿ ïîëÿðíîãî ÿäðàx,y1)ÿäðî ∈ C(.)2)|ÿäðî| 6 |x −My|α(−n (y))x − y, →|x − y|3æ(x, y), α<n|x − y|αíàøå ÿäðî ïîëÿðíîåËåììà 10.5: Ïóñòü Ω - îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ Γ ∈ C2 .

Òîãäà⇒∫(1)VGAUSS (x) =Äîêàçàòåëüñòâî:Γ(∂1−∂→n y |x − y|∫)dS y =(−n (y))x − y, →|x − y|3Γ1) Ïóñòü x ∈ Ω44dS y−4π, x ∈ Ω −2π, x ∈ Γ=  0, x ∈ R3 \Ωu(x) ≡ 1,∫Γ(òîãäà∂1−∂→n y |x − y|))(∫ (1∂1∂1dS y −−−dS y ⇒→−−4π|x−y|4π|x−y|∂n y∂→ny∫1=Γ)dS y = −4πΓ3)Ïóñòü x ∈ (R3 \Ω)Èñïîëüçóåì ïåðâóþ ôîðìóëó Ãðèíà:)∫∫ ( (()))( )111∂∆y· 1 dy =dS y −∇y, ∇ y 1 dS y ⇒1· →|x − y||x − y|∂−n y |x − y|ΓΓΩ()∫∂1dS y = 0−∂→n y |x − y|∫(Γ3) Òåïåðü ðàññìîòðèì x ∈ Γ0 = ϵ > 0 Ωϵ = Ω\B(x, ϵ);Γϵ = Γ\B(x, ϵ); σϵ = Ω ∩ (|y − x| = ϵ)((−n (y))−n (y))∫∫ x − y, →∫ x − y, →()∂1dS y =dS y +dS y−|x − y|3|x − y|3∂→n y |x − y|σϵΓϵ ∪σϵΓϵ(−n (y))∫ x − y, →ÎöåíèìdS y|x − y|3σϵ()− →−x − y, n (y)|x − y|· →n (y)· cos 011=== 2332|x|x − y||x − y|ϵ( − y| − )∫ x − y, →∫n (y)11dS y =dS y →2πε2 = 2π|x − y|3ε2ε2σϵσϵ((−n (y))−n (y))∫ x − y, →∫ x − y, →dS y →dS y|x − y|3|x − y|3Γϵ∫ Γ ()1(2)Ïîýòîìó VGAUSS (x) = ∂→dS y = −2π∂−n y |x − y|ΓÏóñòü Ω - îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â R3 ñ ãðàíèöåé Γ êëàññà C2 .

Ïóñòü x0 - ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íàΓ è d - êîíñòàíòà,ôèãóðèðóþùàÿâ ñâîéñòâå (3) ïîâåðõíîñòåé êëàññà C2 . Ïîêàæåì,÷òî ∀x, òàêîé ÷òî)(dèíòåãðàë(x ∈ R3 ) ∩ |x − x0 | 64∫I2 =|x0 −y|<d/2(−n (y)) x − y, →|x − y|3dS yîãðàíè÷åí êîíñòàíòîé, íå çàâèñÿùåé îò (.)x01)Îïóñòèì èç òî÷êè x ïåðïåíäèêóëÿð íà Γ è ïîëó÷èì òî÷êó x∗2)Ââåä¼ì â îêðåñòîñòè (.)x∗ ïîäõîäÿùóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò, ñâÿçàííóþ ñ òî÷êîé x∗3)Íåîáõîäèìûå íåðàâåíñòâà:à)Òàê êàê |x − x0 | 6 d4 è x0 ∈ Γ, òî |x − x∗ | 6 d4á)|x0 − x∗ | = |x − x + x0 − x∗ | 6 |x − x0 | + |x − x∗ | 6 d4 + 4d = 2dâ)Òàê êàê |y − x0 | < d2 , |y − x∗ | = |y − x0 + x0 − x∗ | 6 |y − x0 | + |x0 − x∗ | < 2d + d2 = dã) Êîîðäèíàòû òî÷åê è âåêòîðîâ â ïîäõîäÿùåé ñèñòåìå êîîðäèíàò.x∗ =((0, 0, 0))y = η1 , η2 , F(η′ )x = (0, 0, x3 )x − y = (−η1 , −η2 , x3 − F(η′ ))→−n (y) = (−Fη1 , −Fη2 , 1)√1 + F2η1 + F2η245∂F ( ′ ) ∂F ( )∂2 F ( )∂2 F ( ′ )η −0, 0 = η1 · 2 η̃′ + η2 ·η̃˜ ⇒∂η1∂η1∂η1 ∂η2∂η1() ∂2 F ( )∂2 F ( ′ )η1 Fη1 (η′ ) = η21 · 2 η̃′ + η1 η2 ·η̃˜ 6 |η1 |2 · M2 + |η1 |· |η2 |· M2 = M2 |η1 |2 + |η1 |· |η2 | ∂η∂η ∂η( 1 2) 1′2β) Àíàëîãè÷íî η2 Fη2 (η ) 6 M2 |η2 | + |η1 |· |η2 |()γ) |F| 6 M2 · |η1 |2 + |η2 |2 − ñâîéñòâî (1) ïîâåðõíîñòè êëàññà C2 ) η1 · Fη1 + η2 · Fη2 + x3 − F(η′ ) η1 · Fη1 + η2 · Fη2 + x3 + F(η′ )(→−ä) x − y, n (y) =66√√1 + F2η1 + F2η21 + F2η1 + F2η2)()(M2 |η1 |2 + |η2 |2 + 2|η1 |· |η2 | + |η1 |2 + |η2 |2 + |x3 | 3M2 · |η1 |2 + |η2 |2 + |x3 |6<√√1 + F2η1 + F2η21 + F2η1 + F2η2α)Fη1 (η′ ) =dδ|F(η′ )| 6 M2 |η′ |2 & |x − x∗ | 64dd⇒ −2|x3 |· |F(η′ )| > −2· M2 |η′ |2 = − M2 · |η′ |242då)|x − y|2 = η21 + η22 + x23 + F2 (η′ ) − 2x· F(η′ ) > η21 + η22 + x23 − 2x· F(η′ )2 > |η′ |2 + x23 − 2 M2 · |η′ |2 >()d> 1 − M2 · |η′ |2 + |x3 |22(−n (y))∫∫√ x − y, →3M2 · |η′ |2 + |x3 |1æ) I2 =dS6·1 + F2η1 + F2η2 dη1 dη2 6·√y[(]3/2)|x − y|322d1 + Fη1 + Fη2|η′ |<d|x0 −y|<d/21 − M2 · |η′ |2 + |x3 |22∫∫′2|η |dη1 dη23M26[dη1 dη2 + |x3 |·]3/2 ·[(]3/2 =′ |3)|ηdd′221 − M2|η′ |<d|η′ |<d1 − M2 · |η | + |x3 |22∫2π ∫d∫2π ∫dρ· dρ· dφρdρdφ3M2+ |x3 |·=[]3/2 ·[(]3/2 =)ρdd220 00 01 − M21 − M2 ρ + |x3 |22[]6πM2 · d2π|x3 ||x3 |6πM2 · d4π=[− [(]·] =K)]1/2 6 []3/2 + []3/2 + [dd|x|3dd1 − dM2 /2 ρ2 + |x3 |21 − M21−M21 − M21−M22222⇒ |x3 | 6Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ W(x, x0 ) =∫(d4−n (y)) [x − y, →|x − y|3)(Çäåñü x0 ∈ Γ - ïðîèçâîëüíàÿ, à x ∈ B x0 , d4Ïîêàæåì, ÷òî W(x, x0 ) → W(x0 , x0 ) ïðè x → x0]ν(y) − ν(x0 ) dS yΓÁóäåì äåéñòâîâàòü ïî îïðåäåëåíèþ.

Ïóñòü äàíî ϵ > 0 Íàéä¼ì δϵ > 0, òàêîå ÷òî∀x : |x − x0 | < δϵ áóäåò |W(x, x0 ) − W(x0 , x0 )| < ϵ1)Ôóíêöèÿ ν(x) ∈ C(Γ) (⇒ ν(x) ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíàíà Γ ⇒)0∀ϵ > 0 ∃β(ϵ), òàêîé ÷òî ∀ y ∈ Γ & |y − x | < β(ϵ) |ν(y) − ν(x0 )| < ϵβ2)Ïåðâîå ïðèáëèæåíèå ê δϵ : δϵ = 4(−n (y)) ][−n (y)) (x0 − y, →∫ [ x − y, →] |W(x, x0 ), W(x0 , x0 )| = −ν(y) − ν(x0 ) dS y 6|x − y|3|x0 − y|3Γ ∫6 ( −n (y)) ]−n (y)) (x0 − y, →[ x − y, → 0 −ν(y)−ν(x ) dS y + |x − y|3|x0 − y|3[ ∫ϵ(−n (y)) x − y, →|y−x0 |<β|y−x0 |<β|∫Γ\(|y−x0 |<β)|x − y|3{z6K∫dS y +}|y−x0 |<β|(−n (y)) x0 − y, →|x0 − y|3{z6K(−n (y)) ]−n (y)) (x0 − y, →[ x − y, → 0 −ν(y)−ν(x ) dS y 6|x − y|3|x0 − y|3]∫dS y +2· max |ν(y)|·y∈Γ}46Γ\(|y−x0 |<β) (→− ) (x0 − y, →−n (y)) x − y, n (y)−dS y303|x − y||x − y|∫Íî ψ(x) =Γ\(|y−x0 |<β) (−n (y)) →− ) (x0 − y, → x − y, n (y)−dS y303|x − y||x − y|β 3= β>04 4|x − y| > |x0 − y| − |x − x0 | > β −Íàéä¼òñÿ òàêîå δ1 , ÷òî∀x : |x − x0 | < δ1ψ(x0 ) = 0 ⇒β- íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ x ïðè |x − x0 | 6 δϵ = 4Îïðåäåëèì δϵ òàê:Ïðè x òàêèõ, ÷òî |x − x0 | < δϵ èìååì:{δϵ =|ψ(x) − ψ(x0 )| < ϵδ1 , åñëè δ1 < β/4β/4, åñëè δ1 > β/4|W(x, x0 ) − W(x0 , x0 )| < 2K· ϵ + 2M· ϵ = C̃· ϵÇàìåòèì, ÷òî ∀ϵ > 0 âåëè÷èíó δϵ ìîæíî âûáðàòü íå çàâèñÿùåé îò òî÷êè x0Òåîðåìà 10.3: Ïóñòü Ω - îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ Γ ∈ C2 ;1) Òîãäà ÏÄÑ V(2) (x) ∈ C(Ω);(2)2)V+ (x) =limx∈Ω; x→x0 ∈Γ(2)V− (x) =ν(x) ∈ C(Γ)V (2) (x) ∈ C(R3 \Ω)V (2) (x) = V (2) (x0 ) − 2πν(x0 )limx∈R3 \Ω; x→x0 ∈ΓV (2) (x) = V (2) (x0 ) + 2πν(x0 )Äîêàçàòåëüñòâî: Ïóñòü x0 ∈ Γ - ôèêñèðîâàííî.()Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ W(x, x ) =∫0−n (y) [x − y, →Γ|x − y|3]ν(y) − ν(x0 ) dS yÎíà áóäåò íåïðåðûâíîé, è áîëåå òîãî, ïî äîêàçàííîìó ðàíåå, W(x, x0 ) → W(x0 , x0 ) ïðè x → x0∫V (2) (x) = W(x, x0 ) + ν(x0 )Γ(−n (y))x − y, →|x − y|3dS yV (2) (x) → W(x0 , x0 ) + ν(x0 )· (−4π)x → x0 , x ∈ Ω((−n (y))−n (y))∫ x0 − y, →∫ x0 − y, →W(x0 , x0 ) + ν(x0 )· (−4π) =ν(y)dS y − ν(x0 )dS y − 4πν(x0 ) =|x0 − y|3|x0 − y|3ΓΓ= V (2) (x0 ) + 2πν(x0 ) − 4πν(x0 ) = V (2) (x0 ) − 2πν(x0 )Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê áóäåò ñíàðóæè.Òóò íàïèñàíî íåìíîãî òðàâû, ïðî òî ÷òî ãàóññîâêèé èíòåãðàë îãðàíè÷åí.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
312,39 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6510
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее