Lektsii_zubova_2 (1181474)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Íàáðàë Áàáè÷åâ Äìèòðèé©Îãðîìíàÿ ïðîñüáà, î çàìå÷åííûõ îïå÷àòêàõ ñîîáùàòü. Ïî âîçìîæíîñòè ôîðìóëèðîâàòü â ñòèëå - êàêàÿ-òî ñòðàíèöà, êàêàÿòî ñòðî÷êà, âìåñòî òîãî-òî íóæíî ïèñàòü ÷òî-òî. Áîëåå òîãîíåêîòîðûå ìåñòà íàïèñàíû íå ñîâñåì ïîíÿòíî, òàê ÷òî åñëèó âàñ åñòü ÷òî äîáàâèòü, òî ïèøèòå òîæå. Âìåñòå ó íàñ ïîëó÷àòñÿ äåéñòâèòåëüíî êà÷åñòâåííî ïðîâåðåííûå ëåêöèè. Òàêæååñòü õîðîøàÿ ïðîãðàììà, â êîòîðîé ìîæíî ðèñîâàòü îòëè÷íûå ðèñóíêè.

Îíà òóò æå â àðõèâå äîëæíà ëåæàòü. Åñëè áóäåò âðåìÿ è æåëàíèå, ïðîñüáà íàðèñîâàòü ýñêèçû. Ýòî ñîâñåìíå ñëîæíî, è ëåêöèè ñòàíóò áîëåå ïîíÿòíûìè. Òàê êàê ýòîðàñïðîñòðàíèòñÿ äîâîëüíî øèðîêî, îñòàâëÿþ ñâîþ àñüêó äëÿîáðàòíîé ñâÿçè: 494103934.1Ìåòîä Ôóðüåut − a2 uxx = f (t, x); 0 < t < T, 0 < x < l u = u (x), 0 6 x 6 l (íà÷àëüíîå óñëîâèå)0t=0 u = ψ (t); u = ψ (t), 0 6 t 6 T (êðàåâûå01(∗)(∗∗)(∗ ∗ ∗)óñëîâèÿ)QT = (0, t) × (0, l) óñëîâèÿ ìû ñòàâèì íà ïàðàáîëè÷åñêèé ãðàíèöå íàøåé îáëàñòè QTx=0x=lÎïðåäåëåíèå: êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì ñìåøàííîé çàäà÷è (∗ − ∗ ∗ ∗) íàçûâàåòñÿ òàêîå u(t, x):1)u(t, x) ∈ C1,2t,x (QT ) ∩ C(QT )2)óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (∗) â QT è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (∗∗), (∗ ∗ ∗)Òåîðåìà 5.1(åäèíñòâåííîñòè): íå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü áîëåå îäíîãî êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ñìåøàííîé çàäà÷è (∗ − ∗ ∗ ∗)Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò äâà ðåøåíèÿ: uI (t, x), uII (t, x)1)v(t, x) = uI (t, x) − uII (t, x) ∈ C1,2t,x (QT ) ∩ C(QT )2)îíà ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è:{2Lv(t, x) ≡ vt − a vxx = 0v=0ïàðàá.ãðàíèöà ñèëó ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû 4.4 ìàêñèìóì è ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ íà ïàðàáîëè÷åñêîé ãðàíèöå ìíîæåñòâà QT : |v(t, x)| 6 max |v(t, x)| = 0 ⇒ v(t, x) ≡ 0 : uI (t, x) è uII (t, x) ñîâïàäàþò.Ïîêà ìû íè÷åãî íå ãîâîðèëè ïðî ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ, à ãîâîðèëè òîëüêî ïðî òî, ÷òî åñëè îíîñóùåñòâóåò, òî áóäåò åäèíñòâåííûì.

Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé:ut − a2 uxx = 0; 0 < t < T, 0 < x < l u = u (x), 0 6 x 6 l0t=0 u = 0; u = 0, 0 6 t 6 Tx=0x=lÇàìåòèì, ÷òî íåîáõîäèìûìè óñëîâèÿìè ðàçðåøèìîñòè áóäóò u0 (0)óñëîâèÿ ñîãëàñîâàíèÿ íà÷àëüíûõ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé.( u ∈ C(QT ) )= 0 = u0 (l)- òàê íàçûâàåìûåÁóäåì ðåøàòü ýòó çàäà÷ó.

Èä¼ì ïî ïóòè Ôóðüå. Õîòåëîñü áû íàéòè ìíîãî ðåøåíèé, äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåì ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.U(t, x) = X(x)θ(t); u(t, x) . 0:θ′ (t)X(x) = a2 θ(t)X′′ (x), ôîðìàëüíî ïîäåñëèì îáå ÷àñòè íà U(t, x):θ′ (t)X′′ (x)= a2Ñëåâà ôóíêöèÿ îò t, ñðàâà îò x - ýòî âîçìîæíî, êîãäà îáå ÷àñòè ðàâíû êîíñòàíòå. Ïóñòüθ(t)X(x)ýòà′ êîíñòàíòàðàâíà −λa2 :′′θ (t)X(x)= a2= −λa2 Èìååì äâà óðàâíåíèÿ:θ(t)X(x){−X′′ (x) = λX(x),θ′ (t) = −λa2 θ(t),0<l<xt>0Ðàññìîòðèì ïåðâîå èç íèõ. Ïîäñòàâëÿÿ ãðàíè÷íûå äàííûå, èìååì: U(t, 0) = X(0)θ(t) = 0êàê U(t, x) . 0, Òî ýòî âîçìîæíî òîëüêî êîãäà X(0) = 0. Àíàëîãè÷íî X(l) = 0 Òî åñòü:−X′′ (x) = λX(x), 0 < x < l − î.ä.ó 2 ïîðÿäêà∀t > 0.ÒàêX(0) = 0 X(l) = 0Ïîñìîòðèì, êîãäà ýòî óðàâíåíèÿ èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå.

Äëÿ ýòîãî ñôîðìóëèðóåì ÷àñòíûéñëó÷àé çàäà÷è Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ:Ïóñòü äàí îïåðàòîð A:1)D(A) = {X(x) : X(x) ∈ C2 ([0, l]), X(0) = X(l) = 0}2)Im(A) = C([0, l])3)A : X(x) → −X′′ (x)Ýòî òàê íàçûâàåìûé îïåðàòîð −∆ ñ óñëîâèÿìè Äèðèõëå.Äðóãèìè ñëîâàìè ìû ðåøàåì óðàâíåíèå Ax = λx, òî åñòü èùåì ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è çíà÷åíèÿîïåðàòîðà A2Ðàññìîòðèì 3 ñëó÷àÿ:1)λ < 0 :√√X′′ (x) − |λ|X(x) = 0 ⇒ X(x) = C1 e |λ|x + C2 e− |λ|x{X(0) = 0 = C1 +C√√ 2èìååò íåòðèâèàëüíûåX(l) = 0 = C1 e |λ|l + C2 e− |λ|l√√e2 |λ|l = 1; |λ|l = 0 - ïðîòèâîðå÷èå.2)λ = 0 :−X′′ (x) = 0 ⇒ X(x) = C1 x + C2{X(0) = 0 = C1 · 0 + C2X(l) = 0 = C1 · l + C2l=0ðåøåíèÿ, òîëüêî åñëèèìååò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ, òîëüêî åñëè √1 e |λ|l1√− |λ|le = 0 ⇒ 0 1 l 1 = 0 ⇒- ïðîòèâîðå÷èå.

Òî åñòü λ 6 0 íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì îïåðàòîðà.3)1)λ > 0 :√√X′′ (x) + λX(x) = 0 ⇒ X(x) = C1 cos λx + C2 sin λx{X(0) = 0 = C1 · 1 +√C2 · 010√√√ = 0 ⇒èìååòíåòðèâèàëüíûåðåøåíèÿ,òîëüêîåñëè cos λl sin λl X(l) = 0 = C1 cos λl + C2 sin λl√√sin λl = 0 - õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå. ⇒ λl = πk, (k ∈ Z)( )2πkλ = λk =, (k ∈ Z)lπkXk (x) = sinx, (k ∈ N), òàê êàê ïðè k 6 0 ìû ïîëó÷àåì ðåøåíèÿ, ëèíåéíî çàâèñèìûå îò óæålïîëó÷åííûõ.Òåïåðü ïåðåéäéì ê ðàññìîòðåíèþ âòîðîãî óðàâíåíèÿ:ðåøàåì åãî óæå ïðè íàéäåííûõ λ:θ′ (t) = −λa2 θ(t), t > 0−( aπk )2 tθ′k (t) = −λk a2 θk (t), t > 0 ⇒ θk (t) = e laπk 2πkUk (t, x) = e−( l ) t sinx, t > 0; 0 6 x 6 l, k ∈ NlÏðî ïîëó÷åííóþ ôóíêöèþ ìîæíî ñêàçàòü:1)Uk (t, x) ∈ C∞ (QT )2)Uk (t, 0) = Uk (t, l) = 03)(Uk )t − a2 (Uk )xx = 04)Uk (0, x) = sin πkl xÐàññìàòðèâàåìàÿ ñìåøàííàÿ çàäà÷à ëèíåéíà. Ïîýòîìó ìû óìååì ðåøàòü å¼, âçÿâ â êà÷åñòâå íà÷àëüíûõ äàííûõ ëþáóþ êîíå÷íóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ èç ïîëó÷åííîãî ñåìåéñòâà ðåøåíèé.

Áîëååòîãî ∀u0 (x) ∈ C([0, l]); u0 (0) = u0 (l) = 0 ïî òåîðåìå Âåéðøðàññà ìîæíî ïðèáëèçèòü ñêîëü óãîäíî áëèçêî,è ïî ïðèíöèïó ìàêñèìóìà ìàêñèìàëüíàÿ îøèáêà áóäåò íàáëþäàòüñÿ íà ïàðàáîëè÷åñêîé ãðàíèöå.Ðàññìîòðèì äâà ìíîæåñòâà:{ }N1)Ìíîæåñòâî ôèíèòíûõ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé (êîíå÷íîìåðíûå âåêòîðû) Ak k=12)Ìíîæåñòâî ôóíêöèé u0 (x) =N∑Ak sink=1πkxlÄîêàæåì, ÷òî ìåæäó äâóìÿ ýòèìè ìíîæåñòâàìè áóäåò íàáëþäàòüñÿ áèåêöèÿ:u0 (x) =N∑Ak sink=1πkxlπn ∑πkπnu0 (x) sin=Ak sinsinxlllN∫l0k=1πn ∑u0 (x) sin=AklNk=1∫lsinπkπnsinxll032An =l∫lu0 (x) sinπnxdx,lòî åñòü ïî ôóíêöèè îäíîçíà÷íî ñòðîÿòñÿ êîýôôèöèåíòû.0Òåïåðü íàìáû õîòåëîñü ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî ôóíêöèé, è áðàòü áåñêîíå÷íîìåðíûå âåêòîðû.

Äëÿ∞∑ýòîãî ðÿä Ak sin πkl x äîëæåí ñõîäèòñÿ, è ïîðîæäàòü íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ. Êðîìå òîãî ðÿäk=1U(t, x) =∞∑Ak Uk (t, x)x òîæå äîëåæåí ñõîäèòñÿ, è áîëåå òîãî èìåòü íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå Utè Uxx .k=1Ñóçèì êëàññ ðàññìàòðèâàåìûõáåñêîíå÷íîìåðíûõ âåêòîðîâ, è áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî òå, äëÿ∞∑êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ: |Ak | < ∞ Äîêàæåì, ÷òî äëÿ ýòîãî êëàññà óêàçàííûå ðàíåå ðÿäû ñõîäÿòñÿ, èk=1Ut , Uxx - íåïðåðûâíû. ∑∞∞πk ∑Äåéñòâèòåëüíî: |u0 (x)| = Ak sin l x 6 |Ak | < ∞.k=1k=1Ïî òåîðåìå Âåéðøðàññà ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî, è ñóììà åãî áóäåò íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé. Äîêàæåì, ÷òî åñëè â óêàçàííûå ðàíåå äâà ìíîæåñòâà äîáàâèòü ðàññìàòðèâàåìûé êëàññ áåñêîíå÷íîìåðíûõâåêòîðîâ, òî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ñîõðàíèòñÿ.∞u0 (x) =∑k=1Ak sinπkxlπn ∑πkπnu0 (x) sin=Ak sinsinxlll∫l∞k=1πn ∑Aku0 (x) sin=l∞k=10An =2l∫lu0 (x) sin∫lsinπkπnsinxll0πnxdxlÇäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòüþ, è âûíåñëè çíàê èíòåãðàëà èç ïîä çíàêà ñóììû.0Òåïåðü ïîñìîòðèì íà ðÿä U(t, x) =πk −( aπk)2 tl1)Ak ex 6 Ak :sinl U(t, x) ∈ C(QT )2)u(t, 0) = u(t, l) = 03)u(0, x) =∞∑k=1Ak sin∀t > 0∞∑Ak Uk (t, x)x = U(t, x) =k=1∞∑Ak e−(aπk )2 tlk=1sinπkxlñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî íà QT :- â ñèëó íåïðåðûâíîñòè.πkx = u0 (x)l4)Äîêàæåì, ÷òî u(t, x) ∈ C∞ (t > 0, 0 6 x 6 l)Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ïðÿìîóãîëüíèê: t > δ > 0;Ôîðìàëüíî ïðîäèôôåðåíöèðóåì ðÿä.x ∈ [0, l]()aπk 2 −( aπk )2 tπksinx ∀x ∈ [0, l]; t > δ > 0e lllk=1))()((πk aπk 2 −( aπk )2 taπk 2 −( aπk )2 δ Ak aπk 2 −( aπk )2 δsinx 6 |Ak |=e le lδ· e l − Akll lδlut v∞∑−AkÏóñòü y(x) = xe−x (x > 0) : y′ (x) = e−x (1 − x); èññëåäóåì íà ýêñòðåìóìû, èìååì: y(x) 6 1eÒî åñòü ðàññìàòðèâàåìàÿ ôóíêöèÿ 6 |Aδlk | Ïðîäèôôåðåíöèðîâàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî è àáñîëþòíî.

Áåðÿ âñåâîçìîæíûå ïðÿìîóãîëüíèêè, êîòîðûå ïîêðûâàþò (t > 0, 0 6 x 6 l), ïîëó÷àåì èñêîìîå.Àíàëîãè÷íî ìîæíî áðàòü ëþáûå ïðîèçâîäíûå ïî x è ïî t, òàê êàê ýêñïîíåíòà âñ¼ âðåìÿ áóäåò çàáèâàòüáîëåå ñëàáóþ ôóíêöèþ - ìíîãî÷ëåí.uxx =∞∑k=1−Ak()aπk 2 −( πk )2 tπkx ∀x ∈ [0, l]; t > 0e l sinll4ut − a2 uxx = 0Òî åñòü äëÿ{Ak}∞k=1∞∑;|Ak | < ∞;u0 (x) =k=1∞∑Ak sink=1Çàìåòèì, ÷òî êëàññ ôóíêöèé u0 (x) ∈ C1 ([0, l]);ìîì ðàíåå êëàññå.πkxl- ðåøàòü óìååì.u0 (0) = u0 (l) = 0áóäåò ñîäåðæàòüñÿ â ðàññìàòðèâàå-Óòâåðæäåíèå: Ïóñòü â íåêîòîðîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì, îïåðàòîð A ñèììåòðè÷åí (ñàìîñîïðÿæ¼í) (Ax, y) = (x, Ay), òîãäà:1)Âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äåéñòâèòåëüíû2)Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì îðòàãîíàëüíû.Âñïîìíèì, ÷òî ( f, g) = (g, f ); (λ f, g) = λ( f, g); ( f, µg) = µ( f, g)Ðàññìîòðèì äâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿ è âåêòîðà: xk , λk , xn , λn1)λk (xk , xk ) = (λk xk , xk ) = (Axk , xk ) = (xk , Axk ) = (xk , λk xk ) = λk (xk , xk )⇒ λk ∈ R2)λk (xk , xn ) = (λk xk , xn ) = (Axk , xn ) = (xk , Axn ) = (xk , λn xn ) = λn (xk , xn ) = λn (xk , xn )2Ëåììà 5.1: Îïåðàòîð A = − dxd 2(−∆),îïðåäåë¼ííûé íà D(A) ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì îòíîñèòåëüíî∫lñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòðàíñòâà L2 (0, l) :∫l(Au, v) =⇒ (xk , xn ) = 0(u, v) =u(x)v(x)dx0l ∫ ll ∫ l′′′′′′[−u (x)]v(x)dx = −u (x)v(x) +u (x)v (x)dx = u(x)v (x) +u(x)[−v′′ (x)]dx = (u, Av)0000Îòñþäà â ÷àñòíîñòè ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî0∫lsinπkπnx· sinx· dx = 0,llïðè n , k0Ëåììà 5.2: Ïóñòü {e1 , e2 , .

. . , en , . . . } - êîíå÷íàÿ, èëè ñ÷¼òíàÿ îðòîãàíàëüíàÿ ñèñòåìà ýëåìåíòîâ â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå H ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì:(ek , e j ) = 0, k , j; (ek , ek ) > 0.Òîãäà ∀ f ∈ H ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ:∞∑|ck |2 (ek , ek ) 6 ( f, f );Äîêàçàòåëüñòâî:ck =k=1(f−N∑ck ek , f −N∑)c j e j > 0,0 6 ( f, f ) −N∑ck (ek , f ) −N∑ck ( f, e j ) +j=1k=1N∑ðàñêðîåì ñêîáêè, èìååì:j=1k=1( f, f ) −( f, ek )(ek , ek )|ck |2 (ek , ek )k=1ck c j (ek , e j ) = ( f, f ) −k,j=1N∑⇒N∑|αk |2 < ∞,k=1Òîãäà ðÿä∞∑αk βkN∑j=1c j c j (e j , e j ) +N∑ck ck (ek , ek ) =j=1|ck |2 (ek , ek ) 6 ( f, f )∞∑ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè k → ∞, èìååì:Ëåììà 5.3: Ïóñòü ðÿäûck ck (ek , ek ) −k=1k=1∞∑N∑∞∑k=1|βk |2 < ∞k=1ñõîäèòñÿ, ïðè÷¼ìk=1∞∑|αk βk | 6k=1|ck |2 (ek , ek ) 6 ( f, f )vt∞∑k=1|αk | ·2vt∞∑k=1|βk |2Äëÿ äîêàçàòåëüñòâî èñïîëüçóåì íåðàâåíñòâî Êîøè Áóíÿêîâñêîãî Øâàðöà.

Âîçüì¼ì N > 0N∞N∞∑∑∑∑de f22 de f2|αk | 6|αk | = A;|βk | 6|βk |2 = Bk=1N∑k=1vutvutk=1|αk βk | 6N∑k=1|αk |2 ·k=1N∑|βk |2 6k=1√ √A Bk=15Ýòî âåðíî äëÿ ëþáîãî N, çíà÷èò ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, è äëÿ íåãî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî Êîøè Áóíÿêîâñêîãî Øâàðöà.Ëåììà 5.4: Ïóñòü:1)v(x) ∈ C1 ([0, l])2)v(0) = 0; v(l) = lÒîãäà:a)Ðÿä∞∑k=1πkAk sinx,lãäåx ∈ [0, l],2Ak =l∫lv(y) sinπky· dyl0ñõîäèòñÿ ê v(x) íà [0, l] àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî, ïðè÷¼ì:á)Ak = πkl αk ,ãäå2αk =l∫lv′ (y) cosπky· dyl0Äîêàæåì.π2πnπ1)Íà [0, l]{e1 , e2 , . .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций