Лекции (1170086), страница 8
Текст из файла (страница 8)
линейно зависима любая система векторов, содержащая нулевой вектор.Теорема доказана.Отсюда — алгоритм вычисления ранга матрицы.Приведем матрицу к ступенчатому виду (доказано, что это можно сделать гауссовымисключением), ранг исследуемой матрицы равен рангу ступенчатой матрицы (вышедоказано, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы) , ранг ступенчатойматрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы (по только чтодоказанной теореме).Пример.
Вычислим ранг матрицы1211322112683413 10050⇒3403 24 06 28 0210000ступенчатой форме (см. пример в конце предыдущей лекции).311000432, приведенной к000В ступенчатой форме матрицы 3 ненулевые строки, следовательно, RgA=3.Метрические соотношения в RnОпределение. Если каждой паре векторов ̅ , из пространства Rn поставлено всоответствие действительное число ̅ , , так, что для любых ̅ , , ̅из Rn и любогодействительного числа справедливы следующие равенства:1. ̅ ,, ̅;2.̅,̅, ;3. ̅, ̅̅, ̅, ̅;4.
̅ , ̅ 0,при ̅ 0, ,0, — нулевой вектор,то говорят, что в пространстве Rn определено скалярное произведение ̅ , .Пример. Легко проверить, что изученное в разделе «аналитическая геометрия»скалярное произведение известное из школьного курса скалярное произведение втрехмерном пространстве геометрических векторов (в R3) является скалярнымпроизведением в определенном выше смысле.Пример. Рассмотрим пространство арифметических векторов R2 ={X=(x1, x2)}.Определим скалярное произведение следующим образом:(X, Y) = 2x1y1 + 3x2y2.Легко убедиться, что для определенного таким образом скалярного произведениясправедливы аксиомы 1. — 4.:(X, Y) = 2x1y1 + 3x2y2 = 2y1x1 + 3y2x2 = (Y, X),(X, Y) = 2(x1)y1 + 3(x2)y2 = (2y1x1 + 3y2x2) = (X, Y),(X+Y, Z) = 2(x1+y1)z1 + 3(x2+y2)z2 = (2x1z1 + 3x2z2) + (2y1z1 + 3y2z2) = (X, Z) + (Y, Z),(X, X) = 2x1x1 + 3x2x2 = 2x12 + 3x22 >0 если, если же X = (0, 0), то (X, X) = 0.Вернемся к пространству арифметических векторов Rn = { ̅, ,..., }nОпределим в R естественное скалярное произведение: каждой паре векторов ̅ и из∑этого пространства поставим в соответствие действительное число ̅ ,.Нетрудно доказать, что для любых векторов ̅ , и ̅и любого действительного числа для∑̅,справедливо:1.̅,2., ̅,̅,3.̅4.̅, ̅̅, ,, ̅̅, ̅0при ̅, ̅,̅, и ̅, ̅̅,0тогда и только тогда, когда ̅̅ — нулевой вектор.Пространство арифметических векторов Rn с определенным в нем естественнымскалярным произведением называют евклидовым пространством арифметическихвекторов и иногда обозначают En.Свойства скалярного произведения.
Неравенство Коши-БуняковскогоТеорема (неравенство Коши-Буняковского). Для любых векторов ̅ , из пространства Rn̅, ̅ ⋅ , .справедливо следующее неравенство ̅ ,Доказательство теоремы. Возьмем произвольное число и рассмотрим ̅, ̅.По последнему свойству скалярного произведения для любых векторов ̅ , и любого числасправедливо: ̅, ̅0. С другой стороны, ̅, ̅̅ , ̅ 2α ̅ ,, , т.е. ̅ , ̅ 2α ̅ ,,0. Выражение в левой части неравенства —квадратный трехчлен относительно . Он неотрицателен тогда и только тогда, когдадискриминант 4 ̅ ,4 , ̅ , ̅ 0.
Из последнего неравенства немедленно следуетнеравенство Коши-Буняковского: 4 ̅ ,4 , ̅, ̅, ̅,, ̅ , ̅ . Теорема доказана.Метрические соотношения в RnОпределение. Число ∣ ̅ ∣ √ ̅ , ̅ называется длиной вектора ̅ ; число ∣ ̅— расстоянием между векторами ̅ и ; угол , косинус которого cosмежду векторами ̅ и .Если в Rn скалярное произведение определено формулой ̅ ,̅, ,...,,, ,...,из Rn справедливо:̅,,∣ ̅ ∣,∣∣,cos∑∣∣ ̅ ∣⋅∣ ∣, ̅— углом, то для любых∑∑̅̅,∑Ортогональность, ортогональные системы, ортонормированные базисыОпределение. Векторы ̅ и из пространства Rn называются ортогональными, если̅,0.Определение.
Система ̅ , ̅ ,..., ̅ векторов из пространства Rn называетсяортогональной, если векторы системы попарно ортогональны.Теорема (о линейной независимости ортогональных систем). Ортогональная системавекторов линейно независима.Доказательство теоремы.Предположим противное: векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ попарно ортогональны, но они линейнозависимы. Тогда один из векторов линейно выражается через остальные. Например, пусть∑это первый вектор:,∑0(ясно, что речь идет о ненулевых∑∑векторах). Тогда ,,,0, для всех j = 2, 3, …, k, т.е.∑0. Полученное противоречие доказывает теорему.Определение. Система ̅ , ̅ ,..., ̅ векторов из пространства Rn называетсяортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичнуюдлину.Определение. Базис пространства Rn называется ортонормированным базисом, еслиобразующие его векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину.∑В пространстве Rn в естественном скалярном произведении ̅ ,естественныйбазис — ортонормированный базис.1Линейная алгебра и аналитическая геометрияКраткий конспект лекций.Лекции 9-10Общая теория линейных системСистемы линейных алгебраических уравнений.
Основные понятияРассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных, ,..., :...,1112...,2122.......mnОпределение. Решением системы называется совокупность n значений неизвестных, ,..., , при подстановке которых,,...,все уравнениясистемы обращаются в тождества.Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной;система, не имеющая ни одного решения — несовместной.Напомним, что система линейных уравнений может быть записана в матричной форме:̅,где — матрица системы, ,— правая часть, ̅ — искомое решение,...1112...2122,......
... ... ,... .......mnИногда удобно записывать систему линейных уравнений в другой матричной форме:...,где,,...,— столбцы матрицы системы....111111...2122Обозначим....... ... .........mnМатрица называется расширенной матрицей системы.Определение. Если правая часть системы равна нулю, то система называетсяоднородной.̅ (с той же матрицейОпределение. Для системы ̅однородная система ̅системы A) называется приведенной однородной системой.Свойства решений систем линейных алгебраических уравненийИспользуя свойства линейных операций с матрицами, нетрудно доказать, справедливостьследующих утверждений.̅ , то при любых действительных1. Если ̅ и — два решения однородной системы ̅̅.числах α и β вектор ̅— решение системы ̅2.
Если ̅ и — два решения неоднородной системы ̅, то вектор ̅— решение̅приведенной однородной системы однородной ̅.3. Если ̅ решение неоднородной системы ̅, а — решение однородной системы̅ , то вектор ̅̅— решение неоднородной системы ̅.2̅,Докажем, например, первое из этих свойств. Пусть ̅ и — два решения системы ̅̅и̅ и пусть α и β любые действительные числа. Тогда ⋅ ̅т. е. ̅̅̅̅̅̅ , т.е. вектор ̅̅— решение однородной системы.Остальные утверждения докажите аналогично самостоятельно.Необходимое и достаточное условие совместности системы линейныхалгебраических уравненийНа вопрос о совместности системы линейных алгебраических уравнений отвечаетследующая теорема.Теорема (теорема Кронекера-Капелли). Для того, чтобы неоднородная системалинейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобыранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы.Доказательство теоремы.совместна.
Докажем, что RgA RgAр .Необходимость. Система ̅Система ̅совместна — существуют такие числа , ,..., , что,...т.е. вектор-столбец правой части линейно выражается через столбцы,,...,матрицыA. Это означает, что при добавлении столбца число линейно независимых столбцов неувеличивается, т.е. RgA RgAр . Необходимость доказана.Достаточность. RgA RgAр. Докажем, что система ̅совместна.Пусть RgA RgAр. Это означает, что среди столбцов обеих матриц есть r линейнонезависимых столбцов, а все остальные линейно выражаются через эти r столбцов. Неумаляя общности, положим, что линейно независимы первые r столбцов,,...,.Тогда столбцы,,...,, — линейно зависимы и, следовательно, столбецлинейно выражается через,,...,:....Положим,,...,,0,0,...,0,тогда......0...т.е.
вектор ̅⋅0⋅0,⋅0⋅0— решение системы......⋅0⋅0,̅0...0т.е. система ̅совместна. Теорема доказана.Очевидно, что однородная система всегда совместна, поскольку у нее всегда естьтривиальное — нулевое решение.Совместность однородной системы также легко получить из теоремы Кронекера-Капелли:добавление столбца правых частей — нулевого столбца, не может увеличить рангматрицы.Минор матрицы. Теорема о базисном минореОпределение.
Минором матрицы порядка r называется определитель, составленный изэлементов матрицы, расположенных на пересечении любых r строк и r столбцовматрицы; обозначаем Mr.Пример.15039241083304742206510,553 1,7 510392108420650553минор M2 расположен на пересечении 2-й и 5-й строк с 3-м и 5-м столбцами, а минор M4— на пересечении 1-й, 3-й, 4-й и 5-й строк с 1-м, 2-м, 4-м и 5-м столбцами.Минор Mr, расположенный в первых r строках и в первых r столбцах матрицы ,называется угловым или главным минором матрицы.Справедлива следующая теорема.Теорема о базисном миноре.
Если ранг матрицы равен r, то у матрицы есть отличныйот нуля минор порядка r. Строки и столбцы этого минора линейно независимы, а всеостальные строки и столбцы матрицы через них линейно выражаются.Доказательство теоремы опускаем. Его можно найти в учебниках, приведенных в спискелитературы.Отличный от нуля минор r-го порядка матрицы, ранг которой равен r, называетсябазисным минором, столбцы матрицы, входящие в этот минор называются базиснымистолбцами, а строки, входящие в базисный минор — базисными строками.Т.е.
теорема о базисном миноре утверждает, что базисные строки и базисныестолбцы матрицы линейно независимы, а остальные строки и столбцы матрицылинейно выражаются через базисные.Следствия из теоремы о базисном минореЕсли ранг матрицы равен r, то все миноры матрицы более высокого порядка равнынулю.Действительно. Любой минор более высокого порядка содержит хотя бы один столбец(строку), который линейно выражается через столбцы базисного минора, и,следовательно, равен нулю, поскольку разлагается в линейную комбинациюопределителей с хотя бы двумя равными столбцами:1.1111∣ ............11...
∣0иA∣.rr11кС ∣з.....................rrrpjrjp∣........................rrrkjrjk∣ ∣...............rrrp...jrjp∣0.2.Ранг матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля миноров матрицы.Действительно, из теоремы о базисном миноре следует, размерность базисного минора —наибольшее число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.3.Строки и столбцы квадратной матрицы линейно независимы тогда и только тогда,когда ее определитель отличен от нуля.Действительно, определитель — минор наивысшего порядка. Если он отличен от нуля,то он и есть базисный минор матрицы, т.е. все его столбцы (строки) — базисные —линейно независимые.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
