ЭБЗ Классическая физика (часть 1) - механика, термодинамика и молекулярная физика (1175272), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Из закона распределения молекул по скоростям (п. 2°) можно определить наиболее вероятную скорость молекул uв, соответствующую максимуму функцииdn⎛ m ⎞= 4πn0 ⎜f (u ) =⎟du⎝ 2πkT ⎠3/2e−mu 22 kTu2 .⎡ d ⎛ − mu 2 ⎞⎤= 0 даётУсловие ⎢ ⎜ e 2 kT u 2 ⎟⎥⎟⎥⎢⎣ du ⎜⎝⎠ ⎦ u = uвuв =2 kT2 RT2.== v квµ3m5°. Третий вид закона распределения молекул по скоростям:dn =4n 0π2e−u 2 / uв2⎛ u ⎞ du⎜⎜ ⎟⎟.⎝ uв ⎠ uвДоля молекул газа dn/n0, скорости которых лежат в интервале от u до u + du, численноравна площади dS, заштрихованной криволинейной трапеции на рис. II.3.3, где приведена кривая зависимостиu в dnuот:n0 duuв⎛ u dn ⎞ u dn⎟⎟ =.dS = ⎜⎜ вndu⎝ 0⎠ uв n0Площадь, ограниченная кривой рис. II.3.3 и осью абсцисс, равна единице.
Эта площадьхарактеризует доли молекул, имеющие всевозможные значения скоростей от 0 до ∞.6°. Средняя арифметическая скорость uпоступательного движения молекулидеального газа, вычисленная с помощью закона распределения (п. 2°):u = v кв88RT8kT=== 1,60 pV .3ππµπm7°. Распределение молекул идеальногогаза по энергиям определяет долюdn wn0молекул, которые из общего числа n0 моле-Рис.
II.3.3кул, имеют кинетические энергии wк =mu 2, заключенные в интервале от wк до wк +2dwк:dn w =Здесь2n 0π(kT )−3 / 2 e−ωкwк dwк .kTdn w= f (wк ) dwк , где f(wк) – функция распределения молекул идеального газа поn0энергиям.Пример. Средняя кинетическая энергия wк молекулы идеального газа∞wк = ∫ wк f (wк )dwк =0ω∞− K23kTwewк dwк = kT3/ 2 ∫ к2π (kT ) 0(ср.
II.3.2.4°).8°. Относительное движение (I.7.1.2°) двух частиц с массами m1 и m2, эквивалентнодвижению одной частицы с приведенной массой mпр =m1m2. Для однородного газаm1 + m2mi = m2 = m и mпр = m/2. Распределение молекул по их относительным скоростям устанавливает долюdn uотнn0молекул из общего их числа n0, относительные скорости uотн ко-торых лежат в пределах от uотн до uотн + duотн,⎛ m= n0 ⎜⎜⎝ 4π kTdnuотнЗдесьdnuотнn0⎞⎟⎟⎠3/ 2⎛ m= f (u отн )duотн , f (u отн ) = 4π ⎜⎜⎝ 4π kTe⎞⎟⎟⎠−2muотн4 kT3/ 2e−24π u отнdu отн .2muотн4 kT2u отн– функция распределения мо-лекул идеального газа по относительным скоростям.2Пример. Средняя относительная скорость молекул uотн :∞u отн = ∫ u отн f (u отн )du отн = 208kT= 2 u ,πmгде u – средняя арифметическая скорость молекул (п. 6°).§ II.3.4.
Распределение частиц в потенциальномсиловом поле (распределение Больцмана).1°. Обычно газ находится всегда в потенциальном поле тяготения Земли (1.6.2.1°).Если бы этого поля не было, атмосферный воздух рассеялся бы во Вселенной. С другойстороны, если бы не было теплового движения, то молекулы атмосферного воздухаупали бы на Землю. Тяготение и тепловое движение приводят к стационарному состоянию газа, при котором происходит убыль концентрации и давления газа с возрастаниемвысоты над Землей.2°. Если газ (или другая система частиц) находится во внешнем потенциальном силовом поле (1.3.1.6°), то распределение частиц по объему описывается законом Больцмана.
Закон Больцмана устанавливает число частиц dn(х, у, z), координаты которых находятся в интервалах от х до х + dx, от у до у + dу, от z до z + dz. Другими словами,dn(x, y, z) есть число молекул, находящихся в элементарном объеме dV = dx·dy·dz. ЗаконБольцмана имеет вид:dn( x, y, z ) = const⋅ e−wп ( x , y , z )kTdx dy dz ,где wп(x, y, z) – потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле, k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура. Значение константы определяется из условия нормировки: ∫ dn = n0 , где n0 – общее число частиц в единице объема.Пример.
Для частиц с массой m, находящихся в поле тяжести Земли, wп = mgh(I.3.3.3°), где g – ускорение силы тяжести (1.7.3.3°), h – высота. На любой высоте соблюдается максвелловское распределение молекул по скоростям (II.3.3.1°). Число молекул, находящихся в объеме dV:dn ( x, y , z ) = const ⋅ eПлотность газа ρ = mзакону:ρ = const ⋅ e−mghkT−mghkTdV .dnубывает с возрастанием высоты по экспоненциальномуdV. Значение константы можно определить из условия:ρ = ρ 0 = const при h = 0. Плотность газа или его давление изменяется по барометрической формуле:ρ = ρ0 e−mghkTи p = p0 e−mghkT.3°. Распределение молекул газа по координатам и скоростям при наличии произвольного потенциального поля описывается законом (распределением) МаксвеллаБольцмана:dn = const⋅ e−p x2 + p 2y + p z22 m kTdp x dp y dp z e−wп ( x , y , z )kTdx dy dz ,где dn – число молекул, находящихся в шестимерном пространстве в элементе объемаdΓ = dx·dy·dz·dpx·dpy·dpz, wп(x, y, z) – потенциальная энергия молекулы во внешнем си-ловом поле в точке с координатами х, y, z и проекциями импульса по осям px, py, pz.
Закон Максвелла-Больцмана представляет собой произведение двух функций распределения. Одна из них описывает распределения по координатам, а другая – по импульсам(или скоростям).§ II.3.5. Средняя длина свободного пробега молекул1°. Молекулы газа имеют конечные размеры (II.1.4.1°) и при тепловом движениинепрерывно соударяются друг с другом. Между двумя последовательными соударениями молекулы, двигаясь равномерно и прямолинейно, проходят некоторые расстояния, называемые длинами свободного пробега λ.
Средней длиной свободного пробегаλназывается среднее расстояние, которое молекула проходит без столкновения.Средняя длина свободного пробега является характеристикой всей совокупности молекул газа при данных р и Т.2°. За единицу времени каждая молекула испытывает среднее число соударенийz , равноеz = π d 2 n 0 u отн = 2π d 2 n 0 u .Здесь d – эффективный диаметр молекулы (II.1.4.1°), n0 – число молекул в единице объема газа, u отн – средняя относительная скорость (II.3.3.8°), u – средняя арифметическая скорость молекулы (II.3.3.6°).3°.
Среднее расстояние, которое молекула проходит за единицу времени, численноравно u . Поэтому u = λ z . Средняя длина свободного пробегаλ =uz1.2π d 2 n0=При постоянной температуре n0 пропорционально давлению газа р (II.1.4.5°), и поэтомудля данного газа средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению:p1 λ1 = p 2 λ2 = const .Индексы 1 и 2 относятся к двум состояниям газа.4°. Если из некоторого источника частиц («молекулярная печь») вырываются молекулы и с помощью диафрагмы образуется пучок молекул, то справедлив закон распределения свободных пробегов молекул в пучке:N = N 0e−xλ,где N – число молекул в пучке, прошедших без соударений расстояние х, N0 – числомолекул в пучке при х = 0, т.
е. на выходе из диафрагмы.§ II.3.6. Закон равномерного распределения энергиипо степеням свободы. Внутренняя энергия идеального газа1°. Числом степеней свободы тела называется наименьшее число координат (числонезависимых координат), которые нужно задать для того, чтобы полностью определитьположение тела в пространстве.Например, материальная точка, движущаяся вдоль одной из осей координат, имеетодну степень свободы.
Та же точка, движущаяся на плоскости, обладает двумя степенями свободы. Положение материальной точки, свободнодвижущейся в пространстве, определяется тремя степенями свободы – координатами х, у и z. Абсолютно твердое тело (I.1.1.4°) имеет шесть степеней свободы: его положение в пространстве определяется тремя координатами центра масс тела (I.2.3.3°), двумя углами θ и φ, определяющими направление некоторой оси, связанной с теломипроходящейчерезегоцентрмассРис. II.3.4(рис.
II.3.4), и, кроме того, углом ψ, определяющим направление второй оси, связаннойс телом и перпендикулярной к первой. Изменения трех координат центра масс при заданных углах θ, φ и ψ соответствуют поступательному движению абсолютно твердоготела. Координаты центра масс являются тремя степенями свободы поступательногодвижения. Изменения углов θ, φ или ψ при неизменном положении центра масс приводят к вращению абсолютно твердого тела. Поэтому соответствующие степени свободыназываются вращательными. Для определения положения в пространстве не абсолютнотвердого тела, различные части которого могут смещаться друг относительно друга,вводятся дополнительные степени свободы колебательного движения (п. 5°).2°.
В ряде задач молекула одноатомного газа может рассматриваться как материальная точка (ср. II.1.4.1°). Основанием для этого является то, что масса такого атомасосредоточена практически целиком в ядре (VIII.1.1.1°), имеющем весьма малые размеры. Молекула одноатомного газа имеет три степени свободы поступательного движения. Ее средняя кинетическая энергия wк равна кинетической энергии молекулы,движущейся со скоростью, равной средней квадратичной скорости vкв (II.3.2.4°):wк =3kT .2Эта энергия, ввиду хаотичности теплового движения молекул, равномерно распределяется между тремя степенями свободы, так что в среднем на каждую степень свободыпоступательного движения одноатомной молекулы приходится одинаковая кинетическая энергия wк 0 =11wк = kT , где k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная тем32пература.3°.
Молекула двухатомного газа в первом приближении представляет собой дваатома А и В, жестко связанных несжимаемой, недеформируемой связью (рис. II.3.5).Кроме трех степеней свободы поступательного движения центра инерции С (I.2.3.3°)такая молекула имеет еще две степени свободы вращательного движения вокруг осейO1 – O1 и O2 – O2. Вращение вокруг третьей оси O' – O' не вносит вклада в энергию мо-лекулы, так как момент инерции атомов (I.4.2.1°) относительно этой оси ничтожно мал.Таким образом, двухатомная молекула имеет пять степеней свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
