Lektsii_zubova_1 (1181473), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

×åðåç íåêîòîðîå ìàëåíüêîå âðåìÿtáóäåò òèøèíà, ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ t0 âîëíà äîñòèãíåò ïåðåäíåãî âîëíîâîãîôðîíòà, ïîòîì áóäåò ñáîð èíôîðìàöèè ïî ñôåðå è åù¼ ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ- çàäíåãî. Òî åñòü ïåðåäíèé è çàäíèå ôðîíòû ÷¼òêî âûðàæåíû.Âîçìóùåíèå, ëîêàëèçîâàííîå â ïðîñòðàíñòâå ïðèâîäèò ê äåéñòâèþ, ëîêàëèçîâàííîìó ïî âðåìåíè.R2Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ â{utt − a2 (ux1 x1 + u x2 x2 ) = f (t, x1 , x2 ), t > 0, x = (x1 , x2 ) ∈ R2ut=0 = u0 (x); ut t=0 = u1 (x), x ∈ R2Èñïîëüçóåì ìåòîä ñïóñêà èç{R2utt − a2 (ux1 x1 + ux2 x2 + ux3 x3 ) = f (t, x1 , x2 ), t > 0, x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3ut=0 = u0 (x1 , x2 ); ut t=0 = u1 (x1 , x2 ), x ∈ R2Èñïîëüçóåì ðåçóëüòàò òåîðåìû 3.4, òîãäà â í¼ìξ = (ξ1 , ξ2 )À áóäåò ëè îíî ïîäõîäèòü â êà÷åñòâå ðåøåíèÿ? Ñìîòðèì íà−Çàìåòèì, ÷òî ñôåðà ðàçáèâàåòñÿ íà äâå ïîëóñôåðû Sat è14πa2 t"u1 (ξ1 , ξ2 )dSξ=V(t, x).|ξ−x|=atS+at√√S±at ⇒ ξ3 = x3 ± a2 t2 − (ξ1 − x1 )2 − (ξ2 − x2 )2 = x3 ± a2 t2 − |ξ′ − x′ |2"""1⇒ V(t, x) ==u1 (ξ1 , ξ2 )dSξ2πa2 tS+atS+atS−at′′′|ξ − x | < at ξ = (ξ1 , ξ2 )Âñïîìíèì ôàêò èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà:S : ξ3 = f (ξ1 , ξ2 ) - ïîâåðõíîñòü, òîãäà:"" []√u(ξ)dSξ =u ξ1 , ξ2 , F(ξ1 , ξ2 ) 1 + F2ξ1 + F2ξ2 dξ1 dξ2DSÒî åñòü, â äàííîì ñëó÷àåF(ξ1 , ξ2 ) = x3 +S√a2 t2 − |ξ′ − x′ |2√√D(ξ1 − x1 )2 + (ξ2 − x2 )2at1 + F2ξ1 + F2ξ2 = 1 += √⇒′ 222a2 t2 − |ξ′ − x′ |2a t − |ξ′ − x"|"1111′′u1 (ξ1 , ξ2 ) √u1 (ξ ) √V(t, a) =dξ1 dξ2 =dξ′′ 2′′ 22πa2πa2222a t − |ξ − x |a t − |ξ − x |′′′′|ξ −x |<at|ξ −x |<atÑôîðìóëèðóåì òåîðåìó:Òåîðåìà 3.5: Ïóñòü â çàäà÷å Êîøè{à)á)â)utt − a2 (ux1 x1 + ux2 x2 ) = f (t, x), t > 0, x ∈ R2ut=0 = u0 (x); ut t=0 = u1 (x), x ∈ R2u0 (x) ∈ C3 (R2 )u1 (x) ∈ C2 (R2 )Dαx f (t, x) ∈ C({t > 0, x ∈ R2 }) ∀α, |α| 6 pÒîãäà:["∂ 1u(t, x) =∂t 2πa|ξ−x|<at1)u(t, x)u0 (ξ)]1dξ +√2πaa2 t2 − |ξ − x|2"∫ t[1dξ+√2πa0a2 t2 − |ξ − x|2u1 (ξ)|ξ−x|<at"|ξ−x|<a(t−τ)f (τ, ξ)dξ dτ√a2 t2 − |ξ − x|2∈ C2 ({t > 0, x ∈ R2 })2)ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè.ÂR2ïðèíöèïà Ãþéãåíñà íå áóäåò, ïðèt > T0ðåøåíèå âñåãäà áóäåò íå íóëåâûì.

Ýòî ìîæíî èíòåð-ïðåòèðîâàòü äâóìÿ ñïîñîáàìè:1) â êîîðäèíàòàõ(x1 , x2 ) èíòåãðèðîâàíèå âåä¼òñÿ ïî êðóãó, êîòîðûé ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèÿõâðåìåíè âñåãäà áóäåò ïåðåñåêàòü îáëàñòü âîçìóùåíèÿ.20]x3x1x2x2x12)â êîîðäèíàòàõ(x1 , x2 , x3 )èíòåãðèðîâàíèå âåä¼òñÿ ïî ñôåðå, êîòîðàÿ ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà âñåãäà áó-äåò ïåðåñåêàòü öèëèíäð.Íåòó çàäíåãî âîëíîâîãî ôðîíòà.{utt − a2 uxx = f (t, x), t > 0, x ∈ R1ut=0 = u0 (x); ut t=0 = u1 (x), x ∈ R1Òåîðåìà 3.6: Ïóñòü â çàäà÷å Êîøè (â21à) u0 (x) ∈ C (R )11á) u1 (x) ∈ C (R )1â) f (t, x), fx (t, x) ∈ C({t > 0, x ∈ R })ÒîãäàR1 )u0 (x + at) + u0 (x − at)1u(t, x) =+22ax+at∫∫ t[1u1 (ξ)dξ +2a0x−at1)u(t, x)∈ C2 ({t > 0, x ∈ R1 })2)ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè âx+a(t−τ)∫]f (τ, ξ)dξ dτx−a(t−τ)R1 .3)ýòî ðåøåíèå åäèíñòâåííî.Äîêàçûâàòü íå áóäåì.

Åäèíñòâåííîñòü äîêàæåì ïîçæå. Ïóñòü åñòüÊîøèÂÅñëèÅñëè⇒ v = uI − uIIóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì Êîøè äëÿ≡ 0.uI (x)èuII (x)ðåøåíèÿ çàäà÷èR4,5 u0 ∈ C4 (R4,5 ); u1 ∈ C3 (R4,5 )R1 , R2 , R4 , R6 , . . . - íåòó ïðèíöèïà Ãþéãåíñà.R3 , R5 , R7 , . . . - åñòü ïðèíöèï Ãþéãåíñà.Åäèíñòâåííîñòü.

Ìåòîä èíòåãðàëà ýíåðãèè.Òåîðåìà 3.7 Êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ âäåëå è âRn ).Ðàññìîòðèì ñëó÷àéR2 (R1 , R3R1 , R2 , R3- åäèíñòâåííî ( íà ñàìîì- àíàëîãè÷íî)Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå:uI (t, x), uII (t, x) - êëàññè÷åñêèé ðåøåíèÿv(t, x) = uI (t, x) − uII (t, x) ∈ C2 ({t > 0, x ∈ R2 }){vtt − a2 (vx1 x1 + vx2 x2 ) = 0, t > 0, x ∈ R2ut=0 = 0; ut t=0 = 0, x ∈ R2(t0 , x0 ) t0 > 0, x0 ∈ R20 20 220 2óðàâíåíèåì ω(t, x) ≡ a (t − t ) − (x1 − x ) − (x2 − x ) = 021Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êóÐàññìîòðèì êîíóñ, çàäàííûéÐàññìîòðèì óñå÷¼ííûé êîíóñâåðõíîñòüþΓTVTñ íèæíèì îñíîâàíèåì21Σ0 ,âåðõíèì îñíîâàíèåìcΣT ,(t < t0 )è áîêîâîé ïî-Ðàññìîòðèì âåêòîðû âíåøíåé íîðìàëè ê ýòîìó êîíóñó.−n = (+1, 0, 0)ΣT : →−n = (−1, 0, 0)Σ0 : →−n = (−ωt , −ωx1 , −ωx2 )ΓT : →√ω2t + ω2x1 + ω2x2n = (nt , n1 , n2 )- ñâåäåíèå èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.(×òîáû íå äàëüíåéøèå âûêëàäêè âûãëÿäåëè ïðîùå)Êîíóñ,êîòîðûé ìû îïèñàëè áóäåò õàðàêòåðèñòè÷åñêèì.ω2t − a2 ω2x1 − a2 ω2x2 = 0 n2t = a2 (n21 + n22 ) n2 = n2t + n21 + n22 = 1 ⇒ant = √2a +1Íà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè:Íà÷èíàåì îáðàáàòûâàòü.(vtt − a2 vx1 x1 − a2 vx2 x2 )vt ≡ 0 = vt vtt − a2 vt vx1 x1 − a2 vt vx2 x2 ==1 2(v )t − a2 (vt vx1 )x1 + a2 vx1 vx1 t − a2 (vt vx2 )x2 + a2 vx2 vx2 t =2 t(1)(1))[ v2t + a2 v2x1 + a2 v2x2 ](1v2t − a2 (vt vx1 )x1 + a2 v2x1 − a2 (vt vx2 )x2 a2 v2x2 =+ [−a2 vt vx1 ]x1 + [−a2 vt vx2 ]x2ttt2 t222| {z }| {z }|{z}Fx 1Fx 2Ft- äèâåðåãåíòíûé âèä (=Ft , Fx1 , Fx2- íå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå,à âñåãî ëèøü îáîçíà÷åíèÿ )→−∂∂∂Ft +Fx 1 +Fx2 = divt,x F∂t∂x1∂x2Ïðîèíòåãðèðóåì ïî óñå÷¼ííîìó êîíóñó:$0=→−divt,x F dtdx1 dx2 ==(v2t+a2 v2x1+a2 v2x2 )2ΣT|dS −{z(v2t+a2 v2x12Σ0}→− −( F ,→n )dS =∂VTVT|{zE(ΣT )+a2 v2x2 )dS +12}| [](v2t + a2 v2x1 + a2 v2x2 )nt − 2a2 vt vx1 n1 dS − 2a2 vt vx2 n2 dSΓTÝòî è åñòü èíòåðãðàë ýíåðãèè.{zE(ΓT )E(Σ0 )E(Σ0 ) = 0E(ΣT ) + E(ΓT ) = E(Σ0 )E(ΣT ) > 0Äîêàæåì, ÷òîE(ΓT ) =12E(ΓT ) > 0 : [](v2t + a2 v2x1 + a2 v2x2 )nt − 2a2 vt vx1 n1 dS − 2a2 vt vx2 n2 dSΓTÐàçäåëèì è äîìíîæèì íà1E(ΓT ) =2nt :√ []a2 + 1(v2t + a2 v2x1 + a2 v2x2 )n2t − 2a2 vt vx1 n1 nt dS − 2a2 vt vx2 n2 nt dS =aΓT√ []1 a2 + 1=v2t · a2 (n21 + n22 ) + a2 v2x1 n2t + a2 v2x2 n2t − 2a2 vt vx1 n1 nt dS − 2a2 vt vx2 n2 nt dS =2aΓT√ []a a2 + 1=(vt n1 − vx1 nt )2 + (vt n2 − vx2 nt )2 dS > 02ΓT22}Çíà÷èòÂΣTE(ΣT ) ≡ E(ΓT ) ≡ 00;- òîæäåñòâåííûéâñþäó â íåóñå÷¼ííîì êîíóñå âûïîëíÿåòñÿ:v2t + a2 v2x1 + a2 v2x2 ≡ 0 : vt ≡ 0; vx1 ≡ 0; vx2 ≡ 0 :Âíóòðè êîíóñàv ≡ 0,êëþ÷àåìv ≡ 0.∇v ≡ 0 ⇒ v = const ⇒ const = 0 :Áåðÿ ðàçëè÷íûå êîíóñû, êîòîðûå ïîêðûâàþò âñ¼ íóæíîå ïðîñòðàíñòâî, çà-÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Çàäà÷à Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè{Çíàÿu0 (x)ìîæåì íàéòèut − a2 uxx = 0, t > 0, x ∈ R1ut=0 = u0 (x), x ∈ R1(u0 )xxÍà ñàìîì äåëå ýòî íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à, à íå çàäà÷à Êîøè.

Ðåøåíèå âîîáùå ãîâîðÿ íå áóäåòåäèíñòâåííûì, íî åñëè ôóíêöèÿu0ðàñò¼ò íå áûñòðåå, ÷åì ýêñïîíåíòà, òî ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ðå-øåíèå áóäåò åäèíñòâåííûì.Îïðåäåëåíèå: Ãîâîðÿò,÷òî ôóíêöèÿ1) f (x) èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó∫2)∥ f ∥L1 (R1 )=àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà,f (x) ∈ L1 (R1 ),åñëè:∀[a, b]| f (x)|dxR1g(x) ∈ L1 (R1 ). Ñâ¼ðòêîé∫f (x − y)g(y)dy =f (y)g(x − y)dyÎïðåäåëåíèå: Ïóñòü∫( f ∗ g)(x) =f (x)èR1+∞∫f (x), x ∈ R1ýòèõ ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ:R1√2I=e−x dx = π - ôàêò èç Ìàòàíàëèçà−∞{ut = a2 uxx t > 0, x ∈ R1ut=0 = u0 (x), x ∈ R1{Ïóñòü äëÿ íà÷àëà{τ = αt,ξ = βx,u0 (x)α>0β>0=1, x > 00, x < 0ñäåëàåì òàêóþ çàìåíó.Ïîêà áóäåì äåéñòâîâàòü êàê ôèçèêè - íåñòðîãî è íåàêêóðàòíî.Ïóñòüu(t, x)óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ.τ ξv(τ, ξ) = u( , )α ββ2111vτ = vt ; vξ = vx ; vξξ = vxx 2 ⇒ αvτ = β2 a2 vξξ ⇒ vτ = a2 vξξαβαβ22Ïóñòü òåïåðü α = β : vt = a vξξÏóñòüÒî åñòü ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè áóäåò íå åäèíñòâåííûì:v(t, x) = u(t x, )β2 β- ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè∀β > 0Ðàññìîòðèì áåñêîíå÷íûé ñòåðæåíü, èìåþùèé â íà îäíîé ïîëîâèíå òåìïåðàòóðó 0, è íà äðóãîé 1.Èíòóèòèâíî ïîíÿòíûé âûâîä:01t x, ), ∀t > 0, x ∈ R1 , β > 0β2 βx1Óòâåðæäåíèå: u(t, x) = f ( √ ), t > 0, x ∈ Rtu(t, x) = u(23Ôîðìàëüíî:xu(t, x) = u(1, √ )tÂâåä¼ì àâòîìîäåëüíóþ ïåðåìåííóþ()()xz= √x1 xut = f ′ √ −√2 t t( t)x 1ux = f ′ √ √( t) t′′ x 1ux = f √t tt:Ïîäñòàâëÿåì ýòî â èñõîäíîå óðàâíåíèå, èìååì:( )( )1 x ′ xx 1⇒√ f √ = a2 f ′′ √2t ttt t1a2 f ′′ (z) = − z f ′ (z) - ïîëó÷èëè äèôôåðåíöèàëüíîå2f ′′ (z)−zz2′=⇒ln|f+ C1 :(z)|=−f ′ (z)2a24a2−óðàâíåíèå.2− zf ′ (z) = C1 · e 4a2∫z η2−f (z) = C1e 4a2 dη + C2−∞lim f (z) = 0;lim f (z) = 1z→−∞-z→+∞èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé.lim f (z) = C1 · 0 + C2 = 0 ⇒ C2 = 0z→−∞∫+∞ η2∫+∞η 2 ( η )√1− 24alim f (z) = C1edη = 2aC1e−( 2a ) d= 2aC1 π = 1 ⇒ C1 = √z→+∞2a4πa2−∞−∞ηÒî åñòü ìû ïîëó÷èëè êàíäèäàòà íà ðåøåíèå ðàññìîòðåííîé çàäà÷è Êîøè (= µ):2az/2az/2a∫∫∫z112a2−µ2e dµ = √e−µ dµ =f (z) = √dη = √π4πa24πa2−∞−∞2Φ(z) = √π∫ze−ξ dξ, z ∈ R12−∞- èíòåãðàë îøèáîê0Φ(−∞) = −1; Φ(+∞) = 1; Φ(0) = 0( z )]1[f (z) = 1 + Φ22a√x/∫ 4a2 t( )[()]x11x2u(t, x) = f √ = √e−µ dµ = 1 + Φ √2πt4a2 t−∞u0(x)u0(x)u*1u0(x)1u*x1 x 2x0Ìîæíî îáîáùèòü ðåøåíèå äëÿ ñäâèíóòîé è ðàñòÿíóòîé ââåðõ ôóíêöèè Õåâèñàéäàu(t, x) =[()]x − x0u∗1+Φ √24a2 tÐàññóæäàÿ äàëüøå, ïîëó÷àåì ðåøåíèå äëÿ "ñòóïåíüêè"u0 (x)=0, x < x1 ∗u , x1 6 x 6 x2 0, x > x224Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âû÷åñòü èç îäíîé ñäâèíóòîé è ðàñòÿíóòîé ââåðõ ôóíêöèè Õåâèñàéäà äðóãóþ,òîãäà èìååì:u(t, x) =[ ()()]u∗x − x1x − x2Φ √−Φ √24a2 t4a2 tÁîëåå òîãî åñëè ìû èìååì ñèñòåìó "ñòóïåíåê":u0 (t, x) =N∑u0k (x),ãäåk=10, x < x1k ∗uk , x ∈ [x1k , x2k ]u0k (x) =  0, x > x2kè ïóñòü îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ.

Òîãäà:NN [[()] ∑()] [()]]∑u∗k [ ( x − x1k )x − x2k1 x − x2k1 x − x1ku(t, x) =Φ √−Φ √=− Φ √− − Φ √u∗k =2224a2 t4a2 t4a2 t4a2 tk=1k=1(()] [)] [1 x − x2k1 x − x1kn ∑− − Φ √ − Φ √=224a2 t4a2 tk=1x2k − x1k ∗uk (x2k − x1k )(∆)Ïóñòü ïîêà ìû èìååì îãðàíè÷åííóþ, íåïðåðûâíóþ, ôèíèòíóþ ôóíêöèþ. Àïïðîðñèìèðóåì å¼ êóñî÷íî-(∆) - ðåøåíèå ïðèáëèæåííîé çàäà÷è.()1x−ξψ(t, x, ξ) = − Φ √24a2 t∑ [ ψ(t, x, x2k ) − ψ(t, x, x1k ) ]∑ ∂ψ(t, xξ) ∗u(t, x) =u∗k (x2k − x1k ) =u (x2k − x1k )x1k − x2k∂ξ ξ∗ kïîñòîÿííîé ôóíêöèåé.k- èíòåãðàëüíàÿ ñóììà Ðèìàíà1ψ(t, x, ξ) = − √πu(t, x) =∑u(t, x) = √√(x−ξ)/∫ 4a2 t2√24πa∫t10−(x−ξ)2e 4a2 t−(x−ξ)2e 4a2 t- òåïëî,ρ ∗ ∗ uk (x2k − x1k )ξu0 (ξ)dξ- èíòåãðàë Ïóàññîíà.R121− xE(t, x) = √e 4a2 t4πa2 tQ2∂ψ1 −(x−ξ) −1= √ e 4a2 t √⇒∂ξπ4a2 te−µ dµ ⇒14πa2 tk-ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå- ïîãîííàÿ ïëîòíîñòüQ = (x2 − x1 )ρu∗ C:u(t, x) −−−−−−−−−−→x2 →x1 ; Q=constu∗ =Q1ρC x2 − x1Q (ψ(t, x, x2 ) − ψ(t, x, x1 ))=Q=const ρCx2 − x1limx2 →x1 ;−(x−x1 )2 )Q ∂ψ QQ1=e 4a2 t =E(t, x − x1 )=√ρC ∂ξ ξ=x1 ρC 4πa2 tρCÅñëè ìû â òî÷êó çàãîíèì íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî òåïëà, òî îíî áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ïî ôóíäàìåíòàëüíîìó ðåøåíèþ.

Характеристики

Список файлов лекций