Лекции (1170086), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Рассмотрим произвольную систему векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ и̅ , т.е.добавим к ней нулевой вектор: ̅ , ̅ ,..., ̅ , ̅ . Тогда : 0 ⋅ ̅ 0 ⋅ ̅ ... 0 ⋅ ̅ 1 ⋅равна нулю линейная комбинация с одним ненулевым коэффициентом — векторылинейно зависимы, ч.т.д.Остальные утверждения доказываются аналогично. Докажите сами.Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системывекторов в RnСправедливо следующее утверждение.Теорема (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системывекторов). Система ̅ , ̅ ,..., ̅ векторов из Rn линейно зависима тогда и только тогда,когда хотя бы один вектор системы векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ из Rn линейно выражается черезостальные векторы системы.Доказательство теоремы. Необходимость.

Дано: векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно зависимы.Докажем, что хотя бы один из них линейно выражается через остальные .Векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно зависимы. Это означает, что существуют такие коэффициенты̅.линейной комбинации , ,..., , не все равные нулю, что̅̅...̅Не умаляя общности, предположим, что именно0. Тогда из̅̅...̅ следует: ̅̅...̅ — вектор ̅ линейно выражается через ̅ ,..., ̅ .Необходимость доказана.̅Достаточность. Дано: один из векторов системы ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно выражается черезостальные. Докажем, что векторы линейно зависимы.Действительно, не умаляя общности, положим, что вектор ̅ линейно выражается через̅ и векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно̅ ,..., ̅ : ̅̅..̅ .

Если все0,2,3,..., , то ̅зависимы (см. св-во 1). Если же среди ,2,3,..., есть хоть одно отличное от нуля число,̅̅..̅— имеем нулевую линейную комбинацию, не все коэффициентыто ̅которой равны нулю — система векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно зависима. Достаточностьдоказана. Теорема доказана.Базис в Rn. Координаты вектора в заданном базисе. Линейные операции вкоординатной формеОпределение. Система векторов из Rn образует базис в Rn если:система векторов упорядочена;1.2.система векторов линейно независима;любой вектор из Rn линейно выражается через векторы системы.3.Иными словами, линейно независимая упорядоченная система векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈nОбразует базис в Rn если любой вектор ̅, ,...,̅ из R может быть представлен в виде̅̅̅...̅ .Определение.

Выражение ̅̅̅...̅ называется разложением вектора вбазисе ̅ , ̅ ,..., ̅ , а числа , ,..., называются координатами вектора ̅ в базисе ̅ , ̅ ,..., ̅ .Пример. Нетрудно доказать, что система арифметических векторов̅1,0,0,..., 0,̅0,1,0,..., 0,0,0,1,..., 0,̅..........................,̅0,0,0,..., 1линейно независима (см. пример с ,̅ ,̅ ) и что для любого ̅ из Rn система векторов̅ , ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно зависима, поскольку любой вектор ̅ линейно выражается черезn̅ , ̅ ,..., ̅ : ̅, ,...,̅̅...̅ .

Т.е. в R существует базис, состоящийиз n векторов. Базис ̅1,0,0,..., 0, ̅0,1,0,..., 0,..., ̅0,0,0,..., 1 называется естественнымnбазисом в R , и компоненты вектора ̅, ,..., — его координаты в естественном базисе.Справедливо следующее утверждение.nТеорема (о единственности разложения вектора в базисе). Для любого вектора ̅ из Rразложение ̅̅̅...̅ вектора в базисе ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ единственно.Доказательство теоремы. «От противного». Пусть не так. Т.е. векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈образуют базис в Rn , помимо разложения ̅̅̅...̅ , существуетразложение ̅̅̅...̅ и не все коэффициенты Ci , Bi совпадают.Тогда ̅̅̅...̅̅̅...̅ , и, следовательно,̅̅̅....̅̅̅...̅ , откуда̅̅...̅Но векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ образуют базис, — они линейно независимы, и, следовательно,...0, т.е.,,...,— все коэффициентыразложений соответственно равны — разложения совпадают.

Теорема доказана.Следствие. Координаты вектора в заданном базисе определяются единственнымобразом.Теорема. В пространстве Rn существует базис из n векторов.Действительно, этот базис — естественный базис ̅1,0,0,..., 0, ̅0,1,0,..., 0,..., ̅0,0,0,..., 1Линейные операции в координатной формеПусть векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ образуют базис в Rn. Тогда для любых двух векторов ̅ ииз Rn однозначно определены разложения ̅̅̅...̅ ,̅̅n...̅ . Тогда из свойств арифметических операций в R следует:̅̅...̅̅...̅̅...̅ идля любого числа : ̅̅...̅̅...̅ .Иными словами, координаты суммы векторов в заданном базисе равны суммесоответствующих координат слагаемых, а координаты произведения вектора на число —произведению соответствующих координат вектора на число.Линейные подпространства в Rn, размерность подпространства, базис вподпространствеОпределение.

Множество L векторов из Rn , такое, что для любых ̅ и из L и любого числа αсправедливо ̅∈ , ̅ ∈ , называется линейным подпространством в Rn.Пример. Множество L арифметических векторов из Rn, у которыхнулевые, образует линейное подпространство в Rn:̅, ,...,,...,̅, 0,, ,...,,0 ∈ , ̅, 0, ̅ , ∈ ,,,...,последние компоненты —,0 ∈ .Нетрудно доказать, что для любого линейного подпространства справедливо:1. если вектор ̅ принадлежит линейному подпространству L, то и вектор̅ принадлежитлинейному подпространству L;2.

любое линейное подпространство содержит нулевой элемент.Действительно, пусть ̅ ∈ ,но тогда и̅1 ⋅ ̅ ∈ , и, следовательно, ̅̅̅∈ .nУтверждение. Пространство R само является линейным подпространством в Rn.Это утверждение очевидно, поскольку сумма любых двух векторов из Rn и произведение любоговектора из Rn на любое число принадлежат Rn.Определение. Число k называется размерностью линейного подпространства L, если в Lсуществует система из k линейно независимых векторов, а любые k+1 вектора — линейнозависимы.

Обозначаем dimL=k.Нетрудно доказать следующее утверждение.Теорема. В k-мерном линейном подпространстве существует базис их k векторов.Доказательство теоремы. Действительно, если dimL=k, то существует система из k линейнонезависимых векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ , а любая система из k+1 вектора ̅ , ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ —линейно зависима, но тогда любой вектор ̅ ∈ линейно выражается через векторы :̅̅̅...̅ , т.е.

̅ , ̅ ,..., ̅ — базис в L.Справедливы также следующие утверждения (оставим их без доказательства).Теорема. Любая упорядоченная система из k линейно независимых векторов k-мерного линейногоподпространства является базисом в этом подпространстве.Теорема. Размерность линейного подпространства равна числу векторов в базисе этогоподпространства.Отсюда следует: dim(Rn) = n.Действительно, в пространстве Rn есть базис из n векторов — естественный базис в Rn.Пример. Размерность линейного подпространства L арифметических векторов из Rn, у которыхпоследние компоненты — нулевые, равна n – 1.Действительно, векторы ̅1,0,0,..., 0,0, ̅0,1,0,..., 0,0,..., ̅0,0,0,..., 1,0— очевидно,принадлежат L и линейно независимы. Покажем, что они образуют базис в L. Для произвольного,...,, 0 ∈ имеет место разложение справедливо: ̅̅...̅ ,вектора ̅т.е.

векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ образуют базис в L. В этом базисе n-1 вектор, следовательно, dimL= n –1.Тогда можно использовать другое определение базиса.Определение. Любая упорядоченная линейно независимая система из k векторов k-мерноголинейного подпространства L образует базис этого линейного подпространства L.Это означает, что если dimL=k и арифметические векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ из L линейно независимы, то̅̅для любого ̅ ∈ существует единственный набор чисел , ,..., таких, что ̅̅....Подпространство строк и подпространство столбцов прямоугольной матрицыРассмотрим прямоугольную матрицу Am, n, у которой m строк и n столбцов:11,21...1222...Её строки —............... .mn,,...,in—являются векторами из Rn,...

— являются векторами из Rm.А столбцы —mjПонятно, что множество строк матрицы Am, n , к которому добавили все строки, которыемогут быть получены при элементарных преобразованиях матрицы (исключаятранспонирование) — линейное подпространство в Rn.А аналогично образованное множество столбцов — линейное подпространство в Rm.Это означает, что мы можем говорить о линейной зависимости и о линейнойнезависимости строк и столбцов матрицы, о размерности подпространства строк иподпространства столбцов матрицы, о базисах в соответствующих подпростьранствах.Ранг матрицыОпределение. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строкматрицы.

Обозначаем RgA, rgA.Т.е., если ранг матрицы равен r, то среди строк матрицы есть r линейно независимыхстрок, а любые r +1 строки — линейно зависимы.Определение. Матрицы, имеющие одинаковый ранг, называются подобными.Утверждение. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.Доказательство утверждения. Пусть Am, n — прямоугольная матрица и RgA = r. Неумаляя общности, положим — линейно независимы первые r строк: , ,..., . Выполнимэлементарные преобразования строк матрицы.

Обозначим полученную матрицу A’, еестроки — ′ .Очевидно, что перестановка строк или умножение строки на число не можетповлиять на количество линейно независимых строк.Выполним такое преобразование: к одной из строк матрицы прибавим другую,умноженную на отличное от нуля число.Сначала выполним такое преобразование с первыми r линейно независимыми строками.Например, ′,0, ′,. Тогда ∑′......Т.к. строки..., ,...,0,0..., то линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда0,0,...,0.

Отсюда немедленно следует, что и0, т.е.первые r строк преобразованной матрицы ′ , ′ ,..., ′ — линейно независимы. Покажем,что любая система ′ , ′ ,..., ′ , ′ ,строк преобразованной матрицы линейно зависима,линейно выражается через строки ′ , ′ ,..., ′ :т.е. покажем, что строка ′ ,поскольку строки , ,..., , ,линейно зависимы, то∑,, а отсюда — ′ ∑′ ′ ,и0,...,′......′.........′...′′′ ,.Если же ′,,0иA′,, то первые r строк преобразованной матрицылинейно независимы, а любые r+1 линейно зависимы, т.к.

любая строка преобразованнойматрицы линейно выражается через ее первые r линейно независимых строк:′ijkjijkjijkj′′ij ′Утверждение доказано.Теорема. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы.Доказательство теоремы. Рассмотрим ступенчатую матрицу11...23 ...33 ......

... ...0 ...rr0 ... 0... ... ...000...0...01200...00........................13220...00......rn0...т.е. 1min , , ij 0для всех, и ij 0для всех при. Важно понимать, то у.ступенчатой матрицы первые r диагональных элементов отличны от нуля: ii 0,Первые r строк этой матрицы линейно независимы. Действительно, приравняем к нулю0и вычислим ее в естественном базисе:линейную комбинацию этих строк: ∑, , , ,...,,11 , 12 ,...,,0, 22 ,..., , , , , , ,...,, …,0,0,..., 0,,,11 ,,,...,rn ,12 ,...,,,,,,...,0,0,0,..., 0,11 ,1222 ,...,,,22 ,...,,...,, ,,...,0,0,..., 0,0,0,..., 0.rn,,,,,,,,...,...,...,,...Равенство нулю линейной комбинации возможно тогда и только тогда, когда:0, поскольку 11 0,0, поскольку0и 22 0, …,0, поскольку0,0, …,0и rr 0.Итак, первые r ненулевые строки линейно независимы, а любые r+1 строки — линейнозависимы, т.к.

Характеристики

Список файлов лекций