Овчинкин часть 3 (1181127), страница 65
Текст из файла (страница 65)
2/ Картина уровней изображена на рис. 175. В пренебрежении конечным размером ямы уровни энергии эквидистантны. В силу зарядовой независимости ядерных сил (задача 7.7) уровни протонов и нейтронов в ядрах с )т' = У должны совпадать. В легких ядрах эзо действительно имеет место, поскольку в них вклад кулоновского взаимодействия в энергию связи незначителен.
В случае ядра ~вв0 полностью оказываются заполненными протонные и нейтронные уровни с Ф = О и % = ! (дважды магическое число 8 — по протонам и по нейтронам). 283 На рис. 156 показано также, как отсчитывается искомая энергия связи 8са (от верхнего заполненного уровня до «потолкав ямы). Таким образом, ~са ((Го( !)~ + ) ~со где Л(= 1 (внешний нуклон). После преобразований получим мдо 7.16. ЛЮ = йш = — т)~ — — = 15,8 МэВ. тт -! 200 до ш 8 тл 7.17. аз= "; аж!,8 10 го ем, где р = —" — приведенная масса 8)т1(/о! 2 дейтрона. Приведем также результат точного решения, полученною из условия сшивки волновых функций на границе (см. также задачи 3.18 и 3.12): — — ,тт 0 суа-т..) 7.18. йо = тт(гз) = — 3 10 'з см, где тч — масса нуклона.
ьг2мн8 Здесь для оценки можно воспользоваться волновой функцией основного со- стоЯниЯ дейтРона (см. задачУ 7.12) ф Ае аг(г, где к = — ттма. 1 г — и Л 7.10. у = 1,4 10 47 г смз 7.20. В силу радиоактивного равновесия между ыв() и 254() )св)те — )-в)тв (вековое УРавнение), ттгкуда — = — = — =5,5 10 5; Те — — 2,48 105лет.
те )в Ле — 5 ТВ )Е Лта Период полураспада ~4() много меньше возраста Земли ( ж 10 лет); таким образом, наше предположение о наличии радиоактивного равновесия МЕжду ЗЗВ() И ые() Онраядаис. !!в т.тс тсе=,, тсч- оо — ест 1+ко(е(~ 'в)' — П !О Если подставить числовые значения, то получается, что 4 10ч лег тому назад содержание 2)5() составляло 16,08%.
Примерно 6.10" лет тому назад содержания ~~() и ~~~() могли быть равными. Конечно, в момент образования Земли в ее составе имелись и другие изотопы урана (см. задачу 7, 22). 7.22. С момента образования Земли за время г = 4 1Оо лет содержание 254() На ЗЕМЛЕ дОЛжНО уМЕНЬШИтЬСя В Е(т'"2)(тт Е)))ВО 104В55 рав. ЕСЛИ даже предположить, что в момент образования Земли на ней существовали только изотопы ые(), то и то~да на Земле уже давно не осталось бы ни одного атома ые(). Изотоп 254() существует в природе благодаря а-распаду и () -распадам т таТП и 254ра 4,5.10 .тот 24 лна 6.таас 284 Содержание зз41) находится из условия радиоактивного равновесия (см. задачу 7, 20).
7.23. — = 6,45 !О лет; — = 1,016 109 лет. 1и 2 * !п 2 7.24. В связи с тем, что проницаемость кулоновского барьера экспоиеициальпо зависит ог ширины барьера, то ответ задачи оказывается чрезвычайно чувствителен к выбору приближения. Приведем три возможных формы ответа: 4(Š— 2)е т2т 1 8! ехр <— агссоз ")~ —— оа -+---))-:")'-'. (--:) -4(--'.)И= . !) — = у! 72 2я(Л вЂ” 2)е т'2т, ( 1 1 ) г тч2 те! '","* гг ~ „' — ' )] 2) — = уг 3) — '= Юг = 942; = 6130, г "де (~о г(2- г)е , Л вЂ” радиус ядра с массовым числом А — 4. д Формулы 1) — 3) получены для случая, когда вце ядра а-частица описывается плоской волной (обрыв барьера при г = Л), что приближенно справедливо, если энергия а-частицы мала по сравнению с высотой кулоповского барьера.
Полученные формулы справедливы также при вылете а-частицы «из центра» ядра, когда можно не учитывать центробежный барьер. При этом формула !) представляет собой результат шчиого интегрирования; формула 2) является предельным случаем при ()о- ы, а формула 3) есть результат интегрирования при (г(г) ~б.
7.25. Зависимость периода полураспада от энергии (в МэВ) хорошо описывается законом Гейгера — Неттола 2ЯЯ 18Т ! А+ В а Из условий задачи константы А — — 56,5; В ее 148,3. Искомый период полураспада равен Т((2 — — 3 10 лет. 84 2 7.26. — г = — = ехр ! 4ч 22е (2 т(ш — т т(ш ) 1 = е шч, т 9.
! 0 ~т с. В силу столь малых времен естественная протонная радиоактивность не наблюдается. Она обнаруживается экспериментально лишь в том случае, когда ей предшествует более медленный р-распад. 7.27'. Тг- 10'2 лет. Решение. При выполнении условия ()~б и У»2 проницаемость барьера равна (см, задачу 3.36) 7 ! ~4тгтуче 2! 22 ~~ -45 г ! тогда — = ехр " ~ — 1 е 4 = 7 ° 10 (здесь У = 2).
гг ~ л ~! Зг!3 Откуда Тг- 10!2 лет. Заметим, что реальное ядро 45ТЬ имеет период полураспада !52 1„1 ° !О!4 лет при энергии а-частицы 2,14 МэВ. г г 728. и 2( — 2>е 30,7 Мэв; г(= 2(Š— 2)е Я зб фм, где Я Я = гоА 7,9 фм — радиус ядра. 1/3 7ж р= =5 !04ыр д=50пр д. ЛЧ -!! 87 Решение. Электроны, вылетающие с поверхности диска, делятся на две равные части.
Одна из них поглощается диском, а вторая, вылетающая в телесный угол 2л, покидает диск, унося момент импульса, Электрон, вылетающий с поверхности диска под углом 0 (рис. 176), уносит момент импульса !>(2. Проекция этого момента на ось вращения равна (Ы2) соз О. Поскольку все направления вылета равРмс. 176 новероятны, то изменение момента импульса в единицу времени —" = — — соз О, где черта означает ус- <Ы л! 6 а! 22 реднение по телесному углу 2л.
л>2 — ! г соз О = — з! сов 04((2 = — !з 2л з|п О соз О !(О = —. ! г 1 2л 2л 2 гг о Таким образом г(И!г! = )>(гьг8. С друюй стороны г(2. — =УФ г(! откуда и следует ответ р = — =5 !О рад. л!8 8У 7,30. ! = 1,57 10!т с 5.109 лет (практичсски равно времени жизни Вселенной). Т.
е, таких условий на Земле, по-видимому, не существовало. 7З1. 'т — 2.!О !Ь с; т — 5.!О гг с. лнв квак Р еще н не. Число у-квантов, излучаемых в единицу времени, где т — время жизни возбужденного уровня относительно излучения. Дино!!ьный момент г> = еЯ з!и со(, где Я вЂ” радиус ядра. Поэтому 4( ей!о с точностью до коэффициента порядка единицы. классическое 2 выражение (данное в условии> для энергии дипольного излучения в единицу времени можно привести к виду: и — — ей ю.
2 гг4 эс Таким образом, для дипольного излучения время жизни возбужденного уровня Лю ЗЛс' т»п »»» 2 3 3' Если ввести Х = — — [фм] — приведенную длину волны у-кванс 200 ю 8 [Май] та с энергией б в МэВ, то искомое время жизни При е = 1 МэВ и Я = 4 фм (условие задачи) формула дает г=2 1О 'ас. Для мультипольпых (в частности — квадрупольных) переходов оценочная формула будет примерно такой же. Изменится только степень размера ядра (размера системы). Из электродинамики известно, что при разложении электрического поля в ряд по мультиполям параметром разложения является отношение размеров системы к расстоянию до точки наблюдения (безразмерная величина). Если в дипольный момент входит Я в первой степени, г. е. г( — еЯ, то в квадрупольный момент входит Я, а в момент порядка т— 2 Ям. Таким образом, время излучения с моментом лг равняется 0-20 [ ~)~ 2»Ф 8 а~ Так, для ги = 2 (квадруполь) Я = 4 фм, г» = 1 МэВ, т„» 5.10 ~э с.
7.32. (= — ' 1,9 104 лег. т~ Р»01 )п 2 7.33. (,„,„= ' 80 лен 0,01 Тп, 1и 2 Указан ив. Минимальный возраст, который можно опрсделитгч ограничивается статистикой отсчетов. 7.34. ~2 — —" — [д л (г 0], где ()Я вЂ” 110 кэВ; 7 = (1 — ~2] 1 4 158а)(с/0] — 28 5: б = ТМасг се 510 ГэВ сА Указание, Для возбуждения уровня в системс покоя ядра нужна час»эта, определяемая из условия йт = Лом Частота возбуждение есть е» вЂ”, поскольку эффективный размер решетки сокращается л' )г 2 2' . 1 ч)с' в направлении движения ядра.
7'35 й = 1 9( ц» /3) 0 64р» . Р с ш е н и е. Векторная модель сложения угловых моментов ядра (Л =1 + 3) и магнитных моментов ()», =р) +[ах) в самом общем виде изображена на рис. 177, на котором векторы моментов импульса должны быть отложены в единицах 8, а векторы магнитных моментов — в ядерных магнетонах Бора. Но в силу тою, что для протона 8) — — 1, для нейтрона Р 287 д!я —— 0 (в силу его электрической нейтральности), а спиновые 8-факторы, соответственно, я,р — — 5,58 и 8,д = — 3,82, рис.
177 не отражает (в смысле масштабов> условие задачи, а лишь помогает по()сети нять правило сложения моментов. Средний ма! нитный момент ядра может быть направлен !ольке и вдоль Л, единственного сохраняющегося вектора в системе, ()ее.и) =р = дгрддг. Умножим зто равенХ ство скалярно на 3 и усредним по состоянию с за1, данными г', А, 5. Тогда в силу того, что 3 — сохраняющийся вектор, его можно внести под знак )ез усреднения, и мы получаем: 8 (гг) Поскольк) 1г! — — 8 )гя 1- и )гз — — 88)еядЗ, то Рнс.
177 Используя теорему косинусов, получим аз(г +8 г' ) яс(г +г' 5 ) 2 + 2 81(~) В квантовой физике справедливы соотношения (гг) 2(У» 1) (Вг) 5(5+ 1) (1 г) / / + 1) Используя их, получим ав+вь + вв — вь 5(5 4.1) — Ы/--~-!) 2 2 /(/+1) В нашем случае магнитный момент ядра определяется состоянием нейтРона, находищегосЯ на УРовне !Р!/г, т. е, дла нейтРона яь —— — 8(я —— О, 85 — — 8,„= — 3,82, 5 = 1/2; /, = 1; г = 1/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
