Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Соответствующее значение 1с принято обозначать й„. Постоянная й„ связана с ридберговской единицей энергии Ку соотношением гс'„, = — У Ку 2лля Легко видеть, что для конечной массы ядра М й М 1+(т~М) ' (2.9) В таблице 1 приводятся значения й,ц для водорода, дейтерин ж ряда ионов (экспериментальные). [гл. $ спектр водорода Таблица 1 Таблица 2 Значения постоянной й для водородоподобных ионов Значения Хр„ для водородоподобных спектров 3 3.
Тонкая структура 1. Зависимость массы электрона от скорости. Уравнение Шредингерз (1.1) применимо до тех пор, пока можно пренебречь релятивистскими эффектами. Последовательная релятивистская теория ятома водорода должна основываться на уравнении Дирака. Во всех .интересующих нас случаях, однако, релятивистские эффекты приводят лишь к малым поправкам. По этой причине мы будем по-прежнему исходить из уравнения Шредингера для атома водорода, а релятивистские эффекты учтем в рамках теории возмущений.
(Более .подробное изложение теории релятивистских эффектов см. в главе Ч!!.) Прежде всего рзссмотрим эффект релятивистского изменения массы электрона со скоростью. Релятивистское выражение для энергии частицы массы гн в поле Сг(г) определяется соотношением 8 = у+ )гс'Р*+ тн*с'. Разлагая второй член в (3.1) в ряд по степеням —, получим Р гл'ро ' Рй 4 Е= — лгсс +У 2т ' От'о'' (3.2) Согласно (1.13) Е„сл Е'.
Таким образом, для иона с зарядом ядра Е ~потенциалы Е, Е, в Е' раз больше, чем у водорода, а Хрр, в л* раз меньше. Значения )с , для ряда водородоподобных ионов приеодятся в таблице 2. В этой таблице в соответствии с принятой в спектроскопии системой обозначений спектры нейтральных атомов обозначаются римской цифрой 1, следующей за символом химического элемента, спектры однократных ионов †цифр 11, двукратных — цифрой 111 и т.
д. 33) ТОНКАЯ СТРУКТУРА уравнение Шредингера (1.1) соответствует нерелятивистскому гамильтониану рй н= — +и 2щ т. е. первым двум членам в (3.2). Третий член отражает зависимость рй сй массы от скорости и по порядку величины равен,— — . Б случае2лй с' ' о((с этот член можно рассматривать в качестве малого возмущения. Используем теперь то обстоятельство, что в нулевом прибли- жении р'=2рй(Š— с1). Поэтому рй (Е 11)й 1 1 2ЕХсй гйсй 1 )г — — — — — — — й Е'+ — + — 1. (3.3у злййсй 2лйсй 2 щсй 1( г г' Возмущение (г приводит к сдвигу уровня, равному среднему значе- нию )г в данном состоянии '): ЬЕ„, = <и! ! 11л1> = — —, (Ей + 2ЕйХе'<г '>„, + Ейс' <г '>„).
(34) Здесь Е„ †энерг атома в нулевом приближении, определяемайь формулой (1.13). Подставляя в (3.4) приводимые выше выражения, для матричных элементов величин г ' и г ', получим З ) Ей (АЕ;„= — а' — — й —, йу; 1 4л 1лй ! (3.5) здесь а= —. Обсуждение этой формулы будет проведено немного Йс 4 ' 3 ') Существенно, что вследствие независимости Р' от угловых переменных а' в йр матричные элементы <л1лй ~'г') л1'лй'> с 1 Ы 1' н сй Ы т' равны нулю. Это позволяет не учитывать вырождения по 1 и т.
По этой же причине вычисление ЬЕ' сводится к интегрированию по г. ниже. 2. Поправка, связанная со олином электрона. Электрон обладает. собственным моментом количества движения и, не связанным с его движением в пространстве. Этот момент получил название спинового. момента или просто спина.
Собственное значение квадрата спина. а' есть [гл. ! СПЕКТР ВОДОРОДЛ !3.6) 'Коэффициент пропорциональности между Са и а по абсолютной величине равен удвоенному магнетону Бора — =р ). Наличие собстей 2тс венного магнитного момента у электрона приводит к дополнительному взаимодействию между электроном и ядром. Выражение для энергии этого взаимодействия наиболее последовательным образом можно получить, если от уравнения Дирака для электрона в центрально-симметрическом поле СС(г) перейти к нерелятивистскому уравнению, сохранив члены порядка !С!с)' включительно. При этом маряду с членом, учитывающим зависимость массы электрона от скорости, в уравнении появляется член (см. $ 26) ДЯ дСС 1 )Р = — — — Са.
2т'с' дг г (3.7) Для того чтобы выяснить физический смысл этого дополнительного взаимодействия, рассмотрим движение электрона в электростатическом поле Е. Как известно, напряженности электрического и магнитного полей Е, Н в неподвижной системе координат и в системе координат, движущейся со скоростью и, в случае п(<с связаны соотношениями Е'=Š— —, )Нп', Н'=Н+ — СЕ м]. 1 ф 1 13. 8) Поэтому наличие в деподвижной системе координат поля Е приводит к появлению в системе координзт, связанной с электроном, 1 магнитного поля Н' = — 1Еп1.
Энергия взаимодействия магнитного с !яомента электрона Са с этим полем равна К = — )ЕН' = — — СЕРР!. р с дСС г Подставим в 13.9) выражение — еЕ=~7СС= — — — и учтем, что дг г момент количества движения электрона дС равен т [гаг1, поэтому 3 ~~гт1 = — С. (3.9) ') Напомним, что отношение магнитного момента, обусловленного движением заряженной частицы, к ее орбитальному моменту равно м,. а г-компонентз спинз з, может принимать лишь два значения ! -Ь вЂ”. Кроме собственного механического момента а, электрон обла- 2 ' дает также магнитным моментом )ь, связанным с а соотношением ед Сь = — — а. тс 27 й 3) Таким образом, ТОНКАЯ СТРУКТУРА яр, йди1 3* дг71 1г о 1в— с лг дг г лг'с' дг г 13.10) 1 Выражение (3.7) отличается от 13.10) множителем —. Это расхож- 2 ' двине связано с тем, что формулы 13.8) справедливы лишь в случае неускоренного движения электрона.
Можно показать, что учет ускорения приводит к появлению в 13.10) нужного поправочного 1 множителя — так называемого поправочного множителя Томаса— 2 ' френкеля. Выражение (3.7) содержит скалярное произведение векторов 1,в, поэтому об этом взаимодействии часто говорят как о спин-орбитальном взаимодействии, или взаимодействии спин †орби. Вывод выражения (3.10) показывает, что спин-орбитальное взаимодействие есть не что иное, как взаимодействие магнитного момента электрона с магнитным полем, индуцируемым в системе координат электрона при движении электрона в электростатическом поле ядра.
Это взаимодействие имеет релятивистскую природу и исчезает при — — О, с Спин-орбигальное взаимодействие ззвисит не только от величины момента количества движения 1, но тзкже и от взаимной ориентации моментов 1 и в, т. е. от величины полного момента атома ,/=1 +в. Сложение моментов 1 и в проводится по общим квантовомеханическим правилам сложения моментов. Собственное значение квадрата полного момента у' равно г'1г' + 1), 1/ .
11 причем при заданном значении 11=1~ — ~при 1=0 У= — ) . Про. 2), 2)' екция полного момента лгу складывзется из проекции орбитального момента гп, и спинового момента гп„ т. е. лг =т, +лг,. В дальнейшем мы будем опускать индекс 1 у лг, понимая под пг именно проекцию полного момента. При заданном значении / квантовое число гп может принимать (2/+ 1) различных значений 7', / — 1, ..., — у.
Таким образом, к уровню п1/ относятся 21+1 состояний, отличающихся значением квантового числа лг. Величина 2/+1 называется статистическим весом уровня 1. Значение 1 принято указывать справа внизу после 1 спектроскопического обозначения 1. Так, состояние и, 1 = 1, 1 = — , в 3 обозначается пр,, состояние п=4, 1=2, /= — — 4м, и т.д. Кван. Т Т товое число 1' часто называют также внутренним квантовым числом. Полный момент всякой изолированной системы сохрзняется, поэтому состояние атома можно характеризовать значением полнопь момента / и в том случае, когда отдельно орбитальный и спиновый.
(гл. г спектг водогодл /ч =1'+к'+ 213, 1а =- — (/' — !' — к'). 2 2е' что 1/= — —, получим г ' Учитывая также, — — (/ — 1 — г ). Яе'Ь' 1 1 2т'с' г' 2 (3.1 1) Среднее значение возмущения (3,11) в состоянии и, 1, / равно, очевидно, 2е'В' 1 1 2т'г' Фт 2 (/(/+1) — 1(1+1) — '('+1)). 'Поэтому для попрзвки к энергии, обусловленной спин-орбитальным взаимодействием, получим (значение матричного элемента бг 'у„г было приведено выше) г Е" ° 1(1+!) 1(1+ ) ( ! ) 2 )з 21 (1+1) (1+ — ) 3.
Тонкая структура. Сравнение формул (3.5) и (3.12) показывает, что оба эффекта, собственно релятивистский и связанный ,со спином электрона, имеют один порядок величины. Легко прове! . ! рить, что в обоих возможных случаях /=1+ — и /=1 — — сум- 2 2 марная поправка к энергии гзЕ'+ЛЕ определяется одним н тем же выражением /зЕ,ц — — /лЕ'+/лЕ" =сс 4 ~ ' )су )' (3'13) !+ — (" 2( Таким образом, вследствие релятивистских эффектов уровень п1 ! . ! расщепляется на две компоненты /=1+ — и /=1 — —. Это рас- 2 2 ' ') Прн 1=0 формула (3.12! теряет смысл, так как н числитель, н зна,менатель в (3.12) обращается в нуль. Тем не менее формула (3.!3) справедлива прн всех значениях 1, в частности, и прн 1=0 (см.
э 26). моменты не сохраняются. Вследствие спин-орбитального взаимодей- 1 . ! ствия энергия атома в состояниях /=1 + — и / =1 — — различна. 2 'Таким образом, спин-орбитальное взаимодействие приводит к рас- 1 ! зцеплению уровня п1 на две компоненты 1-1- — и 1 — —. Прежде 2 2 ' тем перейти к вычислению энергии расщепления, выразим зависимость спин-орбитального взаимодействия от/ в явном виде. Поскольку .1 =1+а, е ТОНКАЯ СТРУКТУРА 29 „ епление носит название тонкого или мультиплетного расщепления.
е* 1 безразмерная постоянная а= — —, определяющая масштаб раслс 137 ' щепления, носит название постоянной тонкой структуры. Существенно, что в то вреия, как каждая из поправок гхЕ' и ЛЕ" по ь.=- жги'/-т( 7 й 'е)е» ь.1~~ / У В=8 ч~1ее 1 /=у л=т -~ — --- —- с;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
