Lektsii_zubova_1 (1181473)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Íàáðàë Áàáè÷åâ Äìèòðèé©Îãðîìíàÿ ïðîñüáà, î çàìå÷åííûõ îïå÷àòêàõ ñîîáùàòü. Ïî âîçìîæíîñòè ôîðìóëèðîâàòü â ñòèëå - êàêàÿ-òî ñòðàíèöà, êàêàÿòî ñòðî÷êà, âìåñòî òîãî-òî íóæíî ïèñàòü ÷òî-òî. Áîëåå òîãîíåêîòîðûå ìåñòà íàïèñàíû íå ñîâñåì ïîíÿòíî, òàê ÷òî åñëèó âàñ åñòü ÷òî äîáàâèòü, òî ïèøèòå òîæå. Âìåñòå ó íàñ ïîëó÷àòñÿ äåéñòâèòåëüíî êà÷åñòâåííî ïðîâåðåííûå ëåêöèè. Òàêæååñòü õîðîøàÿ ïðîãðàììà, â êîòîðîé ìîæíî ðèñîâàòü îòëè÷íûå ðèñóíêè. Îíà òóò æå â àðõèâå äîëæíà ëåæàòü. Åñëè áóäåò âðåìÿ è æåëàíèå, ïðîñüáà íàðèñîâàòü ýñêèçû.

Ýòî ñîâñåìíå ñëîæíî, è ëåêöèè ñòàíóò áîëåå ïîíÿòíûìè. Òàê êàê ýòîðàñïðîñòðàíèòñÿ äîâîëüíî øèðîêî, îñòàâëÿþ ñâîþ àñüêó äëÿîáðàòíîé ñâÿçè: 494103934.1Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.Òåîðèÿ íåêîòîðûõ çàäà÷ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè.Òèïû óðàâíåíèé:1. Ãèïåðáîëè÷åñêèå óðàâíåíèÿ (óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé)utt = a2 uxx + f (t, x), x ∈ R1- ìàëûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû, ñòåðæíÿ.utt = a2 (uxx + u yy ) + f (t, x, y) (x, y) ∈ R2- äâóìåðíîå óðàâíåíèå êîëåáàíèé ìåìáðàíû.utt = a2 (uxx + u yy + uzz ) + f (t, x, y, z) (x, y, z) ∈ R32.

Ïàðàáîëè÷åñêèå óðàâíåíèÿut = a2 ∆u + f (t, x), x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn- óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè.3. Ýëëèïòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ (îïèñûâàþò ñòàöèîíàðíûå ïðîöåññû)∆u = f (x)- óðàâíåíèå Ïóàññîíà.α1 , . . . , αn - öåëûå, íåîòðèöàòåëüíûåα = (α1 , . . . , αn )|α| = α1 + . . . + αn - ìîäóëü ìóëüòèèíäåêñà.Îáîçíà÷åíèÿ :÷èñëà:αk > 0, k = 1, nìóëüòèèíäåêñDj =∂α1∂∂αn∂|α|∂α jα; D j j = α j ; Dα u = α1 . .

.αn =α1∂x j∂x1∂xn∂x1 . . . ∂xαnn∂x jCk (Ω) - ìíîæåñòâî ôóíêöèé, k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ íà ìíîæåñòâå Ω :Dα u ∈ C(Ω), ∀|α| 6 kΩ - çàìûêàíèå îáëàñòè Ωkïîä C (Ω) - ïîíèìàåì ïîäìíîæåñòâî òàêèõ, äîïóñêàþùèõ íåïðåðûâíîå ïðîäîëæåíèå ñåáÿè ïðîèçâîäíûõ íà ãðàíèöó îáëàñòè.I Êëàññèôèêàöèÿ óðàâíåíèéÏðèâåäåíèå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó â òî÷êå.ÏóñòüΩ ∈ Rn- îáëàñòü.n∑∂2 u+ F(x, u, ∇u) = 0, x ∈ Rn∂xi ∂x j | {z }{z} ìëàäøàÿaij (x)i,j=1|(1)ñòàðøàÿÄèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè 2 ïîðÿäêà,ñ ëèíåéíîé ñòàðøåé ÷àñòüþ, ãäå2ai j ∈ C(Ω)Ïóñòü u −u(x) ∈ C (Ω)ðåøåíèå (1), òîãäàaij (x)íå çàâèñèò îòu∂2 u∂2 u=∂xi ∂x j∂x j ∂x jÌîæíî ñäåëàòü ìàòðèöó ñèììåòðè÷íîé, òî åñòüaij (x) = a ji (x)Íàäî ïîñòàðàòüñÿ íàéòè çàìåíó ïåðåìåííûõ, ÷òîáû èñêëþ÷èòü ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå.x0 = (x01 , .

. . , x0n ) ∈ Ωy = y(x):ÏóñòüÏóñòüy1 = y1 (x1 , . . . , xn )... yn = yn (x1 , . . . , xn )Èùåì çàìåíó∈ C2 (u(x0 ))Äîëæíî áûòü íåâûðîæäåííûì.2x1 = x1 (y1 , . . . , yn ) ... xn = xn (y1 , . . . , yn )Ýòî òàê íàçûâàåìûé äèôôåîìîðôèçì êëàññàÏîñòðîèìC2∈ C2 (v(y0 ))â îêðåñòíîñòèû(y) , u[x(y)] = u[x1 (y1 , ..., yn ), ..., xn (y1 , ..., yn )]U(x0 )íàV(y0 )û(y) ∈ C2 (v(y0 ))u(x) = û[y(x)] = û[y1 (x1 , . . . , xn ), . .

. , yn (x1 , . . . , xn )]∂u ∑ ∂û ∂yk=∂xi∂yk ∂xink=1nn∑∂2 u∂2 û ∂yk ∂yl ∑ ∂û ∂2 yk=+∂xi ∂x j∂yk ∂yl ∂xi ∂x j∂yk ∂xi ∂x jk,l=1k=1Îòñþäà, ïîäñòàâëÿÿ â (1), èìååì:n [∑n∑∂yk ∂yl ] ∂2 û+ F̂(y, û, ∇û) = 0∂xi ∂x j ∂yk ∂yl{z}âkl (y)aij (x(y))k,l=1 i,j=1|(∗)Ïîïûòàåìñÿ ïðèâåñòè ê äèàãîíàëüíîìó âèäó.0 a11 (x )..A(x0 ) = .an1 (x0 )J(x0 ) = Åñëèdet J(x0 ) , 0,.........ann (x0 ) a1n (x0 )...∂y1 0(x )∂x1.........∂yn 0(x ) . . .∂x100 â11 (y ) .

. . â1n (y )......Â(y0 ) = ...ân1 (y0 ) . . . ânn (y0 )∂y1 0 (x ) ∂xn.. − Ìàòðèöà ßêîáè.∂yn 0 (x ) ∂xnòî ïðåîáðàçîâàíèå íå âûðîæäåíî. ìàëîé îêðåñòíîñòè dy1 dy = ... ;dyn dy = J(x0 )dx; dx1 dx = ... dxn Â(y0 ) = J(x0 )A(x0 )JT (x0 )A(x0 ) = AT (x0 ) ⇒ Â(y0 )òîæå ñèììåòðè÷íàÿ.[JT (x0 )]T A(x0 ) [JT (x0 )] = ST A(x0 )S| {z }SÍåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè:Ïóñòü åñòü êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìàξ = |ξn ξ1...C = {zΦ(h),.........c11...cn1è äâà áàçèñà âc1n...cnn}η = |â ïåðâîì áàçèñåRn .η1 ..

. ηn Ĉ = {zĉ11...ĉn1âî âòîðîì áàçèñåΦ(h) = ξT Cξ = ηT Ĉη = (Sη)T C(Sη) = ηT ST CSη = ηT Ĉη ⇒ ST CS = ĈÑóùåñòâóåò òàêîé áàçèñ, ÷òîĈ.........áóäåò äèàãîíàëüíîé, è áîëëå òîãî:3ĉ1n...ĉnn}ξ = Sη+1 |{z}1Ĉ = 0 +1|{z}p−1|{z}p+1−1|{z}p+q0Φ(h) = η21 + . . . + η2p − η2p+1 − . . . − η2p+qÀëãîðèòì:1)Φ(h) = ξT A(x0 )ξ =n∑ai j (x0 )ξi ξ ji,j=12)Íàõîäèì S.3) JT4) y(x0 ) = S,J(x0 )íàõîäèì= y0 + ST (x − x0 )- ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå∂2 û∂2 û∂2 û∂2 û+ . . . + 2 − 2 − 2 + F̂(y, û, ∇û) = 02∂y1∂yp ∂yp+1 ∂yp+q- êàíîíè÷åñêèé âèä óðàâíåíèÿ â òî÷êå.

 îêðåñòíîñòè â îáùåì ñëó÷àå ïðèâåñòè ê êàíîíè÷åñêîìó âèäón(n−1)íå óäàñòñÿ. Íàïðèìåð, òàê êàê ôóíêöèé n, à ïåðåìåííûõ2 (Ýòî íå äîêàçàòåëüñòâî, à âñåãî ëèøüèäåÿ ê íåìó.)Êëàññèôèêàöèÿ1)p = n,2)p>1ëèáîèq=nq>1è- ýëëèïòè÷åñêèé òèï, êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîëîæèòåëüíî çíàêîîïðåäåëåíà.p+q=n- ãèïåðáîëè÷åñêèé òèï.3) èíà÷å - ïàðàáîëè÷åñêèé.(1 < p + q < n)Áîëåå òîãî âûäåëÿþò îòäåëüíî óëüòðàïàðàáîëè÷åñêèé òèï(qè óëüòðàãèïåðáîëè÷åñêèé òèï (q=n−1èp = 1,ëèáîp=n−1è=n−1q = 1)èp = 0,ëèáîp=n−1èq = 0)Â(y0 ) = J(x0 )A(x0 )J(x0 )[]2det Â(y0 ) = det J(x0 ) det A(x0 ) det JT (x0 ) = det A(x0 ) det I(x0 ) ⇒ sign det Â(y0 ) = sign det A(x0 )Äàëåå ðàññìîòðèì 2-õ ìåðíûé ñëó÷àé.1) Ýëëèïòè÷åñêèé ñëó÷àé 1 0 Â(y0 ) = ± ⇒ det Â(y0 ) = 1 > 0 ⇒ det A(x0 ) > 00 1 2) Ãèïåðáîëè÷åñêèé ñëó÷àé 1 0Â(y0 ) = ± 0 −100 ⇒ det Â(y ) = −1 < 0 ⇒ det A(x ) < 03) Ïàðàáîëè÷åñêèé ñëó÷àé4 1 0 Â(y ) = ± ⇒ det Â(y0 ) = 0 ⇒ det A(x0 ) = 00 0 0Çàäà÷à Êîøè è õàðàêòåðåñòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòüÂñïîìíèì ñâåäåíèÿ èç êóðñà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: ′′u (x) + F(x, u, u′ ) = 0u(x0 ) = u0− îáûêíîâåííîå u′ (x0 ) = u1äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêàÝòà çàäà÷à êîððåêòíà , òàê êàê âûïîëíÿåòñÿ 3 óñëîâèÿ:1) ðåøåíèå ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáîãî íàáîðà äîïóñòèìûõ çàäà÷.2) ðåøåíèå åäèíñòâåííî3) ðåøåíèå íåïðåðûâíî çàâèñèò îò âõîäíûõ äàííûõÏåðåéä¼ì ê ðàññìîòðåíèþ çàäà÷è Êîøè, äëÿ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè.n∑Ω ∈ Rn :à) Äëÿaij (x)i,j=1á) ÂΩçàäàíà ïîâåðõíîñòüâ) Ïóñòü íàS∂2 u+ F(x, u, ∇u)∂xi ∂x jS: ω(x) = ω(x1 , .

. . , xn ) = 0;Sω(x) ∈ C2 (Ω);çàäàíî ãëàäêîå íåêàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëåÇàäà÷à Êîøè :  íåêîòîðîé îêðåñòîñòèïîâåðõíîñòè(∗)U(x0 ) ⊂ Ω , x0 ∈ S∇ω(x) , 0∀x ∈ S−n (x)) , 0→−ν (x) : (→−ν (x), →íàéòè ðåøåíèå (*), óäîâëåòâîðÿþùåå íàñëåäóþùèì óñëîâèÿì:u(x)= u0 (x);S ∩ u(x0 )∂u (x)−v S ∩ u(x0 ) = u1 (x),∂→x ∈ S,ãäå∑∂u∂uνk (x)(x) =(x)→−∂xk∂νk=1nÒóò ìîæåò íå áûòü íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ äàííûõ.∂2 u ∂2 u−=0∂x2 ∂y2Ðåøåíèÿìè áóäóòÏóñòüτ = ( √1 ;2u(x, y) − ðåøåíèåóðàâíåíèÿu(x, y) = C, u(x, y) = αx + βy, u(x, y) = x2 + y2√1 ); âåêòîð íîðìàëè2√ ;n = ( −12√1 )2∂u−n , ∇u) = − 1 ∂u + 1 ∂u= (→√√→−∂n2 ∂x2 ∂y())()()(∂ ∂u1 ∂u1 ∂1 ∂u1 ∂u1 ∂1 ∂u1 ∂u1 ∂u→−=+=−++−+=τ,∇−√√√√√√√√−n∂τ ∂→2 ∂x2 ∂y2 ∂x2 ∂x2 ∂y2 ∂y2 ∂x2 ∂y(())1 ∂2 u∂2 u∂2 u∂2 u1 ∂2 u ∂2 u− 2 +−+ 2 = − 2 + 2 =02 ∂x∂x∂y ∂y∂x ∂y2 ∂x∂yÒî åñòü ôóíêöèþu1çàäàâàòü ìîæíî íå ïðîèçâîëüíî.5y=xÏóñòü òåïåðü:(x + y)x−yx−yû(x, y) = sin+e 2 +1+;22( x + y ) ( x − y )2ûˆ = sin++(x − y)22Òîãäà1)û(x, y = x) = sin xˆ y = x) = sin xû(x,è√∂û2) →(x, y = x) = − 2−∂n√∂ûˆ(x, y = x) = − 2→−∂nè3) Îáå ýòè ôóíêöèè óäîâëåòâîðÿþòuxx − u yy = 0Òî åñòü ðåøåíèå íå åäèíñòâåííî!!Ýòî áûëè äâà ïðèìåðà ñóùåñòâåííûõ îòëè÷èé îò îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Ïóñòü òåïåðü S - ïîâåðõíîñòü, à òî÷íåå ãèïåðïëîñêîñòüx′ = (x1 , .

. . xn−1 ) ∈ Σ, Ãäå Σ = S ∩ Ω.Ïóñòüxn = 0;−n (x) = (0, 0, . . . , 1)→−ν (x) = →ann (x) ≡ xn , ∀x ∈ Σxn∂u∂u=(x1 , . . . , xn−1 , 0) = u1 (x′ )→−∂xn∂νu(x1 , . . . , xn−1 , 0) = u0 (x′ )x1x n-1x2Òî∂u0 ′∂u(x1 , . . . , xn−1 , 0) =(x )∂x1∂x1...− â ñèëó íåïðåðûâíîñòè∂u0 ′∂u(x1 , . . .

, xn−1 , 0) =(x )∂xn−1∂xn−1åñòü çíàÿ u0 (x) è u1 (x), ìû çíàåì ãðàäèåíò íà ïîâåðõíîñòè Σ.∂2 u∂2 u0 ′(x1 , . . . , xn−1 , 0) =(x ),∂xi ∂x j∂xi ∂x j∂2 u∂u1 ′(x1 , . . . , xn−1 , 0) =(x ),∂xn ∂x j∂x jn−1∑i,j=1aij (x)i, j = 1, n − 1j = 1, n − 1n−1 []∑∂2 u∂2 u∂2 u∂2 u+ann (x) 2 + F(x, u, ∇u) = 0+anj (x)+ a jn (x)∂xi ∂x j∂xn ∂x j∂x j ∂xn∂xni=1Ýòî óðàâíåíèå â òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè, ÷ëåíann (x) ∂∂xu22nîòñóòñòâóåò, ïîýòîìó â ýòîì ñëó÷àåäîëæíû áûòü ôóíêöèîíàëüíî ñâÿçàíû.Òåïåðü ðàññìîòðèì áîëåå îáùèé ñëó÷àé, è áóäåì èñêàòü ïðåîáðàçîâàíèåy1 = y1 (x1 , . . .

, xn )...−âyn−1 = yn−1 (x1 , . . . , xn )yn = ω(x1 , . . . , xn )1)Ïóñòüîêðåñòíîñòè òî÷êè, ñïðÿìëÿþùåå â ãèïåðïëîñêîñòü.→−e k = (→−e k , . . . , →−e k ),n1k = 1, n − 12) îðòîãîíàëèçèðóåì: (íîâûé áàçèñ- áàçèñS→−̂ek )→−̂∑y1 = y1 (x1 , . . . , xn ) = ( e1 , x − x0 ) = ê1j (x j − x0j )...−−→ˆy1 = y1 (x1 , . . . , xn ) = (en−1 , x − x0 )yn = ω(x1 , . . . , xn )6u0 (x) è u1 (x)Åñëèx ∈ S,yn = 0 ∂y1 (x0 ) . . . ∂x1......0det J(x ) = ∂yn−10(x ) . . . ∂x1 ∂yn 0(x ) . .

.∂x1òî ê11... ..... .∂yn−1 0 = ên−1...1(x ) ∂xn ∂ω (x0 ) . . .∂yn 0 ∂x1(x ) ∂xn∂y1 0(x )∂xn...ên−1n∂ω 0 (x ) ∂xnê1n...−÷èñëîdet |J(x0 )|2 = |∇ω(x0 )|2 , 0 ⇒ïî òåîðåìå î íåÿâíîé ôóíêöèè ýòî äèôôåîìîðôèçì êëàññà0Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì ïðåîáðàçîâàíèåì â îêðåñòíîñòè x , èìååìn∑âkl (y)k,l=1∂2 û+ F̂(y, û, ∇û) = 0∂yk ∂yln∑ânn (y) =i,j=1n∑aij (x)i,j=1gradω(x) , 0, ∀x ∈ SS,ânn (y)n∂yn ∂yn ∑∂ω ∂ωaij [x(y)]=ai j [x(y)]∂xi ∂xi∂xi ∂xii,j=1∂ω ∂ω=0 −∂xi ∂xiÎïðåäåëåíèå: Ïîâåðõíîñòüîòñþäà íàäî îòñëåäèòü òîëüêîC2õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòüçàäàâàåìàÿ óðàâíåíèåì(∗∗)ω(x) = ω(x1 , .

. . , ωn ) = 0; ω(x) ∈ C2 (Ω);íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé, åñëè â êàæäîé å¼ òî÷êå âûïîëíåíî (**).Ïðèìåðû õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé äëÿ ðàçëè÷íûõ óðàâíåíèé.R3 : utt − a2 ∆x u = f (t, x), x ∈ R3((( )2 ( ()2)2)2 )∂ω2 ∂ω2 ∂ω2 ∂ω− a+a+a= 0 − óðàâíåíèå∂t∂x1∂x2∂x31)Âîëíîâîå óðàâíåíèå âż ðåøåíèÿìè áóäóò:ω(t, x) = a2 t2 − (x21 + x22 + x23 )ω(t, x) = a2 t2 − (x21 + x22 ) = 0ω(t, x) = at±x1 = const=02)Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòèS : ω(t, x1 , .

. . , xn ) = 0õàðàêòåðèñòèêèut − a2 ∆x u = f (t, x), x ∈ Rn∇t,x ω , 0;ω(t, x) ∈ C2 (Rn+1 )−a2 (ω2x1 +. . .+ω2xn ) = 0 ⇒ åñëè õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü ñóùåñòâóåò, òî ωx1 , . . . , ωxn = 0; ωt , 0,íàïðèìåð ω(t, x) = t − C3) Óðàâíåíèå Ïóàññîíà∆u(x) = f (x), x ∈ Rna2 (ω2x1 + . . . + ω2xn ) = 0 ⇒ ωx1 , . .

. , ωxn = 0 ⇒ ∇ω(x) = 0,çíà÷èò íå ñóùåñòâóåò äåéñòâèòåëüíûõ õàðàê-òåðèñòèê.Îïðåäåëåíèå: Òî÷êàx0ïîâåðõíîñòèS : ω(x) = ω(x1 , . . . , xn ) = 0 ω(x) ∈ C2 (Ω);gradω(x) , 0, ∀x ∈ Síàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé, åñëè â ýòîé òî÷êå âûïîëíåíî:n∑i,j=1aij (x0 )∂ω 0 ∂ω 0(x )(x ) = 0∂xi∂xiu(x) = u(x1 , . . . , xn ) íàçûâàåòñÿ0îêðåñòíîñòè U(x ) u(x) ïðåäñòàâèìà âÎïðåäåëåíèå: Ôóíêöèÿåñëè â íåêîòîðîéu(x) =∑uα (x − x0 )α ,âåùåñòâåííî-àíàëèòè÷åñêîé(Â-À) â òî÷êåâèäåα = (α1 , . . . , αn ) − ìóëüòèèíäåêñ,α:|α|>0Òåîðåìà Êîøè-Êîâàëåâñêîé: Ïóñòü â óðàâíåíèè7ãäå(x− x0 )α = (x1 − x01 )α1 · .

. . · (xn − x0n )αnx0 ,n∑aij (x)i, j=11)ai j (x) - ÂÀ â îêðåñòíîñòè òî÷êè()∂u∂ux1 , . . . , xn , u,,...,∂x1∂xn3)ω(x) - ÂÀ â îêðåñòíîñòèx0â îêðåñòíîñòèx0(S : ω(x) = 0)4)u0 (x), u1 (x) - ÂÀ ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè∈S= u1 (x)x∈Sx02)F(x, u, ∇u) - ÂÀ ôóíêöèÿ05)x∂u −n ∂→ux∈S = u0 (x);∂2 u+ F(x, u(x), ∇x u) = 0, x ∈ Rn∂xi ∂x jx0íå ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé òî÷êîé.Òîãäà:à)∃îêðåñòíîñòü òî÷êèx0U1 (x0 ),â êîòîðîé∃ÂÀ ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè.á) ýòî ðåøåíèå åäèíñòâåííî â êëàññå ÂÀ ôóíêöèé.Äîêàçûâàòü ýòó òåîðåìó ìû òóò íå áóäåì.Äâóìåðíûé ñëó÷àé.a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)u yy + F(x, u, ∇u) = 0 a(x, y) b(x, y) ; d , det A(x, y) = a(x, y)c(x, y) − b2 (x, y)A(x, y) = b(x, y) c(x, y) {η = η(x, y)ξ = ξ(x, y)â(ξ, η)ûξξ + 2b̂(ξ, η)ûξη + ĉ(ξ, η)ûηη + F̂(ξ, η, û, ∇ξ,η û) = 0 â(ξ, η) b̂ξ, η) Â(ξ, η) = = J · A[x(ξ, η), y(ξ, η)] · JT ; b̂(ξ, η) ĉ(ξ, η) ξJ = xηxξyηyâ(ξ, η) = a[x(ξ, η), y(ξ, η)]ξ2x + 2b[.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций