Лекции (1170086), страница 9
Текст из файла (страница 9)
И наоборот. Если все n строк и столбцов квадратной матрицыпорядка n линейно независимы, то ранг матрицы равен n. Но по теореме о базисномминоре существует отличный от нуля минор матрицы порядка n, а такой минор —определитель матрицы.4Замечание. Утверждение теоремы о базисном миноре легко понять на примереступенчатой матрицы. Вспомним, что ранг ступенчатой матрицы1100...00...12220...00......23 ...33 ...... ... ...0 ...rr0 ... 0... ...
...000...0...0.....................13...rn0...равен числу r ненулевых строк. Видно, что главный минор этой матрицы, Mr отличен отнуля:110∣ ...001222...00...............,......,0∣11⋅22⋅ ... ⋅,0,,ведь все диагональные элементы 11 , 22 ,..., , отличны от нуля.Любой минор более высокого порядка содержит нулевую строку, т.е. равен нулю.Нетривиальная совместность однородных систем. Необходимое идостаточное условие нетривиальной совместности однородной системыМы уже говорили, что однородная система линейных алгебраических уравнений всегдасовместна. Если однородная система имеет единственное решение, то это единственноерешение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однороднаясистема имеет более одного решения, то среди этих решений есть и ненулевые и в этомслучае система называется нетривиально совместной.Пример. Вектор ̅ 1 — отличное от нуля решение однородной системы10,2x2x0.Теорема (необходимое и достаточное условие нетривиальной совместностиоднородной системы).
Для того чтобы однородная система была нетривиальносовместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числанеизвестных.Доказательство теоремы̅ нетривиально совместна. Это означает, что существуютНеобходимость. Система ̅числа , ,..., не все равные нулю, для которых справедливо...̅ . Последнее равенство означает, что n столбцов матрицы систем линейнозависимы и, следовательно, ранг матрицы системы (максимальное число линейнонезависимых столбцов) меньше числа столбцов, меньше числа неизвестных.Необходимость доказана.Достаточность.
Пусть ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных. По теоремео базисном миноре из этого следует, что существует отличный от нуля минор матрицы5порядка r. Не умаляя общности, будем полагать, что базисный минор — главный минор.........11матрицы∣ ...... ∣0.rrРассмотрим первые r уравнений системы (по теореме о базисном миноре остальныеуравнения — линейные комбинации этих первых уравнений):111221220,0,............0.rnОставим слева первые r неизвестных, а остальные n-r неизвестные перенесем вправо иполучим неоднородную систему линейных уравнений относительно неизвестных, ,..., :1121......,,............rr...rr.rnОпределитель полученной системы — отличный от нуля базисный минор Mr.Уравнения системы справедливы при произвольных значениях переменных,,..., .Их естественно называть свободными.
А переменные , ,..., в левой частиуравнений системы естественно назвать базисными.Базисные переменные можно вычислить по формулам Крамера, i = 1, 2, …, r .Здесь0— определитель матрицы системы, а — определитель, полученный из Mrзаменой i-го столбцом правых частей. Вычислим, например, x1.1......⋅∣22...rr12⋅∣1222......rr..................rn...............
∣... ∣rr.rrЗдесь — некоторые числа.∑∑∑∑Итак,. Аналогично,,...,базисные переменные линейно выражаются через свободные переменные.Положим, например такие значения свободных переменных:1,0,...,...∑∑∑Тогда вектор ̅...однородной системыдоказана.— т.е.0.1121...rp...̅rp21...10...0— отличное от тождественного нуля решение̅ . Т.е. однородная система нетривиально совместна. ТеоремаФундаментальная система решений однородной системы. Структура общегорешения однородной системы̅ — векторы из Rn. Вспомним также,Вспомним, что решения однородной системы ̅что в силу свойств решений линейной однородной системы множество L ее решений —линейное подпространство в Rn.
Действительно: если ̅ и — два решения однородной6̅ , то при любых действительных числах α и β вектор ̅системы ̅— решение̅ , иначе говоря, для любых ̅ ∈ и ∈ и любого числах α ̅системы ̅∈ и̅ ∈ . Доказано также, что если ранг r матрицы системы меньше числа неизвестных n,то система имеет ненулевые решения.Определение. Выражение, позволяющее вычислить все (любое) решения системы,называется общим решением системы.В теореме о нетривиальной совместности однородной системы показано, что если r —ранг матрицы системы, то r базисных переменных выражаются через свободныепеременные по формулам∑∑∑∑,,,...,.rpЗдесь для простоты полагали, что базисные переменные — это первые r переменных.Вообще говоря, это могут быть любые r переменных.∑∑∑∑Итак,,,,...,— т.е.
базисныеrpпеременные линейно выражаются через свободные переменные.Построим n-r ненулевых решений однородной системы специальным образом.Сначала положим1,0,...,0и полученное решение обозначим ̅ .Затем положим0,1,0,...,0и полученное решение обозначим ̅ ,и т.д., и, наконец, положим0,0,0,...,0,1и полученное решениеобозначим ̅ . Имеем (см.
док-во теоремы о нетривиальной совместности)11122122...̅10...0..., ̅...,..., ̅01...0rn00...1.Нетрудно видеть, что эти n-r ненулевые решения линейно независимы.Действительно, запишем матрицу, столбцами которой являются векторы ̅ , ̅ ,..., ̅1121...10...001222...01...00...........................0.0...01:Минор этой матрицы, расположенный в последних n-r строках равен 1, отличен от нуля.Это означает, что ранг матрицы равен n-r и что ее n-r столбца линейно независимы. Астолбцы этой матрицы — ненулевые решения однородной системы ̅ , ̅ ,..., ̅ .С другой стороны, любое решение системы, в соответствии с приведенными вышеформулами, можно записать в виде:11...2121......̅2121⋅rp......⋅10...0......01...0⋅rn00...1...⋅ ̅⋅ ̅...⋅ ̅̅̅...̅.7Здесь произвольные значения свободных переменных,,..., обозначены буквами, ,...,.Подведем итог:построена система ̅ , ̅ ,..., ̅ , состоящая из n-r линейно независимых решенийоднородной системы;любое решение системы линейно выражается через решения ̅ , ̅ ,..., ̅ ;множество решений однородной системы — линейное подпространство.Тогда можно утверждать:̅ равна n – r ,1.размерность подпространства L решений однородной системы ̅где n — число неизвестных, r = RgA: dimL = n – r;2.система ̅ , ̅ ,..., ̅ — базис в подпространстве L решений однородной системы̅;̅3.выражение ̅̅̅...̅ — общее решение однородной системы.Определение.
Система ̅ , ̅ ,..., ̅ , состоящая из n-r линейно независимых решений̅ , ̅ ∈ , RgA=r , называется фундаментальной системойоднородной системы ̅решений однородной системы.Выше мы доказали следующие утверждения.Утверждение. Фундаментальная система решений однородной системы — базиспространства решений однородной системы.Теорема о структуре общего решения однородной системы линейныхалгебраических уравнений. Если ранг r матрицы однородной системы линейныхуравнений меньше числа неизвестных n, то общее решение системы можно записатьв виде линейной комбинации решений фундаментальной системы: ̅̅̅...̅ .Пример 1.
Исследуем однородную систему линейных алгебраических уравнений2x4x0,2x2x0,3x2x2x0,2x2x6x0.Исследовать однородную систему — ответить на вопрос является ли системанетривиально совместной, и если является, то найти ее общее решение.Решение. Решим задачу методом Гаусса-Жордана.Приведем матрицу системы к ступенчатому виду, выполняя элементарные преобразованиястрок (прямой ход метода Гаусса):141 2 14 1 21 2 142 01 2043 100 4 310→→43 103 2 02 00 0 001 2 26 0 4310 0 0 00Ранг матрицы системы равен r = 2, число неизвестных n =4, r < n — система нетривиальносовместна. Кроме того, очевидно, множества решений исходной системы и системы спреобразованной матрицей совпадают.Продолжим преобразование матрицы системы, выполняя элементарные операции состроками так, чтобы базисный минор матрицы стал единичным (обратный ход методаГаусса):14 1 01 2 14 1 2 10 10 4 3 10→→0 1.0 0 0 00 0 0 00 0 000 0 0 00 0 0 00 0 008Запишем эквивалентную систему уравнений:10,2350.421 0∣ 1 0.0 1Следовательно, переменные , — базисные переменные, а ,Перенесем свободные переменные вправо:1,235.42Главный минор матрицы этой системы —∣— свободные.Получили выражение базисных переменных через свободные.
Такое выражение — общеерешение однородной системы, записанное «на языке систем».Найдем базис в подпространстве решений системы (фундаментальную систему). Дляэтого положим значения свободных переменных равными1,0и вычислимбазисные переменные:111⋅1 0,22235353⋅1⋅0.42424Тогда вектор ̅— решение однородной системы.10Затем положим значения свободных переменных равнымибазисные переменные:11⋅0 11,2235355⋅0⋅1.424221Тогда вектор ̅01— решение однородной системы.0x1и вычислим9Векторы ̅ , ̅ — линейно независимые решения однородной системы размерностьпространства решений которой d = n– r = 4 – 2 = 2, т.е.
̅ , ̅ — базис пространстварешений.Запишем общее решение системы:1̅̅̅⋅10Проверим:̅1231⋅20221102.0142⋅2624C22C322C6C00.0022C,— произвольные постоянные.Верно.Ответ: Общее решение системы ̅,1Базис в пространстве решений системы — ̅, ̅1001.Структура общего решения неоднородной системыВспомним одно из свойств решений линейной неоднородной системы:Если ̅ и — два решения системы ̅, то вектор ̅— решение приведенной̅.однородной системы ̅̅̅...̅ задает все решения однороднойПоскольку выражение ̅системы, то для любых двух решений ̅ и неоднородной системы справедливо̅̅...̅ и, следовательно, выражение ̅̅̅...̅̅позволяет вычислить любое решение неоднородной системы.Таким образом доказана теорема о структуре общего решения линейной неоднороднойсистемы.Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейныхалгебраических уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
