Lektsii_zubova_2 (1181474), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Íó è ÷òî, ÷òî îãðàíè÷åí?È ïàðà íåïîíÿòíî ê ÷åìó îòíîñÿùèõñÿ ðèñóíêîâ. Äàëåå äîêàçûâåòñÿ ôàêò ïðî ôóíêöèþ W, êîòîðûéìû äîêàçûâàëè ðàíåå∫V (0) (x) =ΓÏðàâèëüíàÿ íîðìàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ.µ(y)dS y|x − y|Ïðîèçâîäíûå ïî íîðìàëè ñóùåñòâóþò, à ïî êàñàòåëüíûì ïðîèçâîäíûå ìîãóò óõîäèò â ∞Ïóñòü u(x)∈ C1 (Ω) ∩ C(Ω), Γ ∈ C2→−0x = x + n (x0 )t; x0 ∈ ΓÍàñ èíòåðåñóþò ìàëûå ïàðàìåòðû( t (íàâåðíî )îòðèöàòåëüíûå), èíà÷å ìû ìîæåì âûëåçòè çà ãðàíèöó.−n (x0 )t3∑du x0 + →∂u0 ∂nk (x )u(x) =−n (x0 ) (x) =∂xkdt∂→k=1Îïðåäåëåíèå: Ãîâîðÿò, ÷òî u(x) èìååò ïðàâèëüíóþ íîðìàëüíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî íàïðàâëåíèþ âíåøíåé íîðìàëè ê Γ èç Ω, åñëè∂u(x)∂u 0= →(x )à)∀x0 ∈ Γ ∃ êîíå÷íûé x→xlim →−0∂ n (x ) ∂−ná) Ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò ðàâíîìåðíî ïî âñåì x0 ∈ Γ047−n (x0 ), òîËåììà 10.6: Åñëè u(x) èìååò ïðàâèëüíóþ íîðìàëüíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî íîðìàëè →à)u(x) èìååò ïðîèçâîäíóþ ïî íîðìàëè, êîòîðàÿ ñîâïàäàåò ñ ÏÍÏ∂uá)ÏÍÏ →− 0 (x) - íåïðåðûâíà íà Γ∂ n (x )u(x ) − u(x)−n (x0 )t) =Äîêàçàòåëüñòâî: îáû÷íàÿ íîðìàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ = x→xlim= (x = x0 + →|x0 − x|0(−n (x0 )t)u(x ) − u x + →[−n (x0 )t] du x0 + →∂u(x)∂u= lim= →(x)= lim = lim0 →−t>0; t→0t>0; t→0−tdtx→x ∂ n (x0 )∂−nt=t̃∂u ( 0−n (x0 )), δ > 0Vδ (x0 ) = →x − δ→Vδ (x0 ) ∈ C(Γ)−∂ n (x0 )3∑0∂u ( 0−n (x0 )) V (x0 ) ⇒ ∂u(x )x − δ→Vδ (x0 ) =nk (x0 )δ−n∂xk∂→k=1{}−n (x0 ), x0 ∈ Γ - òàê íàçûâàåìàÿ ïàðàëëåëüíàÿ ïîâåðõíîñòü ê Γ; Γ ∈ C1Γδ = x : x = x0 − δ→δ000Ëåììà 10.7: Ïóñòü Ω - îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ Γ ∈ C2 , ôóíêöèÿ u(x) òàêàÿ, ÷òî:1)u(x) ∈ C2 (Ω) ∩ C(Ω)2)∆u(x) ∈ C(Ω)3)u(x) èìååò ïðàâèëüíóþ íîðìàëüíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âíåøíåé íîðìàëè.Òîãäà:∫∫∫ ∆u(x)u(x)dx =ΓΩ∫2∇u(x) dxΩÄîêàçàòåëüñòâî:èñïîëüçóåì ïåðâóþôîðìóëó Ãðèíà (âñå óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè âûïîëíåíû)∫∫2∇u(x) dx∂u−n (x)u(x)dSx −∂→∆u(x)u(x)dx =Ωδ∂u−n (x)u(x)dSx −∂→ΓδΩδ∫ 2∇u(x) dx - ñóùåñòâóåò.

Äàëåå, êàê ÿ ïîíèìàþ ìû óñòðåìëÿåì δ ê 0 è ïîëó÷àåì èñêîìîå ðàâåíñòâî.ΩÇàäà÷à ÍåéìàíàÍàéòè u(x) ∈ C2 (Ω) ∩ C(Ω), èìåþùóþ ïðàâèëüíóþ íîðìàëüíóþ ïðîèçâîäíóþ è óäîâëåòâîðÿþùóþóñëîâèÿì:∆u ≡ 0, x ∈ Ω ∂u  = u1 (x), →∂−n Γu1 (x) ∈ C(Γ)Äîêàæåì, ÷òî ó ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ åñòü ïðàâèëüíàÿ íîðìàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ.∫µ(y)dS y|x − y|V (0) (x) =Γ∑∂V∂(x)=nk (x0 )→−0∂x∂ n (x )(∂V (0)−n∂→∫3(0)k=1)kΓµ(y)dS y =|x − y|∫ ∑3Γk=1∫()10 ∂nk (x )µ(y)dS y =∂xk |x − y|Γ∂V (0) ( 0−n (x0 ))(x ) = limx ∓ δ→→−δ>0; δ→0 ∂ n (x0 )(−n (x0 )y − x, →|x − y|3±(−n (x0 ))y − x0 , →|x0 − y|3Γµ(y)dS y- ïðÿìîå çíà÷åíèå íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé îò V(0) (x)Ëåììà 10.8: ∀µ(x) ∈ C(Γ) ïðÿìîå çíà÷åíèå íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé ∃ äëÿ ∀x0íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé íà ΓK̂(x0 , y) =(−n (y))x0 − y, →|x0 − y|3(- ïîëÿðíîå⇒ K(x0 , y) =−n (x0 )y − x0 , →)|x0 − y|3Òåîðåìà 10.4: Ó ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ V(0) (x) ñ µ(x) ∈ C(Γ)ÏÍϵ(y)dS y0∫[(0) ( )∂V0x=−n∂→∃)(∂V (0)−n∂→)0±(x )Èìååò ìåñòî ïðàâèëî ñêà÷êà:−n (x0 )1)x = x0 ∓ δ→48(∂V (0)−n∂→)±(x0 ) =- ïîëÿðíîå[(0) ( )∂V00−n x + 2πµ(x )∂→∈ Γè ÿâëÿåòñÿ2)∫(2)Vµ=(−n (y)x − y, →|x − y|3)µ(y)dS y((−n (x0 ))−n (y) − →−n (x0 ))∫ y − x, →∫ y − x, →(0) ( )∂V(2)(2)W1 (x, x0 ) = →x + Vµ (x) =µ(y)dS y + Vµ (x) =µ(y)dS y|y − x|3|y − x|3∂−n (x0 )ΓΓ(−−n (y) − →−n (x0 ))∫ y − x, →−n (x0 )|x − y|· →n (y) − →M3 |y − x0 |M̃µ(y)dS y 666, äåéñòâèòåëüíî:332|x − y||y − x||x − y||x − y|ΓΓx0 (0, 0, 0); y = (η1 , η2 , Fx0 (η1 , η2 )); x = (0, 0, x3 )2|y − x0 |2 = η21 + η22 + Fx0 (η1 , η2 )2|y − x|2 = η21 + η22 + Fx0 (η1 , η2 ) − x3 22η21 + η22 + Fx0 (η1 , η2 )η21 + η22 + Fx0 (η1 , η2 )η21 + η22 + M22 (η21 + η22 )|y − x0 |266= 1 + M22 d2=22222|y − x|222+η+ηηηη1 + η2 + Fx0 (η1 , η2 ) − x32211W(x, x0 ) → W(x0 , x0 )∂V (0) ( )(0)0−n (x0 ) x = W(x, x ) − Vµ (x)∂→∂V (0) ( 0−n (x0 )) = lim W (x0 − δ→−n (x0 ), x0 ) − lim V (2) (x0 − δ→−n (x0 )) = W(x0 , x0 ) − lim V (2) (x)x − δ→lim →µµ−δ>0,δ→0 ∂ n (x0 )Áëèí, òóò ðåàëüíî ïîëíîå óêóðñòâî íàïèñàíî, áåç ïîëëèòðà íå ðàçîáðàòü.Òåîðåìà 10.5: Ïóñòü Ω - îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ Γ ∈ C2 .

Òîãäà ó âíóòðåííåé çàäà÷è Äèðèõëå (∗∗) ïðèëþáîé ãðàíè÷íîé ôóíêöèè u0 (x) ∈ C(Γ), à òàêæå çàäà÷è Íåéìàíà (∗ ∗ ∗) ïðè ëþáûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõu1 (x) ∈ C(Γ) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå u(x) è v(x) ñîîòâåòñâåííî49.

Характеристики

Список файлов лекций