Lektsii_zubova_1 (1181473), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Ïî òåîðåìå Âåéåðøðàññà:ðàâíîìåðíî è àáñîëþòíî, è ïîðîæäàåò ðåãóëÿðíóþ ôóíêöèþ. Àíàëîãè÷íî äëÿu(x1 , x2 ) = Re(W1 (z)) + Im(W2 (z)) ⇒ uW1 (z)- ñõîäèòñÿW2 (z)- ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ.( )k∞ρA0 ∑+(Ak cos kφ + Bk sin kφ)=4)û(ρ, φ) =2R11=2π=12π1=2πk=1∫2πû0 (ψ)dψ +∞ [∑k=10∫2π∞∑û0 (ψ)dψ+0∫2π [k=1∞ ( )k∑ρ1(cos kφπ∫2π01û0 (ψ) cos kψdψ) + (sin kφπ∫2π( )] ρ kû0 (ψ) sin kψdψ)=R0( ∫2π)( )k∫2π [ ∑∞( ρ )k ]ρ111+2 cos k(ψ−φ)û0 (ψ)dψ =(cos kψ cos kφ+sin kψ sin kφ)û0 (ψ)dψ=πR2πR0−ik(ψ−φ)+]k=1+ik(ψ−φ)eû0 (ψ)dψR (ρ)ρRe+i(ψ−φ) ; p =Re−i(ψ−φ) ; |p| = |p| = 6 1Ïóñòü p =RRR∞ ( )k∞∞∞∑ρ −ik(ψ−φ) ∑ ( ρ )k +ik(ψ−φ) ∑ k ∑ −k1 − p + 1 − p − (1 − p − p + pp)11e+e=p + (p) =+−1==RR1−p 1−p(1 − p)(1 − p)k=00R(ρ)e∞ ( )k∑ρ0k=0=k=1k=1k=01 − pp1 − |p|==1 − (p + p) + pp 1 − 2Re(p) + |p|2k=11−21−2ρ2R2ρρ2cos(ψ − φ) + 2RR=R2 − ρ2R2 − |x|2=R2 − 2Rρ cos(φ − ψ) + ρ2|x − ξ|2Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî:x = (ρ, φ);ξ = (R, ψ);|x − ξ|2 = R2 + ρ2 − 2Rρ cos(φ − ψ)- ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ.Òî åñòü, èòîãî èìååì:∫2πR 2 − ρ21û(ρ, φ) =û0 (ψ)dψR22πRR − 2Rρ cos(φ − ψ) + ρ2I 0 21R − |x|2u(x) =u0 (ξ)dSξ2πR|x − ξ|2ΓÏóñòü u0 (x)∫2π1A0 =π≡11· dψ = 2;01Ak =π∫2π1· cos kψdψ = 0;01Bk =π37∫2π1· sin kψdψ = 00k∈NI 2∞( ρ )kA0 ∑1R − |x|2û(ρ, φ) =+≡1=· 1dSξ(Ak cos kφ + Bk sin kφ)2R2πR|x − ξ|2k=1ΓÏîêàæåì íåïðåðûâíîñòü ïî Êîøè.0∀ϵ > 0 ∃δ(ϵ) > 0 ∀x : |x − x | < ϵÂîçüì¼ìϵ>0:∈ C(Γ) ⇒ ∃δ0 (ϵ), òàêèå= {ξ ξ ∈ Γ & |ξ − x0 | < δ0 (ϵ)}1)u0 (x)δξ0|u0 (x)| 6 M :→ |u(x) − u(x0 )| < ϵ÷òî∀ξ ∈ Γ & |ξ − x0 | < δ0 (ϵ)→ |u0 (ξ) − u0 (x0 )| < ϵ/2I 2I 2 1R − |x|21R − |x|202)Ïóñòü |x| < R.

Òîãäà |u(x) − u(x )| = u0 (ξ)dSξ −u(x )dSξ =22 2πR2πR|x − ξ||x − ξ|ΓΓI 2 1R − |x|2= [u0 (ξ) − u(x0 )]dSξ = 2πR|x − ξ|2Γ∫ 2∫ 1R − |x|21R2 − |x|200[u0 (ξ) − u0 (x )]dSξ +[u0 (ξ) − u0 (x )]dSξ = |I0 (x) + I1 (x)| 6 |I0 (x)| + |I1 (x)|=22 2πR2πR|x − ξ||x − ξ|δξ0Γ/δξ03)∀|x| < R, îöåíèì èíòåãðàë I0 :∫ 2I 21R − |x|2ϵ 1R − |x|2ϵ0|I0 (x)| 6|u(ξ)−u(x)|dS6dSξ =00ξ22πR2 2πR2|x − ξ||x − ξ|2Γδξ014)Îöåíèì I1 .

Âûáåðåì δ1 (ϵ) =δ0 (ϵ)2δ0|x| < R & |x − x0 | < δ1 (ϵ):|x − ξ| > |x − ξ| − |x − x0 | >2∫∫22 1R − |x|1 (R − |x|)(R + |x|)R − |x| ϵ0|I1 (x)| = [u(ξ)−u(x)]dS62M1· dSξ 6 16MR< ,00ξ( )2 2πR 2πR2|x − ξ|2δ20δ0Γ/δξ0Γ/δξ02[]δ012Ïîëîæèì δ(ϵ) = min,δ ϵ2 32MR 0Íåïðåðûâíîñòü ïî Êîøè (ϵ, δ) äîêàçàíà.Ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ u(x) â âèäå ðÿäà:0∑BA0 ∑ Akku(x) =p(x,x)+qk (x1 , x2 ) |x| < R+12k2RkRk∞∞k=1k=1Âñïîìíèì, ÷òî u(x) = ℜW1 (z) + ℑW2 (z), ãäå∞∞∑A0 ∑ Ak kBk kW1 (z) =+z;W(z)=z2k2RRkk=1k=1Ñâåäåíèÿ èç ÒÔÊÏ:W̃(z) = ũ(x1 , x2 ) + iṽ(x1 , x2 )dW= ũx1 + iṽx1dz∂ũ∂dW̃=ℜW̃(z) = ℜ∂x1∂x1][[ dz ∑][]∞∞∞∑dW1 (z)Ak d k∂ A0Akd A0 ∑ Ak k∂=ℜ0+ℜW1 (z) =+p=ℜ=ℜ+z(z)=kdzdz 2∂x1∂x1 2RkRkRk dzk=1k=1k=1∞∞∞∑∑∑Ak d kAk ∂Ak ∂k=(z)=ℜ(z)=pk (x1 , x2 )ℜkkdzRR ∂x1Rk ∂x1k=1k=1k=138.

Характеристики

Список файлов лекций