Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 71
Текст из файла (страница 71)
(34 11) Энергии начального и конечного состояний системы Е„Е ровны лг, г Е = — ~ Ел~+Вся, Е= —,, поэтому гдЕ 'г Ог 3(Š— Е.) =(д —,) 3(» — »,) = 3 — *,3(» — »,)= = р„б (Ч л? У2гл(йго — ! Еь))) . (34 рй) Полставив (34.12) в (34.11) и проинтегрировав по г7», получим до=2 ~ —,) 7г»)влР~фьгфег)г! лгОе, 2 — — ьы — (ел(. (34,13) Сравнивая (34.7) и (34,13), а также (34.3) и (34.8), легко внлеть, что дифференциальные эффективные сечения рассгготренныл процессов прямого и обратного связаны условием 1 аосо ьа 1 даьаг я дв„=ел Ю, (34.14) (»м ) 74л) = — г е+'р; 1'„, (багра). (2л) ' (34 1о) Подставим (34.15) в (34.13) и проинтегрируем по г70„. Поскольку (» ~ 2р) н щ» ) ц') дО, = ~ (»- ) )4ь) н (»- ) 7.
р') Ю, = '— 2? бг, бр получаем ор (д; ») = 4л': — - ~, ) СЬ)г, ) »74л'р ~ ' (31 17) ИнтегРиРоваиие по г(Ол в фоРиУле (34.7] можно выполнить точно таким же образом, если использовать то обстоятельство, что ноге грнрование по всем направлениям вектора Ф эквивалентно интегрнро' Нетрудно выяснить также, в каком соотношении находятся полные сечения. Волновые функции фе, ф, можно разложить по сфери рескнм функциям ~ 74л)ф г, ф л =й „(г) )Рл (О, ф), (34 1а) нвпгсгывный спекте дь 34] 427 ванин> по всем направлениям вектора йч о,(г]; Ь) =*4тс':, з ~~' ! <4]йх] гр! Ь>! гн (34.18) Из (34.17) (34.18) следует д'о, (д; Ь) = А*о, (Ь; 4).
(34. 19) о, (Ь; а7т,) = 4п' — — ~~'„) <Ь ] 1>, ] а, 4]йгт,> ] ', (34. 20) о (и|ут~; Ь] =-4п' — ( — ) ~~' ! <а, Ч]йзт,]7>,]Ь>/ '. Рассмотрим теперь рекомбинацию электрона на некоторый определенный уровень у. Для того чтобы получить полное эффективное сечение этого процесса, надо просуммировать второе из выражений (34.20] по всем состояниям Ь, относящимся к уровню у, и усреднвть по всем состояниям а уровня у' исходного иона, а также по йг. Кроме того, надо просуммировать по двум независимым направлениям поляризации испущенного фотона.
Аналогичным образом водное эффективное сечение обратного перехода у — у'д можно получить, просуммировав первое из выражений (34.20) по всем конечным состояниям а и лг, и усреднив по всем начальным состояниям Ь и р = 1, 2. Суммирование по а, Ь всегда включает суммирование ио магнитным квантовым числам. Поэтому ~~'' ] <а, г]]йзгв,]О,] Ь> ] ' = — '5'„ ] <а, фсргн,]]2 ~ ~Ь> !' аь, аь~ (см. 5 31), т. е. не зависит от (], вследствие чего суммирование по 'и'=1, 2 сволится к умножению на 2. Учитывая это обстоятельство, Формулы (34.17), (34.18), (34.19) относятся к таким переходам, в результате которых излучается или поглощается фотон какой-либо одной определенной поляризации.
Все полученные выше формулы для эффективных сечений легко обобщаются на случай многоэлектронной системы. Достаточно заменить в матричном элементе г, на ~ЧР~(г;), и добавить к квантовым яислам О]йь дополнительные квантовые числа (обозначим их посредогвом а), характеризующие состояние атомного остатка. Учтем также яо обстоятельство, что квантовые числа дХ]х не определяют полностью состояния электрона. Необходимо еще задать значение гчсом- ~(оненты спина лг, 428 взлимодвйствиа атома с элактеомлгнитным полам (гл. гх получаем о(УЧ' У) = — ' —,( — 1 — ~~' ~, [<а, г))1,[Р[Ь>[*, (3421) о(у; у'[) = — "" — — — '~~' ~~ [<Ь[Р[а, ([)4ьль,>[*.
(34.22) Согласно (34.21], (34.22) о'дт о(у'о; у) =[т*д„о(у; у'д). (34.23) Соотношения (34.14), (34.19) и (34.23) являются частными слу- чаями принципа детально~о равновесия '). Часто при вычислении эффективных сечений (34.21), (34.22) бывает удобно перейти от функций Ч',,чьи , к какой-либо новой системе взаимно ортогоиаль- ных и нормированных функций Чгь рю описывающих состояния си- стемы, в которых электрон непрерывного спектра имеет импульс р =Ьд и угловой момент ).. В частности, такими функциями могут быть собственные функции операторов полных моментов системы атомный остаток +электрон Я, Е, а. Используя известные свойства унитарных преобразований, легко получить') ~~~~ [<Ь[ Р[а, дЛ[ьт,>)' =~я',)<Ь[ Р[Ь'д)>[э.
(34.24) аигл, Заменим, кроме того, радиальную функцию гг „в интеграле <Ь[Р [Ь ф> на фУнкцию й т —— — 1,г ~ )< „, ноРмиРованнУю по те, т е шкале энергий, т. е. на 6-функцию 6(Š— Е'): <Ь [Р, (Ь'оЛ> =Ь ~Я<Ь~ Р, [Ь'Е) >. После всех этих преобразований формулы (34.21), (34.22) моткио записать в виде е', ~ е) ) ~,— 4~ 1 ~~; ~<ь'е),! Р [ь>!', т' ьь '— ;о(у;,Е)=~ "' ' ~".(<Ь(Р)ЬЕ)>)э. (3428) аг ьь.
') Вывод общей формулы, связывающей эффективные сечения пряиьм и обратных процессов, см. в [Л. Л.). ') Коэффициенты унитарного преобразования ф,=~~~Р(а [у) ф„удовле1во ряют соотношению ч~р~(а[у)(у'[а)=б „поэтому ~[<и [г [а>['=~~~~~~ [<[) [г [у><у'[р [[1>(а [у) (у' [сь)= а и =Х<[) [Г[У><У'[Р[[[> б„, =2Р[<р[г [У>['. П 429 НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР 8 34) При вычислении эффективных сечений радиационных переходов, в которых участвуют состояния непрерывного спектра, можно не учитывать тонкого расщепления. Это означает, что состояния атома и иона можно характеризовать квантовыми числами 3, Л, М , Я . Начнем рассмотрение с процесса фотоионизации. Пусть в результате поглощения фотона атом, первоначально находящийся на уровне БЕ, распадается на ион в состоянии 3,1ч и электрон в состоянии непрерывного спектра с энергией Е.
В качестве волновых функций, описывающих конечное состояние системы, удобно выбрать функции Чг ,, ° , где Е' =А, + Л, Я' =3, +а в полный орз,е,е>з е м аг, ' битальный момент и полный спин системы. В этом случае в формуле (34.26) ! ь ! — ! <Ь ( ЕР ! 11 ЕЛ> ( — (23+ 1) (ЙЛ + ! ) Х ~т и х~ ~~'. ~~; ~<ам,М,(О~ЗЕ,ЕЛ3'ГЛ4',м'„у~' ю"'м м„' м и' = (21. + )) ' ), Р( (и. 1~ 7) ~~ 3,Л,ЕЛ31.') ( '. В приближении генеалогической схемы для ионизации 1 электрона, используя формулы (3!.38) и (31.50) и заменив Л на 1', получим ~(Я,С,1Я.!!Р ~!Я,йы ЕЛЕ')! '= =е'(2Л, +!) Я(Л,1Л; Л,1'Л') 1~,„(~ А'„г)се1 г'пг), (34.27) где 1,„— наибольшее из чисел 1, 1'.
Таким образом, эффективное сечение процесса ионизации $,Л,П15Л вЂ” Я,Е,Е определяется выражением о(у; у'Е)= = —;- Р*й — '„! ~Д',~ Я(Л,11-; Л,1'~')1 .„Дй,гйег г*г1 т *. 1 =1~~ 1. (34. 28) Соответствующие формулы для эффективного сечения процесса фоторекомбинации 3,йы Š— Б,й,и13Л можно получить с помощью соотношения (34.23), которое в данном случае принимает вид 17' (23, -!- ! ) (2Л, + ! ) о (у'Е; у) = = 11' (23+ )) (2Л + )) о (у; у' Е), 11' = —, . (34.29) Для одного электрона сверх заполненных оболочек (а также для 430 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМА С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ [ГЛ.
Ог 1 одноэлектронного атома) 5,=0, Е, =О, 0=1, 3= — из формул (34.28), (34.29) следует о (Л1" Е) = ~М~ 1маа ( ) гснагасепг туг) а (34.30) д'о(Е; Л1) =2(21-[-1) л'-о(и1; Е). (34.31) лапал я =, ~е л~ (фя)агфа г[г[ г1ОЕ, 2ли агГ [,) 2 (34. 34) При вычислении эффективного сечения обратного перехода Ф а1, сопровожлающегося излучениеи фотона с волновым вектором и и поляризацией еаа, в общую формулу (34.9) надо подста)аагд вить с[1 = а[ау †, и в качестве волновых функций электрона в на- (2 )а 1 э 1 чальном и конечном состояниях взять функции = фд и †„ фя . ) е (2Л) а Если пренебречь зависимостью радиальных функций а9„, )сеп от О',1.а31., то нетрудно найти также полные эффективнйе сечения одноэлектронных переходов Л1 — Е и Е Л1 для многоэлектронных атомов.
Легко убедиться, что эти сечения совпадают с (34.30), (34.31). Формулы (34.30), (34.31) легко обобщить на тот случай, когда в радиационном переходе принимает участие один из электронов группы 1Аа. Используя (31.59), получаем п~1ТТБ1; 1гг ау $1 Е) = =И[ От',ь,е, [а о(у,Я,А,Л1О1.; у,3,1,Е), (34.32) сг(1М;Р' 'Е) =№г(1; Е). (34.33] Соотношения (34.29), (34.31), очевидно, сохраняются. 3. Тормозное излучение и поглощение. Общие формулы для эффективных сечений.
Эффективные сечения переходов меакду состояниями непрерывного спектра вычисляются точно таким же образом, как и эффективные сечения переходов между состояниями непрерывного и дискретного спектров. Начнем с рассмотрения наиболее простого случая электрона в центрально-симметрическом поле. Эффективные сечения перехода электрона из состояния непрерывного спектра д в интервал состояний непрерывного спектра ау, а1 + Й1, сопровождающегося поглощением фотона ьы можно получить из формулы (34.13), заменив в ней ~у на а1' и ф на =фа = ~/ — а[ая .
Следовательно, для дифференциального эффективного сечения тормозного поглощения имееи 2 341 НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР 431 После интегрирования по дд получаем лля лифференциального эффективного сечения тормозного излучения фотона с частотой в интервале да и направлением волнового вектора в интервале дО» слелующее выражение: дп,,„= —,~е„~ (фч)"гфч дг~ дадО,дО,. (34.35) (2л)» 3' Ч ~,) Согласно (34.34), (34.35) полученные дифференциальные эффективные сечения связаны соотношением дпч: ч» ~нч»; ч' '»»дадО»ЧЫОЧ Ч МО», (34.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
