Киселев В.В., Квантовая Механика. Часть 2 (1181446), страница 12
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6w ÇÈ)£(|"¤|"~¼ }(|,e~(|"¿ ¿»ö ¬~(|¤|$| z0z(|") L|"}~«* C~ ¥ z| C~å z"(£}(| 1õCz|"¿,Ôz8£ z|i("è~~Ô»i ¿z(|~ ¡)) ( 2 , 0) ⊕ (0, 12 )nc¬(|"«@c ¬~Λ+ (ϑ) = exp|] ( «@± ¬~¬~Ô) 1σ · nϑ21Λ− (ϑ) = exp − σ · n ϑ2Ð Û ~ C¬è»(cosh ϑ =p0,mc= coshϑϑ+ σ · n sinh ,22= coshϑϑ− σ · n sinh ,22sinh ϑ =|p|,mc~(|"¿ ¿» ¬~(|é ¤)èz|"zÊ( ¥ z~8£ z|6õNz|"¿8Ôzpn = (p0 , p)w L() ¡ z|"«*¬)£(|"¤|"~õ()»$| p = n mc sinh ϑrrrrcosh ϑ + 1p0 + mccosh ϑ − 1p0 − mcϑϑcosh ==,sinh ==,222mc222mc¬~)6z ¿Λ+ (ϑ) =Λ− (ϑ) =z|"¿±ÔzΛ(ϑ) =Λ+ 00Λ−1p(p0 + mc + σ · p),2mc (p0 + mc)1p(p0 + mc − σ · p),2mc (p0 + mc)1=p(p0 + mc + γ5 σ · p).2mc (p0 + mc)ªV»$|Ec¬¿6·~6é ¬~>( ¥ z~]£ z|H )~z±¿z|"¿±¿6|"¿1Λ(ϑ) u(0) = p(p/ + mc) u(0),2mc (p0 + mc)p/ = p0 γ0 − γ · p = p0 γ0 + γ5 σ · p γ0 .
6w 6w ÀÊI² NKVdÿRÃ6vç(|(»)~Ôõ1Λ(ϑ) v(0) = p(−p/ + mc) v(0).2mc (p0 + mc)¶X~6 z»õÔz(p/ − mc)(p/ + mc) = pn pl γ n γ l − (mc)2 = pn pl£|"¤)~ «*] ¬~«0¤|$|"«* ~ C¬è) "1 n l{γ , γ } − (mc)2 = p2 − (mc)2 = 0,2u(p) = Λ(ϑ) u(0),v(p) = Λ(ϑ) v(0),(p/ − mc) u(p) = 0,(p/ + mc) v(p) = 0.(( z z (|" ~ 6w Íæc ¬ ¬¤)~}~ ó ¬"(¾]~(|"¿6|óψ(x) =Zd3 p2p0 (2π~)3÷ì äðòëò æ po8æì ä ä(( z zÐ;](e−i~p·xu± (p) w± (p) + ei~p·xv± (p) b̄± (p) 6w Ã)(p̂n γ n − mc) ψ(x) = 0,Ð 6w ¬ (|"z ~ C¬è|¿~(|"z ¬( z|"( ~~³õ| õ ¿ C¬6( ¿ «*»(p̂n = i~∂nw b¬(|"(| ¡ z«0 |»)£]Æ(|)) L|"(|6wñ(|" ~]¾]~(|"¿6|ʬ"Ô(| zi(( z~>¬~}~¬(|Ê(|"~ ¡ è E »Ê( ¥ z~õ~ ¡ ·E »~6Z6w ©4SD =d x ψ̄(x) (p/ − mc) ψ(x).
'ÔH¬~~ L| zH6z~~ z ¿~é~|"~(|"z C~¿± ¬~Ê L|) ~»H¬"ū± (0) u± (0) = ū± (p) u± (p) = 2mc,v̄± (0) v± (0) = v̄± (p) v± (p) = −2mc,z|"¿±¿6|"¿±H6 ,~6(>¿~(|è ¬( z|"( ~~~1√ 0 u+ (0) = mc 1 ,00√ 1 u− (0) = mc 0 ,11√ 0 v+ (0) = mc −1 ,00√ 1 v− (0) = mc 0 .−1¾± ¬~ ( «* ,~ C¬è) ¬(Ô z|>)z E ~γ0 Λ(ϑ) = γ0ϑϑcosh + γ5 (σ · n) sinh22= Λ(−ϑ) γ0 6w 6v6\]I(^*_å®b,°IO¡dNKNQ$KNM$M²³_Vd²NQ_NjVPNQ_Vd0^I6´³_NjNKN²³_ì"Ô(|) γ0 u± (p) = u± (−p),γ0 v± (p) = −v± (−p),¿6|"¿ûä)z3~(">8£«'zè3û¬ (|"}~~û¬ z(|" z ¥;~ ~~³õX¿z(|"e ¡ z¤)(|"¿~ C¬è|E~))6(|" z ¬~³wÇ(¬ z ¥ ~6±«'¿6$|(¿c( »)¿H(|"¥z~±» | C~6èz~(|"i¬"#HD =Z3d x ψ̄(x) (p · γ + mc) ψ(x) =ZªV¿;¬( z; z|"6$|"z«* Õ£(|"¤ õψu = exp{−ieu/~c} ψ|¤|"é¤|$| z±«'(|" ~) Q=Zd3 pcp0 w̄± (p)w± (p) − b± (p)b̄± (p).32p0 (2π~)|"~(|"}~ ¥ö( ¥ z~e¬¿ C¬6( ¿ ¥0Â]|"¤é¬" 6w §1 nδSD ∂ψuej == ψ̄ γ n ψ,cδ∂n ψ ∂ucd3 x j 0 (x) = eZ 6w 6w " d3 pw̄± (p)w± (p) + b± (p)b̄± (p) .32p0 (2π~)Ç(Eä)z»Ê¬}(|Ê¿|"z|"~)»$|)|"«* 0£(|"¤ e¬~)~z"õ¿ Ôõ¿¬(|"z ¬"Ðbψ(x)=Zd3 p2p0 (2π~)3(e− ~i p · xÐu± (p) a± (p) + ei~p ·xv± (p) a†c,± (p)), 6w »( †¬ (|"z±E( ~|"z~Ô(| z~}éÈ~ C¬è) õ6¤|"( ~ ¬ ¿}~ ¥é ¬~ac,± (p)p−e(| Ê è õ$(|"¥õ|¬("|z~Ôz~i(Ô|z~}]~C ¬è) õ$¤|"( z± 12a± (p)p~c¬ ¿}~ ¥ ¬~(|> è õ6(|"¥w6Á» z«*]) z6~õ¬(( «*¬Eä)z~ +ez±1¬ (|"z(| ,~Ôz ~õ)z z z z>2¿6$|) ~Ô) ¿~ ,¬" 'õ6¿z«*Ȭ"Ô(| z ~) ý¬z|"¿~ ý¿» z«* ) z6~ 'w'¸@ ¤)(õX¬~¤)"èi¿6$|) ~Ô) ¿i¬"( ¡>ʬ( z|"~zèc¿6|"¿ ¬ ¬¤)~}~ í «@i¿» z«@i) z6~¥³õÔz ¬~)~z¿c ¬|)) ¿ C(| ¬(( ~ ¬>Ô~Ê¿|"z ~c~6cÂÈ¿z|"}~ 'w# #0Ó 0Ó ÍÓÖÕ ×"[ÙÙÜy×"[Ù Ùضû¬~6( ~¬~6)~zé¬ ~|"zè ¬~(| C~³õ ¿z±¬"6~¤|"}~~¿z«@±(|"¬(|" ( ±("è ¤|$|"¥é ~ C«;~ ¬"è¤|~i è õ$|("è ¬~¤)"è» ¿z(|6õ(Ôz¬¤)" zȬ)~zè(| Ô z«86¿|"~(|"z ~6(wÇ z~ é¬ ¿z«,(|) z6~¤|$|"«* ,¤)(|)Ô ~) , ¿z(|¬"6~¤|"}~~³õz"w w) z6~õ ¬~ ¿z«@ ~ ¡) z>¬ ¿}~#(| ¤|$|"«'¥ ¿z³õV ¥ z|±¿z»é C«í¬(~ 0c)( »±¬ z ~3±6 ÿ :(hz+ 12~6(wÇÈ zè ~ z) ¡¬¿é L|) ~»Ê ¬~» ¬"ʾ]~(|"¿6| ¬~±(|"¬(|"( é("èÊ~~Ô»H ¿z(| õ6z"w w~ ¡) z ¡) z>(|" ~(|>)£ z ¤)(|)Ô ~]¬ (|"z(|H ¬~(| · σ u(0) = λ uλ (0),λ = ±1,2 = 1, 6w À¬ ~Ô) ¬~¤)( ~± ¿z¬"6~¤|"}~~ n~,~ C¬è| n(|" = (0, )p = (mc, 0)n pn = 0.ÊI² NKVdÿRçyÔ z 3¬(( ~ » | ¡ L| L|"z~} ]¾ ~(|"¿6|~Hz»õÔz] ¬~ ] ~ z) ¡¬¿γ=γ γ σ6 z ±)£ z «* c L|"z~}«6õ (|)~ (|"0 5 z#γ0 · σ u(0) = · γ γ5 γ0 u(0) = · γ γ5 u(0) = −/γ5 u(0) = γ5 / u(0).ÇÈ~¤)() å¬ (|"}~£ z|6õz|"¿Ôz»(õ¿6|"¿é C«ö«' ~6~ 6w ÀõΛ γ5 / u(0) = Λ γ5 / Λ−1 u(p),1Λ= p(p0 + mc + γ5 σ · p),2mc (p0 + mc)~1Λ−1 = γ0 Λ† γ0 = p(p0 + mc − γ5 σ · p),2mc (p0 + mc)z¿$|Λ γ5 / Λ−1 ={~z» L| «' L(|"|"z~ } ~1{(p0 + mc)2 γ0 ( · σ) + γ0 (p · σ)( · σ)(p · σ)2mc (p0 + mc)+(p0 + mc)γ5 γ0 ((p · σ)( · σ) + ( · σ)(p · σ))}. ·E) z ¬·>| zõ³)~¬) z~¬)£(|"¤|"~3)»$| |»)£(p · σ)( · σ)(p · σ) = {(p · ) + i(p × ) · σ}(p · σ) =(p · )(p · σ) − ((p × ) × p) · σ = 2(p · )(p · σ) − p 2 ( · σ),~(p · σ)( · σ) + ( · σ)(p · σ) = 2(p · ).æ ¬"è¤) 6¤)èHä) »)~~È~ C¬è) Ðp20 = p2 + (mc)2õ6(|)~ npo|p|0Λ γ5 / Λ−1 = γ0 σ · +− 1 n(n · ) + γ5 γ0 (n · ),mcmc» (ý~~Ô«'¥± ¿z E(|"¬(|"( ~~£ z |6wªV ¬ èH¤| ¡ z~ 'õ6Ôz¬)£(|"¤|n = p/|p|~¼ }(|6õ¬ )6·E)] ~ C¬è¬¿6·E ¥ Ô(| z~ }«;H ~ C¬èÈ~>·E ¥õp0 = mc cosh ϑ,c ¿z(|E¬"6~¤|"}~~¬~Ô) n = (0, )~ ¡) zH~6˜0 = (n · ) sinh ϑ,sinh ϑ =ÁÈ ¡z»õp = n mc sinh ϑ,˜ = + {cosh ϑ − 1} n(n · ),|p|,mccosh ϑ =p0.mcγ5 /˜ = γ5 γ0 ˜0 + γ0 (σ · ˜),\]I(^*_å®b,°IO¡dNKNQ$KNM$M²³_Vd²NQ_NjVPNQ_Vd0^I6´³_NjNKN²³_Ã"z|"¿±Ôz>>~z»¬"Ô(|) Λ γ5 / Λ−1 = γ5 /˜,z"w w£ z*¬ z*¬)£(|"¤) z ¿z]¬"6~¤|"}~~ ~ z) C~>·E ¥Ô(| z~}«w"Çä)z C(|" ~'(|È)£ z «**¤)(|)Ô ~>¬ ¿}~~Ê ¬~(|È(| ¿z>¬"6~¤|"}~~ ¬~¤)"è¥ ~ z) ¡]z Ô z|>¬~~ L| zH¿|"~(|"z«'¥é~6γ5 / uλ (p) = λ uλ (p),λ = ±1,γ5 / vλ (p) = −λ vλ (p),λ = ±1,2 = −1, 6w Í · p = 0,»( C«;¬ z~6~c¤)(|"¿cz~6è«õ¿6|"¤)«'| ·~¥c(|zõÔzE ¿zc¬"6~¤|"}~~ ¬~(|E¤|"¬~ «'| z±H ~ z) ¡]z Ô z|E~>·E ¥cÔ(| z~}«wyX E Ê|"(|(»)~Ô>± ¬~Ê|"z~Ô(| z~}é¬"Ô~ #2 = −1, 6w à · p = 0.þ$(|)Ô~z"õ¬ ¿z«ö(|]) z6~c¤|$|"¥c¬ ¿}~ ¥± ¬~(|]Ô(| z~}«ö(|] ¿z ¬"6~¤|}~~±~ ¡ zH~616w ¶ÐP± =|]|"z~Ô(| z~}P±c =0Ó 0Ó ÓÖÕ=à YØ # [Ø#ÿ *)-8 ' '-.2 6w À©(1 ± γ5 / ),1(1 ∓ γ5 / ).2¾c¬¿6·~6 ¬~Ê 6 ¡ Cʬ>¬"6~¤|"}~ 8óÊ L|"z~}Π(0) =Xuλ (0)ūλ (0)λ ¡>H«'Ô~~zè >6 ,~6(¿6|"¿±¬ ¡¬~¤)( ~ z¿±~± z"(£}1 0 + mc (0, 1, 0, 1) ⊗ Π(0) = mc (1, 0, 1, 0) ⊗ 1 0~6~±>¿|"~(|"z å~6(rqqÐΠ(0) = mc (γ0 + 1) = (p/0 + mc),01 = mc 0 1p0 = (mc, 0).10100101101001 ,0 1# [ Ç ¿ "迱¬)£(|"¤|"~E¼ }(|E L|"z~}« )6z¿¬)£(|"¤|"~ í ¿z(|A>~>·Èc~z)C czÔz|¬)($"|¥z])äz>¬(|"> ~]| ¡ z6zè ¢nAqΛ A0 Λ−1 → A, 6 ¡ L|E¬E¬"6~¤|"}~ , ~>·~6±Ô(| z~}Π(p) = (p/ + mc),~|"(|(»)~ÔH±|"z~Ô(| z~}Πc (p) =Xλvλ (p)v̄λ (p) = (p/ − mc).
6w À6v6 6w À I² NKVd ÿRÊ0Ó 0Ó 0ÓÛ×Ø##[Ù &Ø#ÍØÃÿ ÿý # ¶ ~»)~(|è¥Ê(|£zX¾]~(|"¿6|6õ¬ 6·E ¥ «')>(|" ~>>6z~~ z ¿»ä ( ¿,z(|6õ³~ ¬"è¤|>¿~(|è>¬( z|"( ~Hi» | ¡ L| L|"z~}³õV( H« Eõ³|(| E»¥8~68» | ¡ L| L|"z~}³õ¡(( z ·~68¬( ·E) C3~6)z E ~ Z|"z~¿ ¡ Cz|"}~~ 6w §À wÇÈ( z|"( ~¾]~(|"¿6|H» | ¡ L| L|"z~}³õ6) z) z õä)¿~|( z¿~(|è Cõz|"¿¿6|"¿H ¡ zÊ£«'zèH¬"Ô >~z|"«* ¬)£(|"¤|"~) û" 1U = √ (γ0 + γ5 ),2z|"¿±Ôz" U† = U, 6w À§U2 = 1,nγD= U γ n U† .ªV»$|E( »)¿H(|"¥z~³õÔz" Uγ0 −→ γ5 ,UUγ5 −→ γ0 ,γ −→ −γ,6"z w w L|"z~}«~ ¡ z± ¡) z| C~³õ$| zH¤)(|"¿³õ6~c>¬( z|"( ~~c¾]~(|"¿6|¡γ0 γ5γ¿6|) ,~6( ¿6õ ¿6|"¤)«'| ·~¥(|E¬( z|"( ~ Dγ0 =100 −1,0Ó 0ÓtsÍÓ &[×"ÙÜy Y[×"ÿ þýγ5 =0 11 0,0 σγ=−σ 0.
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