Собельман Введение в теорию атомных спектров (1181128), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Для эз(0') (!.15) )Эг )н)=( — 1) )Эг~о). ') Выбор знаков в функциях О, не однозначен. Иногда функции Вз — 1т 1 определяются другим соотношением. Это надо иметь в виду во избежание ошибок, Определение фаз функций Вгм (1.15) соответствует принятому в (К.Ш.) (ГЛ. 2 18 СПЕКТР ВОДОРОДА Функции 1;„(8, ф обычно называют сферическими или шаровыми. Эти функции взаимно ортогональны и нормированы Еа а 1 1 Г,. Г,. 3!. О 18 (Ф =ба 5.. (1. 16) о о выражения для функций У, при 1=0, 1, 2, 3: «/4и = 1/ — соз8 «' =~ 1/ — айп!)еа'Р, — / 3 -/3 У 4 ' '-+' У 3 /5 13, 1! «' = 1/ — ~ — соз'8 — — ~ зо «/ 4и(~2 2 «; 2, — =г 1/ — соя 8 айп 8 еа'", - / 15 1 -/15 /7!5, 3 «; = 1/ — ~ — соз'8 — — соз 811 «к 21= Г 4 )Т 4 З!П8(5СОЗ 0 — 1)Еа т, Ук 2, = — 1/ — з1П'Осоз8еа"Р ! - / 105 ° '*' 4 У Ы Ф Р 64П Приведем явные 1=0 1=1 (1. 17) 1=3 Радиальные функции дискретного спектра й„,(г) имеют вид 1// (и+1)! ~22 ') * -„' —,' ~2гг,' 1'и!(г) (21+1)! Р (и — 1 — 1)12и ~йа,1 ~ иа,/ х Е ~ — (и — 1 — 1), 21+2, 22г! иа,~ ' (1.18) 82 а, = —, = 0,529 ° 1О ' см — атомная единица длины (боровский радиус).
Здесь Š— конфлузнтная или вырожденная гипергеометрическаи функция, определяемая рядом а а а(а+1), а(а+1)(а+2] (а й~ «) = 1 + й«1 «+ )«ф - 1) 21 х + ан (ан+ 1) [ан+ 2) 31 х + ' (!.19) Если а есть целое отриц ательное число, как в (1.18), то Е(а,(), х) сводится к папиному степени (а !. Этот полинам можно выразить 19 1) УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ АТОМА ВОДОРОДА через обобщенный полипом Лагерра Ла а аа (л 1)а 7.„(~) = ( — 1), ) г" 1 — (л — ), па+1, х!.
(1.20) (1. 21) Таким образом, имеем а Ха функции Й„а(г) взаимно ортогональны и нормированы 1 Йаа (г) Йл а (г) г а(г Ьлл (1.23) Й =2е г аа г 1 \ 1 ! — — г), Й ==е аг, ! 2 )' " 2ггб (1.24) ( ! (1 — — г+ — г ), а г(1 — —.), Й„==е г'. В! У'ЗО Й 2 3 )73 е 8 27)гб Используя (1.22), можно вычислить средние значения величин г", которые понадобятся нам в дальнейшем: <г'> =) Й.*,г"" уг, 2(())3 л' ла (г'> = — (5л'+1 — 31(1+1)) — ',, (1.25) Из (1,11) видно, что при больших г функции Й„, экспоненциально ха затухают: Й„, -- е "".
Если г выражается в атомных единицах а„ а энергия в Йу, то при г оо Й„, е-~(еа( . Приведем явные выражения для функций Й„,(г) при л=1,2,3, выражая г в единицах а, (для этого достаточно сделать замену — г) и опуская общий для всех функций множитель ааа ° а ,л а, (гл. з 2О СПЕКТР ВОДОРОДА <г'> = — (35п' (п' — 1) — ЗОп'(1+ 2) (1 — 1) + в аа + 3 (1+2) (1+1) 1(1 — 1)) — ',, 1 Х (г '> аа а а йа а (~+ —,') а га <г >= .Ь(1+1) 1+ )1а,' 2) Радиальные функции непрерывного спектра Ила(г) также можно выразить через вырожденные гипергеометрические функции. Однако в данном случае эта функция не сводится к простому папиному, Различные представления этой функции приводятся в (Б. С., Л.
Л.]. (1.26) й 2. Сериальные закономерности 1. Правила отбора для радиационных переходов '). Вероятность перехода атома из стационарного состояния а в стационарное состояние 1а, сопровождающегося излучением кванта г1га= Е, — Е, где ю — круговая частота, определяется выражением ,1 з а аза з (2.2) Выясним прежде всего, между какими состояниями возможны радиационные переходы.
Матричный элемент для координаты х=гсоз9, соответствующий переходу из состояния п1лз в состояние пТлз', имеет вид') (п1лг ( х ( пТлз'> — а аа — аа а) = ') Кзагй„ч г'гуг ') 6, Ва ° сохла)паа1() ~ е-аà — ') т —. (2.3) ') В этом разделе мы ограничимся обсуждением общей формулы для вероятности дппольного излучения применительно к атому водорода. Подробнее раднационные процессы рассматриваются в главе 1Х. ') В зависимости от удобства написания мы будем пользоваться ниже двумя обозначениями матричных элементов )а ь и (а( У)Ь >. Здесь х,ь, у,з, ааь — матричные элементы координат электрона.
Умножив (2.1) на лхо„ получим формулу для интенсивности излучения (на один атом) 4ззыа 1= —,(г, (*. 27 сеРиАльные ЗАкономеРности й 2) 1, если т=т', и нуль, если т~т' достаточно рассмотреть поэтому лишь. известные свойствз присоединенных попокззать, что этот интеграл отличен от если !' = ! ~ 1. Рассмотрим также мат+ !у = г з!п 1!еРР и х — !у =- г з!и бе — т: Интегрирование по ф дает При интегрировзнии по 1! случзй т = т'. Используя линомов Лежандра, можно нуля только в том случае, ричные элементы величин х 4п!т ( х~ !у ! п !'т'у = рд й„сеете гг ~уг ) В, Вг ° з!п 8М ~е — '!ж-'" з ОР— р, (2 4у Для того чтобы интеграл по ~р не обратился в нуль, в этом случае.
необходимо, чтобы т'= т ~ 1. Интеграл по 5 и в этом случае отличен от нуля лишь при условии Г=1~1. Таким образом, в радиационном переходе могут участвовать лишь такие состояния, для которых !'=1~1, т'=т, т~1, (2.5) или, другими словами, рализциоиный переход возможен только в том случзе, если квантовые числа 1, т меняются на величину Л1= ~1, Дт=О, *1. (2.6) 1 7 ! Х вЂ” =- гс !1 1 — — 7!, Х 1 п"-7'' п=2, 3, 4,... серия Лаймана, п=З, 4, 5, ... серия Бальмера, п=4, 5, 6, ... серия Пашена, п=5, 6, 7, ...
серия Брзкета, и= 6, 7, 8, ... сериа Пфундта. На квантовые числа и, и' никаких ограничений не накладывается. Соотношения (2.5), (2.6) носят названия правил отбора для дипольного излучения. Переходы, удовлетворяющие условию (2.6)„ называются разрешенными переходами. Если условия (2.6) не выполняются, то дипольное излучение невозможно. В этом случае может оказаться возможным квадрупольное или магнитно-липольное. излучение.
Вероятность таких переходов, однако, примерно в 1О' раз меньше вероятности дипольных перехолов. Такие переходы принято называть запрещенными. 2. Сериальиые закономерности. Правила отбора (2.6) позволяют выяснить, с какими переходами связаны серии линий, наблюдаемые в спектре водорода. Спектр волорола состоит из отчетливо выраженных серий линий, длины волн которых удовлетворяют следующим формулам: [гл.
СПЕКТР ВОДОРОДА Здесь )с в постоянная, получившая название постоянной Ридберга, ,равная 109677,581 см Длины волн головных, наиболее длинноволновых членов этих серий Л„равны соответственно 1215,68 А(аак), 6562,79 А, 1,8751 мк, 4,051 мк и 7,456 мм (1 мк = 10 ' см = 10' А). Сравнительно недзвно в поглощении была обнаружена головная линия шестой серии — = )7 4 — — — ! Л = 12,37 мк ). Общий вид серии пока- 1 а! 11 1 1(ба и' ) зан на рис. 2.
С уменьшением Л расстояние между линиями уменьшается. К коротковолновой границе серии примыкает непрерывный спектр. Границы первых четырех серий расположены соответственно при Л =912 А, 3648 А, 8208 А, 1,4600 мгг. Таким образом серии Лаймана и Бальцера отделены от других. Остальные серии частично ааерекрываются.
г д Рнс. 2. Общий внд серии водородного спектра. (2.7) Поскольку частота излучения ю связана с длиной волны Л соотношением Ва= —, где С=З 1О см(сел — скорость света, полу2лс аа Л чаем (при Е= 1) ! Еа — Еи ра' =ахи Ои'= (,а (. Л 2пйс 4лспа (,и'~ и* У (2.8) Величина с точностью, определяемой точностью измерения 4псда входящих в нее констант ш, е, с, Ь, совпадает с экспериментально найденным значением постоянной Ридберга 77. ') С.
Н а щ р и г е у а, Л о1 кеа. Внг. о1 8!апд. 50, 1, 1953. Легко видеть, что для любых двух уровней л, л' существуют такие состояния л1, лТ, между которыми возможны радиационные переходы. Так, при л=2, л'=1 возможны переходы между состояниями 2р и 1ж при л=3 и л'=2 возможны переходы между со<тояниями .За и 2р, Зр и 2а, За2 и 2р и т. д. В соответствии с формулой (1.13) при переходе атома с уровня л на уровень л' излучается квант 9 2) свгихльныв зхкономагности При л' = 1 формула (2.8) дает длины волн линий серии Лаймана (переходы 1я †); при и' =2 †дли волн линий серии Бальмера (переходы 2я — лр, 2р — ля, 2р — Ы) и т, д.
Непрерывный фон, примыкающий к границе серии, связан с переходами из состояний непрерывного спектра (Е ) О) в состояния дискретного спектра. Для линий спектра водорода приняты специальные обозначения. Линии серии Лаймана в порядке убывания длин волн обозначаются посредством 7.„ Еа, 7.
и т. д.; линии серии Бальмера — посредствоы г Резонайсной линией атома водорода, т. е. линией, соответствующей переходу из первого возбужденного состояния в основное, является, очевидно, головная линия серии Лаймана Е„ )с = 1215,68 А. Эта линии расположена в ультрафиолетовой области спектра. Основиымн линиями в видимой и близкой ультрафиолетовой областях водородного спектра являются следующие линии серии Бальмера: Н, 6562,73 А, Н 4861,33 А, Н, 4340,47 А, Н, 4101,74 А, Н, 3970,07 А, Нс 3889 06 А Н„3835,39 А, Н, 3797,90 А. 3.
Водородоподобиые ионы. Системы уровней одноэлектронных ионов Не+, Ы++, Ве+++ и т. п. подобны той, которая имела место для водорода. Такие ионы называются водородоподобнымн. Постоянная )с = — зависит от приведенной массы )г = ря тМ и, следойа т+М вательно, от мзссы ядра М. Поскольку т(<М, отличие постоянной )с для двух разных масс М, и М, невелико, хоти и лежит в пределзх точности эксперимента. Так, для спектров Н и Не+ в сойн ответствии с формулой(2.8) отношение — =0,999596, что хорошо. Не М согласуется с экспериментом. При — — со )г т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
