Ответы на экзаменационные вопросы (1163657), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Ñóùåñòâóåò ìåòîä ëåâîéïðîãîíêè, ìåòîä âñòðå÷íûõ ïðîãîíîê è äðóãèå âàðèàíòû.Êîððåêòíîñòü ìåòîäà ïðîãîíêè ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òîáû ãäå-íèáóäü â çíàìåíàòåëü íîëüíå ïîïàë, à òàêæå ÷òîáû ïðè ðåàëèçàöèè îáðàòíîãî õîäà íå íàáðàòü âû÷èñëèòåëüíóþïîãðåøíîñòü.Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû óðàâíåíèé äåéñòâèòåëüíû èóäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì: c0 , cN , ai , bi ïðè i = 1, 2, ..., N − 1 îòëè÷íû îò íóëÿ è|ci | ≥ |ai | + |bi |, i = 1, 2, ..., N − 1,|c0 | ≥ |b0 |, |cN | ≥ |aN |,ïðè÷åì õîòÿ áû îäíî èç íåðàâåíñòâ ÿâëÿåòñÿ ñòðîãèì. Òîãäà äëÿ ôîðìóë ìåòîäà ïðîãîíêèñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà:ci − ai αi 6= 0, |αi | ≤ 1, i = 1, 2, ..., N,ãàðàíòèðóþùèå êîððåêòíîñòü è óñòîé÷èâîñòü ìåòîäà.Êîððåêòíîñòü ìåòîäà ïðîãîíêè íèêàêîãî îòíîøåíèÿ íå èìååò ê êîððåêòíîñòè çàäà÷èëèíåéíîé àëãåáðû ñ òðåõäèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé. Åñëè óñëîâèÿ Óòâåðæäåíèÿ íå âûïîëíåíû,âïîëíå ìîæåò áûòü, ÷òî çàäà÷à êîððåêòíà, ïðîñòî äëÿ åå ðåøåíèÿ íàäî âçÿòü äðóãîé ìåòîä.Èç Ëåêöèè 19:y 00 = f (x, y)y(a) = αy(b) = βx0pah(x ∈ [a, b])xNpbyn+1 − 2yn + yn−1= f (xn , yn )h2y0 = αyN = β103n=1,...,N −1Ñâåëè ê Aȳ = F̄ (ȳ)Çàäàäèì íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå è áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó ìåòîäîì ïðîñòîé èòåðàöèèȳ 0 , Aȳ k+1 = F̄ (ȳ (k) )Ñèñòåìà ðåøàåòñÿ ìåòîäîì ïðîãîíêè çà 8n + O(1) îïåðàöèé.Óñëîæíèì çàäà÷óy 00 = f (x, y, y 0 )y(a) = α(x ∈ [a, b])y(b) = β 0 g = f (x, y, g)y 0 = g(x)y 0 (x) := g(x), òîãäày(a) = α, y(b) = β 0y=f(x,y,g) 1 0y2 = y1y (a) = t − îòëè÷àåò îò èñõîäíîé çàäà÷è 1y2 (a) = αÝòî çàäà÷à Êîøè ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè ⇒ y1 (b, t), y1 (b, t)Îòêóäà íàéòè t ?Õîòèì, ÷òîáû y2 (b, t) = βÒ.å.

èìååì çàäà÷ó ϕ(t) = 0 (ϕ(t) = y2 (b, t) − βÅñëè íàøëè t1 , t2 : ϕ(t1 )ϕ(t2 ) < 0, òî ïðîáëåì íåòÌåòîä ñåêóùèõ:%%%%%%%•%%t2% t3 t1%A(x) (n × n), (Aij ) = aij (x)~~y 0 = A(x)~y (x) + f (x)~y (a) = ~y 0 - òàêóþ çàäà÷ó ðåøàòü óìååì! (ïðè óñëîâèè æåñòêîñòè)ppabB : (n − k) × n, 1 ≤ k ≤ nÏóñòü åñòü ìàòðèöûC (k × n)Ñôîðìóëèðóåì êðàåâóþ çàäà÷ó: 0 ȳ = A(x)ȳ(x) + f¯(x)B ȳ(a) = ᾱC ȳ(b) = β̄] ñíà÷àëà ñèñòåìó:104B ȳ = 0C ȳ = ᾱ(Ñ÷èòàåì rankB = n − k)b11. . . b1n ······ ···bn−k 1 .

. . bn−k n¯¯¯¯¯¯¯. . . 0 ¯¯ b∗. . . b∗1n11 äèàã. ¯.··· ··· −→  · · · . . · · · ¯ · · ·âèä¯ ∗∗0. . . 1 ¯ bn−k 1 . . . bn−k nα1...αn−k1¯¯¯¯¯¯α1∗...∗αn−kÅñëè ïîñëåäíèå êîìïîíåíòû ïîëîæèì = 0, òî ïîëó÷èì ÷àñòíîå∗ðåøåíèå: ȳ2 = (α1∗ , ..., αn−k, 0, ..., 0)Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå B ȳ = 0ȳ1 : y11y12...y1 n−k10... − ïîäñòàâëÿåì.ȳ2 : .....0Ïîëó÷èì ȳ÷ ,À èìåííîȳ1 , ..., ȳkðåøåíèÿÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿȳ1 = (−b∗1,n−k+1 , ..., −b∗n−k,n−k+1 , 1, 0, ..., 0)ȳk = (−b∗1,n , ..., −b∗n−k,n ,0, ..., 0, 1)] k ñèñòåì +1½ȳ 0 = A(x)ȳȳ(a) = ȳi½ 0ȳ = A(x)ȳ + f¯(x)ȳ(a) = ȳ÷kPȳ(x) = ȳk+1 (x) +di ȳi (x)(∗)kPi=1PA(x)ȳk+1 + f + di Aȳi (x) = A(ȳk+1 + di ȳi ) + f¯ − äåéñòâèòåëüíî ïîäõîäèòñì.

(∗). ×åìó ðàâíû di - ?C ȳ(b) = β̄C(ȳk+1 + d1 ȳ1 (b) + ... + dk ȳk (b)) = βd1 C ȳ1 (b) + d2 C ȳ2 (b) + ... + dk C ȳk (b) = β̄ − C ȳk+1 (b) − ñèñòåìà k × k(áåç ä-âà) - ìàòðèöà ñèñòåìû íåâûðîæäåíà.10541Ìåòîä Ðèòöà ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷èäëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿïîðÿäêàè åãî âàðèàöèîííî-ðàçíîñòíûé âàðèàíò.âòîðîãîÄëÿ ðàññìîòðåíèÿ ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ ïîòðåáóåòñÿ âàðèàöèîííàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è.ìîäåëüíàÿ çàäà÷à.Ly ≡ −(k(x)y 0 )0 + p(x)y = f (x), 0 < x < 1, y(0) = 0, y 0 (1) = 0,0 < k1 ≤ k(x) ≤ k2 , p(x) ≥ 0. êóðñå âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ áûëî èçó÷åíî, ÷òî ñôîðìóëèðîâàííàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿóðàâíåíèåì Ëàãðàíæà, îïðåäåëÿþùèì òî÷êó ìèíèìóìà êâàäðàòè÷íîãî ôóíêöèîíàëàZ1{k(x)[y 0 (x)]2 + p(x)y 2 (x) − 2f (x)y(x)}dx.I(y) =0Åñëè èñêàòü ìèíèìóì òàêîãî ôóíêöèîíàëà íà ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèéZ1[(y 0 )2 + y 2 ]dx < ∞, y(0) = 0},H = {y(x) :0òî ïîëó÷èì â ÷èñòîì âèäå îïðåäåëåíèå îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ, êàê â äèôôóðàõ â ÷.ï.

Òàì æåâ ÷.ï. õîðîøî èçó÷åíû âîïðîñû ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ýòîãî ðåøåíèÿ, ïðè÷åì êàêðàç ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà Ðèòöà.Ìåòîä Ðèòöà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñòðîèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðèáëèæåíèé êîáîáùåííîìó ðåøåíèþ, ïîòîì n → ∞. Ñòðîèìy n (x) =nXcq ϕq (x),q=1ãäå {ϕq (x)}nq=1 − ôèêñèðîâàííûé íàáîð ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé èç H, cq −êîýôôèöèåíòû, ïîäëåæàùèå îïðåäåëåíèþ. Ïîäñòàâëÿåì â ôóíêöèîíàë, ïîëó÷àåìI(y n ) = (ïîäñòàâëÿåì...ïîäñòàâëÿåì) = (Ac, c) − 2(b, c).Çäåñü A = AT > 0− ìàòðèöà Ãðàìà, b - âåêòîð ïðîåêöèé ôóíêöèè íà áàçèñíûå ôóíêöèè ϕq .Ïîëó÷àåì çàäà÷ó èç ëèíåéíîé àëãåáðû(Ac, c) − 2(b, c) → min ⇔ Ac = b.cÐåøåíèå òàêîé çàäà÷è ñ ñèììåòðè÷íîé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöåé ìîæíî íàéòèêàêèì-íèáóäü ìåòîäîì èç ðàçäåëà ïðî àëãåáðó.106Ïîðÿäêà ðàäè íàäî âûïèñàòü â áîëåå ÿâíîì âèäå ýëåìåíòû ìàòðèöû.R1a(u, v) = [k(x)u0 (x)v 0 (x) + p(x)u(x)v(x)]dx,0apq = a(ϕp , ϕq ), bq = (f, ϕq ) =R1f ϕq dx.0Ê îñíîâàì ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ îòíîñèòñÿ òî, ÷òî áàçèñíûå ôóíêöèè ìûâûáèðàåì ñàìè.

Ìîæíî èõ âûáðàòü òàê, ÷òîáû è ìàòðèöó Ãðàìà áûëî ëåãêî âû÷èñëèòü,è ïîëó÷àþùóþñÿ çàäà÷ó èç àëãåáðû ðåøèòü ïîëåã÷å, è ïîãðåøíîñòåé íå íàáðàòü ìíîãî, èïðî ñõîäèìîñòü ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé äóìàòü íå íàäî - îíà ñëåäóåò èç îáùåé òåîðèè ìåòîäàêîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ, öåíòðàëüíûì ìîìåíòîì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèîííàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà. Ïóñòü y - òî÷êà ìèíèìóìà I(y) íà H, S n - çàìêíóòîå ïîäïðîñòðàíñòâî H .

Òîãäà1. ôóíêöèÿ y n ∈ S n , íà êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþa(y n , z n ) = (f, z n ) ∀z n ∈ S n , ÷àñòíîñòè, åñëè S n ≡ H, òî a(y, z) = (f, z) ∀z ∈ H;2. ïî îòíîøåíèþ ê ýíåðãåòè÷åñêîìó ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ (a(u, v)) y n åñòüïðîåêöèÿ y íà S n , èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, îøèáêà y − y n îðòîãîíàëüíà S n :a(y − y n , z) = 0 ∀z n ∈ S n ;3. ìèíèìóì I(z n ) è ìèíèìóì a(y − z n , y − z n ), ãäå z n ïðîáåãàåò ïîäïðîñòðàíñòâî S n ,äîñòèãàþòñÿ íà îäíî è òîé æå ôóíêöèè y n , òàê ÷òîa(y − y n , y − y n ) = mina(y − z n , y − z n ).nnz ∈SÒåîðåìà ñïðàâåäëèâà äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ôóíêöèîíàë êâàäðàòè÷íûé è êâàäðàòè÷íàÿôîðìà ñèììåòðè÷íàÿ è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ, ò.å.

ëåã÷å âñåãî áðàòü I(y), a(u, v), èïðîñòðàíñòâî H .Ïðèìåíåíèå ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ äèôôóðîâ íå îáõîäèòñÿáåç äèñêðåòèçàöèè îáëàñòè, â êîòîðîé ñòàâèòñÿ çàäà÷à. Ïðîñòåéøèé ñëó÷àé - çàäà÷à íàîòðåçêå [0, 1], êàê ìîäåëüíàÿ çàäà÷à èç ïðåäûäóùèõ âîïðîñîâ. Ïðîñòåéøàÿ äèñêðåòèçàöèÿ- ðàâíîìåðíàÿ ñåòêà íà îòðåçêå, ò.å. ðàçáèåíèå íà îòðåçêè [xq−1 , xq ], êîòîðûå è áóäóòêîíå÷íûìè ýëåìåíòàìè.Áàçèñíûõ ôóíêöèé ìîæíî ïîñòðîèòü ìíîãî ðàçíûõ, íî íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûìèÿâëÿþòñÿ òàê íàçûâàåìûå ëîêàëüíûå - îòëè÷íûå îò íóëÿ â íåáîëüøîì êîëè÷åñòâåòî÷åê ñåòêè, ò.å.

íà íåáîëüøîì êîëè÷åñòâå ñîñåäíèõ êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ. Ñðåäè òàêèõïðîñòåéøèìè ÿâëÿþòñÿ áàçèñíûå ôóíêöèè, ïîñòðîåííûå èç ìíîãî÷ëåíîâ, òî÷íåå êóñî÷íîëèíåéíûå è êóñî÷íî-êâàäðàòè÷íûå áàçèñíûå ôóíêöèè.Êóñî÷íî-ëèíåéíûå áàçèñíûå ôóíêöèè ëåã÷å âñåãî íàðèñîâàòü, è âñå ÿñíî. Áàçèñíàÿôóíêöèÿ ϕq ðàâíà íóëþ íà [0, xq−1 ], çàòåì ëèíåéíî âîçðàñòàåò äî 1 íà [xq−1 , xq ], ïîòîìëèíåéíî óáûâàåò äî íóëÿ íà [xq , xq+1 ], äàëåå îïÿòü ðàâíà íóëþ.

Íà êðàéíèõ êîíå÷íûõýëåìåíòàõ áàçèñíûå ôóíêöèè "îäíîñòîðîííèå".107·T ϕ (x)· T q· T·T·T·T·T·T·T·T·Txq−1xq· ϕ (x)· n·········xq+1 xn−1xnÏî íàóêå ñíà÷àëà ñòðîÿòñÿ ôóíêöèè ôîðìû Φi (x), i = 1, 2, ..., k : ëîêàëüíûå ìíîãî÷ëåíûñòåïåíè k − 1, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì Φi (xj ) = δij , ãäå xj , j = 1, 2, ..., k− íàáîð óçëîâýëåìåíòà (áèøü îòðåçêà). Çàòåì èç ôóíêöèé ôîðì ñîáèðàþòñÿ îïðåäåëåííûå íà âñåé îáëàñòèáàçèñíûå (ïðîáíûå) ôóíêöèè ϕq (x), q = 1, 2, ..., n ôîðìàëüíûì îáúåäèíåíèåì âñåõôóíêöèé ôîðì, ïðèíèìàþùèõ â äàííîì óçëå çíà÷åíèå 1.x1−x, Φ2 (x) = , è ñîîòâåòñòâåííîÄëÿ êóñî÷íî-ëèíåéíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé Φ1 (x) =hh 0, x1 − x , x ≤ x ≤ x ;x0 ≤ x ≤ xn−1 ;01x − xn−1ϕn =ϕ0 =x1 − x0, xn−1 ≤ x ≤ xn ; 0,x1 ≤ x ≤ xn ;xn − xn−1 x−xq−1, xq−1 ≤ x ≤ xq ; xq − xq−1xq+1 − xäëÿ q = 1, ..., n − 1ϕq =, xq ≤ x ≤ xq+1 ;x−xq+1q0,ïðè îñòàëüíûõ x;Ïðè âû÷èñëåíèè ìàòðèöû A äëÿ ìîäåëüíîé çàäà÷èZ1 ·aij =0¸dϕi dϕj+ p(x)ϕi ϕj dxk(x)dx dxèìååòñÿ äâà ñëàãàåìûõ.

Ïåðâîå ñëàãàåìîå - ìàòðèöà æåñòêîñòè, âòîðîå - ìàòðèöà ìàññ. ñëó÷àå ïåðåìåííûõ êîýôôèöèåíòîâ äëÿ âû÷èñëåíèé ïîòðåáóþòñÿ êàêèå-íèáóäüôîðìóëû ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ. Åñëè k(x), p(x) ïîñòîÿííû, âñå èíòåãðàëûâû÷èñëÿþòñÿ â ÿâíîì âèäå. Íåìíîãî ïîâîçèâøèñü ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì ïðîñòåéøèõèíòåãðàëîâ (ãîâîðÿò) ìîæíî ïîëó÷èòüc0 = 0,bici+1 + 4ci + ci−1ci+1 − 2ci + ci−1= ,+p−k2h6h2cn + cn−1cn − cn−1= bn ,+ phk6hÇíà÷åíèÿ ïðàâîé ÷àñòè ïðèäåòñÿ âû÷èñëÿòü ïî êâàäðàòóðíûì ôîðìóëàì. Ìîæíî âçÿòüïðîñòåéøèå - âûíåñòè f (x) èç ïîä èíòåãðàëà:Z xi+1Z 1hx − (1 − h)dx ≈ f (xn ) .bi =f (x)ϕi (x)dx ≈ f (xi )h;bn =f (x)2hxi−11−h108Äàëåå ðå÷ü èäåò îá îöåíêå ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè ìîäåëüíîé çàäà÷è ìåòîäîìêîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ ïðè âûáîðå â ìåòîäå Ðèòöà ëèíåéíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé.Îäíàêî õèòðîñòü â òîì, ÷òî â äåéñòâèòåëüíîñòè îöåíèâàåòñÿ ïîãðåøíîñòü ñõîäèìîñòè,à íå àïïðîêñèìàöèè, ò.å.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)