Лекции (1170086), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Если,1, и̅ 0, ⇔, ,0 00свободные переменные,т.е. соответствующие собственные векторы — все ненулевыевекторы пространства R2.При— оператор поворота не имеет собственных векторов.3И, наконец, при0и2π,1, оператор поворота совпадает стождественным оператором, собственные значения и собственные векторыкоторого вычислены выше.Однако, все приведенные выше рассуждения относились к матрице оператора,записанной в некотором определенном базисе в пространстве Rn. А поскольку впространстве Rn существует много различных базисов, то может возникнутьвпечатление, что собственные значения зависят от выбранного базиса. Докажем,что это не так.̅ , ̅ ,..., ̅ — два базиса в Rn, а → — матрица переходаПусть̅ , ̅ ,..., ̅ и̅ , ̅ ,..., ̅ , т.е.от базиса̅ , ̅ ,..., ̅ к базису⋅ → ,⋅→ ⋅→ ⋅.Тогда→detdetdet→⋅det⋅→det→det→⋅→⋅→→⋅⋅→⋅⋅⋅ det⋅→⋅ det⋅ detdet→→→⋅ detт.е.

характеристическое уравнение инвариантно, не зависит от базиса и его корни— собственные значения оператора — не зависят от базиса.Пример (ТР Линейная алгебра, задача 9). Найти собственные значения исобственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе133матрицей05603.4Решение. Запишем характеристическое уравнение:∣105603 ∣1∣21,1563418Собственные значения оператора2.Найдем собственный вектор, отвечающий собственному значению̅,̅,̅,̅̅, ̅̅̅1:det330, 11210,4110035 13364 13 1 2,2x1,21, ̅00330,10— собственному значению1собственных вектора ̅ и ̅ .̅412.1,066∣152003→1302x,020011→00012,323321,005 2364 20,0,2отвечает собственный вектор ̅ .2001001отвечают два линейно независимыхНайдем собственный вектор, отвечающий собственному значению̅,̅,̅,̅̅, ̅̅̅2det30333 60,,̅013→0600112:01 0 01→0 1 110 0 001— собственному значению14Проверим.̅ ,̅̅1330561330560 23⋅14 00 003⋅ 124 1221021⋅1002 11Ответ: собственные значения оператора:собственные векторы: ̅21, ̅010, ̅101.1̅ ,133̅0560 13⋅04 110111⋅01̅ .

Верно.1,2; соответствующиеСвойства собственных векторовДля собственных значений и собственных векторов линейного операторасправедливы следующие утверждения:n1) характеристический многочлен оператора, действующего в R являетсямногочленом n-й степени относительно ;n2) линейный оператор, действующий в R , имеет не более n различныхсобственных значений;3) собственные векторы оператора определяются с точностью до постоянногосомножителя; поэтому принять вычислять собственные векторы единичнойдлины — орты собственных векторов;докажем, что если ̅— собственный вектор линейного оператора A, отвечающийсобственному значению , то для любого отличного от нуля числа вектор ̅(0)— собственный вектор оператора A, отвечающий собственному значению :̅̅̅̅;4) корни характеристического многочлена не зависят от базиса;5) собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям,линейно независимы.Докажем линейную независимость собственных векторов, отвечающих различнымсобственным значениям.Пусть ̅ — собственный вектор линейного оператора A, отвечающийсобственному значению , а ̅ — собственный вектор линейного оператора A,отвечающий собственному значению ,: ̅̅ и ̅̅ .Предположим, что векторы ̅ и ̅ линейно зависимы.

Это означает, что один изних линейно выражается через другой: существует такое число0, что ̅̅ . Тогда:̅̅̅αλ ̅̅̅ .Собственный базис линейного оператора. Матрица линейногооператора в собственном базисеЕсли линейный оператор, действующий в Rn, имеет n различных собственныхзначений, то собственные векторы оператора образуют базис в Rn.Действительно, ведь мы доказали, что они линейно независимы.Определение.

Базис, составленный из собственных векторов линейногооператора называют собственным базисом оператора.Если ̅ , ̅ ,..., ̅ — собственный базис оператора A, то, поскольку̅̅ ,томатрица оператора в этом базисе — диагональная матрица с собственнымизначениями на диагонали.5Пример. Найти матрицу оператора из предыдущего примера в собственномбазисе. Оператор в предыдущем примере задан в некотором базисе матрицей13305603.4Решение. В предыдущем примере найдены собственные значения1,21, ̅0̅10, ̅12и соответствующие собственные векторы оператора —01.1Собственные векторы оператора образуют базис в R3.

Далее.Первый способПоскольку в базисе ̅ , ̅ , ̅̅̅1⋅ ̅1 00 10 0̅ , ̅ , ̅10,0̅00.2̅̅1⋅ ̅̅01,0̅̅2⋅ ̅2 ̅00и2Второй способЗапишем матрицу перехода от исходного базиса — к собственному базису̅ , ̅ , ̅ :1 00 10 000.22 11 00 101. Тогда12 11 00 1⋅̅ , ̅ , ̅Решения, полученные обоими способами совпали.Ответ:̅ , ̅ , ̅1 00 10 000, ̅221, ̅010, ̅101.10111330560 2 13⋅1 04 0 10111Линейная алгебра и аналиттическая геометррия.Лекция 141Поверххности 2-гго порядка2.

Характеристики

Список файлов лекций