Лекции (1170086)
Текст из файла
Линеейная алгеббра. Краткиий конспеккт. Лекции 1-2. 1Линнейная аллгебра и аналитиическая геометригияКрааткий консппект лекций.Лекциии 1- 2. Веккторная аллгебраГеоометричесские вектооры. Линнейные опперации с вектораммиСначчала вспомнним известтные из шккольной проограммы оппределенияя и свойстввагеомметрическихх векторов.Опрееделение. ГеометричеГским вектоором назыввается напрравленный отрезок.Обоззначаем: AB, А — наччало, B — кконецвектоора.Геомметрическиие векторы такжеобоззначают однной буквойй: , , ̅ и т.
п.Опрееделение. ДлинаДвектоора AB— ррасстояние между точчками A и BB.Обоззначаем: ∣ AB ∣, ∣ ∣, ∣ ̅ ∣ и т.п.Опрееделение. ДваД вектораа называюттсяравнными, если они коллиннеарны (лежжат напарааллельных прямых),подинаковоонапрравлены и ихи длины равны.Обоззначаем:.Опрееделение. ДваД вектораа называюттсяпроттивоположнными, еслии ониколлиинеарны, равны по дллине ипроттивоположнно направлены.Обоззначаем:.Опрееделение.
НулевымНнаазывается ввектор, имееющий нулевую длинуну. Направллениенулеевого векторра не опредделено. Оббозначаем: 0.Свеккторов и называетсся вектор ̅, определеннный на риисункеОпрееделение. Суммой(праввило паралллелограммма или праввило треугоольника).
ОбозначаемОм: ̅.Опрееделение. ПроизведенПнием векторра на числло называается вектоор длины ∣ ∣⋅∣ ∣,0совпадаетт с направлколллинеарный вектору , направленние которогго прилениемвектоора , а0 — проотивоположжно направвлению векктора .Опрееделение. ОртомОвекттора назыывается векттор единиччной длиныы, направлеение котороогосовппадает с напправлениемм вектора .Обоззначаем: ̅ , ̅AB и т.п. Понятноо, что ̅⋅ .∣ ∣∣ ∣Линеейная алгеббра. Краткиий конспеккт.
Лекции 1-2. 2Опрееделение. ОперацииОсложения веекторов и умножениеуе вектора наа число наззываютсялинейными оперерациями с векторамии.Извеестно (нетррудно доказзать), что ддля линейныых операциий с векторрами справеедливо:11.;22.̅̅;33.0;44.0;55. 1 ⋅;66.;77.α ;αβ88..РРавенства 1-81 справеддливы для ппроизвольнных вектороов , , си ддля любых чисел , .Декарттовы кооррдинаты. Координаты вектоора. Линеейные опеерации свектораами в кооординатноой формеВВспомним, как опредееляютсяддекартовы координатыкы точки вппространствве: MM′0 , ′00X, ′0Y, MM0Z,, 0,0,0, , 0, 0,0, —, , .ЕЕдиничныее векторы кооординатныыхоосей обознаачаем ,̅ ,̅ или ,̅ ,̅ :ККоординатыы вектора ABA :, ,,, ,, AB,,.ООбозначаемм:, , ,, , и т.п.тННапомним, что коордиинаты вектоора — это ортогональьные проеккции векторра наккоординатнные оси: еслли, , , топр ̅ ,пр ̅ ,пр ипр ̅ ⋅̅ пр ̅ ⋅ ̅ пр ⋅̅̅⋅ .ЛЛегко видетть (по своййствам оперраций сложжения вектооров и умноожения векктора наччисло), что если, , ,, , , то,,и,,.ДДействителльно:Линеейная алгеббра.
Краткиий конспеккт. Лекции 1-2. 3,̅,̅̅̅̅,ааналогичноо и,,̅̅̅,ДДлина вектора: если̅и̅;̅ППример. Заапись ̅,,̅̅,, то ∣̅,, т.е .∣,..2,3,7равнносильна зааписи ̅237√62.ППример. Пуусть 0,3, 1, 2, 55,3 .ТТогда AB 2 0, 5 3,31∣ AB ∣284√844.,т.е.,2, 8,42̅2̅3 ̅8 ̅7 ; ∣ ̅∣4 ,ООпределениие. Вектор OAO называеетсяррадиусом-веектором точкитA:, , , OA, ,Пространствво R3 ариифметичесских вектторовООпределениие. Трехмеррным арифмметическиим векторомм называеттся упорядоченнаясовоокупность 3 чисел. Оббозначаетсся ̅, , . Числаа , , нназываютсяякомппонентами арифметичческого векктора.Для ариффметическихх векторов оопределены линейные операциио— сложениеариффметическихх векторов и умножениее вектора наа число: для любых ̅ и и любого числач—̅,,,,,, ̅,,,Вектоор 0 0,0,0называетсяннулевым векктором, а веекторвектоором для векктора ̅ .̅,̅,,,— противооположным,Определеение.
Множеество трехммерных ариффметическихх векторов, ддля которыхх определенныопераации сложенния и умножжения на чиссло называеется простраанством ариифметическиих векторовR3.Очеввидно, что длля любых ̅ , , ̅из Rn и любых чисел α, β справедливо:1.̅̅ , сложенние коммутаативно;2.̅̅̅̅,сложениие ассоциатиивно;3.̅ 0̅;4.̅̅0;5.1⋅ ̅̅;6.̅, умножениеунна число диистрибутивно относителльно сложенния векторовв;̅7.αβ ̅ , умножжение на чиисло ассоциаативно;̅8.̅̅̅ , умножениеуввектора на числочдистррибутивно оттносительноо сложениячиселл.Мы ввидим, что операцииослложения и уммножения гееометрическких и трехммерных ариффметическиххвектооров имеют одинаковыее свойства.
ТТогда можноо проделать такое сопосставление:Выбеерем в трехммерном геомметрическомм пространсстве декартову систему координат. ТогдаТдлякажддого геометррического веектора ̅ одноозначно опрределены координаты , , : ̅, , , чттоозначачает ̅,̅,, причем, ккак показанно выше, ̅̅,̅,,.,,,,,, ̅Линеейная алгеббра. Краткиий конспеккт. Лекции 1-2.
4Это оозначает, чточ любой геометричегеский вектоор можно рассматриварать как треехмерныйариффметическиий вектор, а пространнство геомметрическихх векторовв можно иззучать какпросстранство трехмерныых арифметтических векторов.вДелениеДоотрезка в заданномзотношеннииООпределениие.
Рассмоттрим отрезоок AB.ГГоворят, чтоо точка M , принадлежжащаяоотрезку ABB делит егоо в отношеннии ,еесли ∣ AM ∣: ∣ MB ∣.AAM,ппроекций ессли,, то∣MB∣ааналогичноо,, MBB∣AM∣,. По изввестному сввойству∣MA∣, т.е.∣MB∣,и;.ТТочка,,делитт отрезок AB,A, , ,, , в отношениии .В частностии, точка,,делит отрезок ABB,, , ,, , пополамп(1).ЗЗадача. Наййти длину медианыттреугольникка ABC, проведеннуюю изввершины A,, если A(1, 0, 2), B(0,11,1),СС(3, 0,-2).,РРешение. ТочкаТM — середина BBC,ТТогда AMООтвет. AM∣ AM√∣1,0,,,2 ∣∣ ∣ , ,,, ,∣.√27√..Скалярнное произзведение вектороввООпределениие. Скалярннымппроизведением двух вектороввнназывается число, раввноеппроизведению длин эттих вектороов наккосинус углла между ниими.ООбозначаемм: , , ,∣ ∣⋅∣ ∣ ⋅ccos .ППоскольку ∣ ∣⋅ cosпр и∣ ∣⋅ cosпр , то ,∣ ∣⋅ ∣ccos∣ ∣⋅⋅ пр∣ ∣⋅ пр∣⋅ССвойства скалярноого произвведения.
НетрудноНпоказать,пчтто для проиизвольныхввекторов а, и ̅, и дляя любого чиисла спрааведливо:1. ,, ;2., ̅, ̅, ̅;Линейная алгебра. Краткий конспект. Лекции 1-2. 53.,, ;4. ,0, причем ,0тогда и только тогда, когда0.Доказательства свойств 1, 3 и 4 очевидно следуют из определения. Докажемсвойство 2:, ̅, ̅, ̅., но по известному свойству проекцийДействительно:, с ∣ с ∣⋅ прспрспрспрс , тогда, с ∣ с ∣⋅ прс∣ с ∣⋅ прспрс∣ с ∣⋅прс ∣ с ∣⋅ прс, ̅, ̅, что и требовалось доказать.Из свойств 1- 4 можно вывести весьма важные и полезные следствия:1.
,̅,, ̅;2. ,0, тогда и только тогда, когда векторы аи ортогональны (посколькунаправление нулевого вектора не определено, его можно считатьортогональным любому вектору);3. ,∣ ∣; выражение называют скалярным квадратом вектора;4. если ,0для любого вектора а, то вектор — нулевой, т.е. из ,0, ∀ следует0;5. если— угол между векторами а и , то cos,;∣ ∣⋅∣ ∣6. если векторы аи заданы своими координатами в некоторой декартовой системекоординат:, , ,, , , то ,.Следствия 1, 2 , 3 и 5 очевидно следуют из определения скалярного произведения.Докажем свойство 4.Пусть ,0для любого вектора а.
Значит, и для а, тогда ,0, но ,∣ ∣ 0, следовательно,0.Докажем свойство 6 — вычисление скалярного произведения в координатах.Если векторы аи заданы своими координатами в некоторой декартовой системекоординат:, , ,, , , то̅̅,̅̅.Вычислим , :,̅̅, ̅̅, из свойства 2 и следствия 1 следует:̅̅, ̅̅,̅̅,̅̅,̅,̅̅,̅̅,̅, ̅,̅,,из свойства 3 и следствия 2 следует:,̅̅,̅̅,̅,̅̅,̅̅,̅, ̅,̅,̅,̅ ̅,̅,̅ ̅̅,̅, ̅, ̅,поскольку ̅1, ,̅ ̅ 0, ,̅0, ,̅ ̅ 0, ̅1, ,̅0, , ̅ 0, , ̅ 0,1.Доказано, что ,.Скалярное произведение векторов можно использовать для вычисления углов,между векторами: если — угол между векторами а и , то cos.∣ ∣⋅∣ ∣Равенство нулю скалярного произведения векторов — признак ортогональностивекторов: ,0, тогда и только тогда, когда векторы аи ортогональны.Задача (Типовой расчет!). Найти косинус угла между векторами ABи AC, еслиA(1, 2, 0), B(0, 2, -1) и C(0, 0, 1).Решение.
cosBAC10⋅ 2ними равен , cosAB,AC; AB∣AB∣⋅∣AC∣1 ⋅10.1,0, 1, AC1, 2,1, AB, AC1 ⋅0— векторы ABи AC— ортогональны, угол междуЛинеейная алгеббра. Краткиий конспеккт. Лекции 1-2. 6Если не вспомнилии признак оортогональьности, то можномпроддолжать выычисления:01С∣121∣ AB ∣1√2, ∣ AС√6, cosAB,ACBAC∣AB∣⋅∣AC∣0. ООтвет.
cos√ ⋅√0.0BACЗадача.Найти всев внутреннние углы,стороныы, площадь, медианы,средниее линии и выысотытреуголььника ABCC, если A(1, 1, 0),B(0, 2, –1)– и C(0, 1, –1).Решениие. Не будемм здесь прииводить всее вычисленния. Найдемм BAC, меедиану BD,,высоту BEB и средннюю линиюю FG.AB,AACACBAcos∣ AС ∣√2, cos√1,ABB,ACBAC√∣ABB∣⋅∣AC∣√ ⋅√√⋅∣ AB ∣⋅∣ AC ∣ sinnABCC√⋅∣ BE ∣⋅∣ AC ∣ABC1,0,, 1, AB, AACA1,1, 1, AC; AB∣AB∣⋅∣AAC∣, ∣ BE ∣, sinnBAC⋅ √3 ⋅ √22 ⋅BAC⋅√⋅∣AAC∣√1,1 ∣ FG ∣√2, ∣ ABA ∣1cos√√√3,BAC,√⋅∣ AC ∣,√D — серредина AC —, 1,, BD, 1, , ∣ BDD∣.Остальнные элеменнты треуголльника выччисляются аналогичноао.B(0, 2, –1)–Опредделители 2-го и 3-гго порядккаОпрееделение.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
