Ответы на экзаменационные вопросы (1163657), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ñðàçó îöåíèâàåòñÿ ïîðÿäîê òî÷íîñòè ñõåìû (âàðèàöèîííîðàçíîñòíîé).Ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ â âèäå âàðèàöèîííî-ðàçíîñòíûõ ñõåì ñèëüíåå ñâÿçàí ñîñâîéñòâàìè ðåøåíèÿ èñõîäíîé çàäà÷è, ÷åì ìåòîä êîíå÷íî-ðàçíîñòíûõ ñõåì, ãäå ïîïðîñòóâñÿêèå ïðîèçâîäíûå çàìåíÿþòñÿ ðàçíîñòíûìè îòíîøåíèÿìè. Êàêîé èç ïîäõîäîâ ëó÷øå äåëî âêóñà. Äîêàçàòü, ÷òî ÌÊÝ ëó÷øå ðàçíîñòíûõ ñõåì èëè íàîáîðîò, íèêîìó íèêîãäà íåóäàñòñÿ.Äëÿ ìîäåëüíîé çàäà÷è ðàññìàòðèâàåòñÿ a(y − y n , y − y n ), ãäå y, y n - ðåøåíèÿ èñõîäíîéçàäà÷è è âàðèàöèîííî-ðàçíîñòíîé ñõåìû. Èç ïðîåêöèîííîé òåîðåìû áåðåòñÿ ïîñëåäíååñâîéñòâîa(y − y n , y − y n ) ≤ a(y − z n , y − z n ) ∀z n ∈ S n .Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåòñÿ ÷òî òî÷íîñòü ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ îïðåäåëÿåòñÿòåì, íàñêîëüêî ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è âîîáùå ìîæåò áûòü ïðèáëèæåíî âûáðàííûìèáàçèñíûìè ôóíêöèÿìè íà âûáðàííîì íàáîðå êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ, ò.å.
âûáðàííîéäèñêðåòèçàöèè. Èíîãäà äàæå ïîä êîíå÷íûì ýëåìåíòîì ïîäðàçóìåâàþò ñðàçó òàíäåì,ñîñòîÿùèé èç îòðåçêà è áàçèñíîé ôóíêöèè íà ýòîì îòðåçêå.Ïóñòü yI ñàìîå ÷òî íè íà åñòü ëó÷øåå ïðèáëèæåíèå ðåøåíèÿ èñõîäíîé çàäà÷è êóñî÷íîëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè. Ïî ïðîåêöèîííîé òåîðåìå y n â âûáðàííîé íîðìå áóäåò ïðèáëèæàòüýòî èñõîäíîå ðåøåíèå íå õóæå.
Åñëè âçÿòü îöåíêó ïîãðåøíîñòè èíòåðïîëÿöèîííîé ôîðìóëûËàãðàíæà íà ëþáîì èç ïîäîòðåçêîâ, òî ñðàçó ïîëó÷èìky − yI k ≤ Ch2 ky 00 k,ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ îäèí ðàç ðàçíîñòü, ñòîÿùóþ ïîä çíàêîì íîðìû è îïÿòü âçÿâ íîðìóìîæíî ïîëó÷èòüky 0 − yI0 k ≤ Chky 00 k.Ýòè îöåíêè äîëæíû ïðèâåñòè ê îöåíêå ïîãðåøíîñòè ìåòîäà Ðèòöà âòîðîãî ïîðÿäêà.Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî âûáèðàÿ áîëåå ãëàäêèå áàçèñíûå ôóíêöèè ìîæíî äîáèòüñÿ êàêîéóãîäíî òî÷íîñòè âàðèàöèîííî-ðàçíîñòíîé ñõåìû.
Îäíàêî, íåîáõîäèìî âû÷èñëÿòü ïðàâóþ÷àñòü çàäà÷è ïî íåêîòîðûì ïðèáëèæåííûì êâàäðàòóðíûì ôîðìóëàì, äà è ïåðåìåííûåêîýôôèöèåíòû ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû ñ ïîãðåøíîñòÿìè. Òàê ÷òî åñòü ìåòîä Ðèòöà âôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ, è ó íåãî îäíà òî÷íîñòü, è åñòü ÷èñëåííûé àíàëîã ìåòîäàÐèòöà ñ ïðèáëèæåííûìè âû÷èñëåíèÿìè èíòåãðàëîâ, ò.å. ñ ïîãðåøíîñòÿìè èíòåðïîëÿöèè - óíåãî äðóãàÿ òî÷íîñòü.Ñì. òàêæå Ëåêöèè 19,20.10942Ìåòîä Áóáíîâà-Ãàëåðêèíàðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷èäëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿïîðÿäêàè åãî âàðèàöèîííî-ðàçíîñòíûé âàðèàíò.âòîðîãîÈç Ëåêöèè 20: áîëüøå â èñõîäíîì êîíñïåêòå íè÷åãî íå áûëî. Íàäî êíèãó ñìîòðåòü, òàì âñåäîñòóïíî è ïîíÿòíî.Çàäà÷à Áóáíîâà-ÃàëåðêèíàÁîëåå îáùàÿ ïîñòàíîâêà â îòëè÷èå îò ìåòîäà ÐèòöàyN (x) =NP−1j=0cj ϕj (x)ky − yN kL2 =O(h2 ),ãäå kukL2 =ky − yN kW21 = O(h), ãäå kukW21 =qRb 2u dxaqRb 2a (u +(u0 )2 )dx½NPLy = 0, ãäå Ly = −(ky 0 )0 + py − f, yN = cj ϕj (x)y(a) = y(b) = 01Âîçüìåì åùå îäèí íàáîð ë.í.ô.
ψ1 , ..., ψN ∈ W21RbÏîòðåáóåì (LyN , ψk ) = 0, k = 1, ..., N , ãäå (f, g) = a f (x)g(x)dx ⇒ îïðåäåëÿåì êîýô-òûðàçë-ÿ.Ïîòðåáóåì k(x) ≥ k0 > 0, p ≥ 0ZbaZbaÏîäñòàâèì yN =NPi=1Z0 0(−(kyN) ϕk (x))dx=0−(kyN(x))ϕk (x)|baq0+ab0kyNϕ0k dxci ϕi (x)N ·ZXi=10 0(−(kyN) ϕk (x) + pyN ϕk (x) − f (x)ϕk (x))dx = 0ab¸(k(x)ϕ0i (x)ϕ0k (x))dxZ=abf (x)ϕk (x)dx, k = 1, ..., NÓ ìåòîäà Áóáíîâà-Ãàëåðêèíà L - îáùåãî âèäà.¶µ∂∂u∂u∂u(a(x, t)u(x)) = f (x, t), − îáîáùåíèå+= f (x, t),+a∂x∂t∂x∂t110t6îáëàñòü çàäà÷è-xÓðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè½∂2u∂u= a2 2 = f (x, t)∂x∂t−∆u = f (x, y), (x, y) ∈ Ωu|∂Ω = ϕ(x, y)2P∂Îáîáùåíèåi,j=1 ∂xi− çàäà÷à Äèðèõëå äëÿ îïåð-ðà Ëàïëàñඵ∂u= f (x1 , x2 ).kij∂xjÎáùèå îáîçíà÷åíèÿ:∂Ω =ΩsSi=1Γi.
äèôô.îïåð-ðÇàäà÷à: Lu = f, x ∈ Ωli u = ϕi , x ∈ ΓiτhΩh ⊂ Ω̄ &% ìí-âà òî÷åêΓi ∼ ΓhÌí-âî ô-èé, îïðåäåë. â Ωh - Uh .Lh uh = fhx ∈ Ωhlih = ϕhi[u]h - ñåò. ô-ÿ, ñîâï. ñ ñàìî́é íåïð. ô-åé â óçëàõ ñåòêè.k[u]h kUh → kukU - óñë-å ñîãëàñîâàííîñòè íîðì.h→011143Ïðîñòåéøèå ðàçíîñòíûå ñõåìûäëÿ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè.Îïðåäåëåíèÿ àïïðîêñèìàöèè,êîððåêòíîñòè, ñõîäèìîñòè.Òåîðåìà Ôèëèïïîâà î ñâÿçè àïïðîêñèìàöèè,êîððåêòíîñòè è ñõîäèìîñòè.Ëþáóþ çàäà÷ó, êîòîðóþ ìîæíî ðåøàòü ïðè ïîìîùè ðàçíîñòíûõ ñõåì, è ñàìó ðàçíîñòíóþñõåìó ìîæíî çàïèñàòü â îáùåì âèäåÈñõîäíàÿ çàäà÷àÐàçíîñòíàÿ ñõåìàLu = f,u∈Uf ∈FU, FLh uh = fh ,uh ∈ Uhf ∈ Fh hUh , F hL : U → F;íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ;çàäàííàÿ ôóíêöèÿ;íîðìèðîâàííûå;Lh : Uh → Fh ;íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ;çàäàííàÿ ôóíêöèÿ;íîðìèðîâàííûå.Ïîñêîëüêó íàèáîëåå ÷àñòî ðàçíîñòíûå ñõåìû èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ äëÿóðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, â êîòîðûõ ãðàíè÷íûå, íà÷àëüíûå è åùå êàêèå-íèáóäüóðàâíåíèÿ èìåþò ðàçíûé òèï, â èñõîäíîé çàäà÷å è ðàçíîñòíîé ñõåìå âûäåëÿþòñÿ â îòäåëüíûåóðàâíåíèÿ êðàåâûå óñëîâèÿ:Èñõîäíàÿ çàäà÷àÐàçíîñòíàÿ ñõåìàLu = f,lu= ϕ,u∈Uf∈FU, F, ΦLh uh = fh ,l h uh = ϕh ,uh ∈ Uhf∈ Fh hUh , Fh , ΦhL : U → F;l : U → Φ;íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ;çàäàííàÿ ôóíêöèÿ;íîðìèðîâàííûå;Lh : Uh → Fh ;lh : Uh → Φh ;íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ;çàäàííàÿ ôóíêöèÿ;íîðìèðîâàííûå.Ââåäåíèå äîïîëíèòåëüíîãî óðàâíåíèÿ âåäåò ê óòÿæåëåíèþ îïðåäåëåíèé àïïðîêñèìàöèè,óñòîé÷èâîñòè...Àïïðîêñèìàöèÿ.
Ãîâîðÿò íà âñåõ óãëàõ, ÷òî ðàçíîñòíàÿ ñõåìà àïïðîêñèìèðóåòäèôôåðåíöèàëüíóþ çàäà÷ó, åñëè ïðè ëþáûõ ãëàäêèõ ôóíêöèÿõ u, f, ϕ ñóùåñòâóþò òàêèåïîñòîÿííûå h0 , c1 , p1 , c2 , p2 , ÷òî äëÿ âñåõ h ≤ h0 âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâàkLh (u)h − (Lu)h kFh + k(f )h − fh kFh ≤ c1 hp1 ,klh (u)h − (lu)h kΦh + k(ϕ)h − ϕh kΦh ≤ c2 hp2 ,ãäå c1 , p1 , c2 , p2 íå çàâèñÿò îò h.Ïðè ðàçäà÷å îïðåäåëåíèé àïïðîêñèìàöèè, óñòîé÷èâîñòè è äð. íåîáõîäèìî âñÿêèéðàç ïîìèíàòü ïðî óñëîâèå ñîãëàñîâàíèÿ íîðì: â óæå ðîçäàííîì îïðåäåëåíèè åñòüîáîçíà÷åíèå (.)h , êîòîðîå îáîçíà÷àåò îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ â çàâèñèìîñòè îò êîíòåêñòàôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâ F, U, Φ â Fh , Uh , Φh .
Íîðìû â ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ äîëæíû áûòü112ñîãëàñîâàííûìè: äëÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêèõ ôóíêöèé v ∈ Y âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèålim k(v)h kYh = kvkY .h→0Åñëè íå óïîìèíàòü ïðî óñëîâèÿ ñîãëàñîâàíèÿ íîðì, íå ïðåäïîëàãàòü ñóùåñòâîâàíèå èåäèíñòâåííîñòü ðåøåíèé èñõîäíîé çàäà÷è è ðàçíîñòíîé ñõåìû è ìíîãîå äðóãîå (ïðî ÷òîîáû÷íî íèêòî è íå óïîìèíàåò), òî âñå îïðåäåëåíèÿ ñòàíîâÿòñÿ îñíîâíûìè ïîíÿòèÿìèòåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì , è æèçíü èäåò ïî ïîíÿòèÿì.Óñòîé÷èâîñòü=Êîððåêòíîñòü. Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà óñòîé÷èâà, åñëè ðåøåíèå ðàçíîñòíûõóðàâíåíèé ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è íåïðåðûâíî çàâèñèò îò âõîäíûõ äàííûõ fh , ϕh , ïðè÷åìýòà çàâèñèìîñòü ðàâíîìåðíà îòíîñèòåëüíî âåëè÷èíû øàãà ñåòêè.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðèäîñòàòî÷íî ìàëûõ øàãàõ ñåòêè 0 < h ≤ h0 äëÿ êàæäîãî ε > 0 íàéäåòñÿ δ(ε), íå çàâèñÿùàÿîò h,, ÷òî(1)(2)(1)(2)(1)(2)kuh − uh kUh ≤ ε, åñëè kfh − fh kFh ≤ δ è kϕh − ϕh kΦh ≤ δ.Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû åñòü åå âíóòðåííåå äåëî,èñõîäíàÿ çàäà÷à íèêàê â ýòè äåëà íå âìåøèâàåòñÿ, à ìîæåò áûòü âîîáùå íèêàêîé òàêîéèñõîäíîé çàäà÷è äëÿ êàêîé-òî êîíêðåòíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû è íåò.Ñõîäèìîñòü.
Ðåøåíèå uh ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ u äèôôåðåíöèàëüíîé çàäà÷è, åñëèñóùåñòâóþò òàêèå ïîñòîÿííûå h0 , c, p, ÷òî äëÿ âñåõ h ≤ h0 âûïîëíåíî íåðàâåíñòâîk(u)h − uh kUh ≤ chp ,ãäå c, p íå çàâèñÿò îò h. ×èñëî p íàçûâàþò ïîðÿäêîì ñõîäèìîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû, ïðè ýòîìãîâîðÿò, ÷òî ðàçíîñòíîå ðåøåíèå uh èìååò ïîðÿäîê òî÷íîñòè p.Äëÿ ëèíåéíûõ ñõåì îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè èìååò âèä(1)(2)(1)(2)(1)(2)kuh − uh kUh ≤ c1 kfh − fh kFh + c2 kϕh − ϕh kΦh ,ãäå c1 , c2 - ïîñòîÿííûå, íå çàâèñÿùèå îò h.Åñòü î÷åíü óäîáíàÿ Òåîðåìà Ôèëèïïîâà, êîòîðàÿ â ïðîñòîðå÷èè çâó÷èò òàê: èçàïïðîêñèìàöèè è óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû ñëåäóåò åå ñõîäèìîñòü, ïîðÿäêèñõîäèìîñòè è àïïðîêñèìàöèè ñîâïàäàþò.Èññëåäîâàíèå ðàçíîñòíîé ñõåìû âêëþ÷àåò• âûÿñíåíèå ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè• èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè• èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòèÝòè òåìû ðàñïîëîæåíû â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ èõ ñëîæíîñòè. Íàèáîëåå ëåãêî âûÿñíèòüïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè - ïðè ïîìîùè ôîðìóëû Òåéëîðà, êàê ïðàâèëî, â ïðîñòåéøèõ íîðìàõ.Èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû âûïîëíÿåòñÿ, êàê ïðàâèëî, ñ èñïîëüçîâàíèåìñïåöèàëüíî ðàçðàáîòàííûõ äëÿ ýòîãî ñïîñîáîâ: ñïåêòðàëüíûå ïðèçíàêè, íåîáõîäèìûåóñëîâèÿ, ýíåðãåòè÷åñêèå ñïîñîáû, ïðèíöèï ìàêñèìóìà è äð.
Èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòè ýòî íàèáîëåå òðóäíàÿ çàäà÷à. Äëÿ åå ðåøåíèÿ óäîáíà òåîðåìà Ôèëèïïîâà. Îäíàêî, ñëåäóåòèìåòü â âèäó, ÷òî àïïðîêñèìàöèÿ ìîæåò áûòü óñòàíîâëåíà â êàêîé-íèáóäü îäíîé íîðìå,113óñòîé÷èâîñòü - â äðóãîé. Ñäåëàòü ïðàâèëüíûé âûâîä - â êàêîé íîðìå áóäåò ñõîäèìîñòü ïðèýòîì áåç îøèáîê áûâàåò î÷åíü òðóäíî. Ëåãêî ïîïàñòü...Òåîðåìà (î ñâÿçè àïïðîêñèìàöèè, óñòîé÷èâîñòè è ñõîäèìîñòè).Ïóñòü âûïîëíåíûñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1. îïåðàòîðû L, l è Lh , lh - ëèíåéíûå,2. ðåøåíèå u äèôôåðåíöèàëüíîé (èñõîäíîé) çàäà÷è ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî,3. ðàçíîñòíàÿ ñõåìà àïïðîêñèìèðóåò äèôôåðåíöèàëüíûþ çàäà÷ó ñ ïîðÿäêîì p,4. ðàçíîñòíàÿ ñõåìà óñòîé÷èâà.Òîãäà ðåøåíèå ðàçíîñòíîé ñõåìû uh ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ äèôôåðåíöèàëüíîé çàäà÷è ñïîðÿäêîì íå íèæå p.Ñóùåñòâóåò îáîáùåíèå òåîðåìû Ôèëèïïîâà íà ñëó÷àé íåëèíåéíûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì,êîòîðûå â ðàìêàõ äàííîãî êóðñà íå ðàññìàòðèâàþòñÿ.Èç Ëåêöèè 20:Àïïðîêñèìàöèÿ, óñòîé÷èâîñòü, ñõîäèìîñòü.Îïðåäåëåíèå.
Ðàçíîñòíàÿ çàäà÷à àïïðîêñèìèðóåò äèôô. çàäà÷ó, åñëèkLh [u]h − fh kUh +sXklih [u]h − ϕhi kΦh → 0ii=1h→0Îïðåäåëåíèå. Ðåøåíèå ðàçí. çàä. ,̈_ ñõîäèòñÿ ê ðåø-þ äèôô. çàäà÷è, åñëèk[u]h − uh kUh → 0h→0Îïðåäåëåíèå. Óñòîé÷èâîñòü:kuh kUh ≤ C(kfh kFh +Xkϕhi kΦh )iÀïïð.+Óñò-òü ⇒ Ñõ-òü.Êîíñïåêòû ëåêöèé íå ðåäàêòèðîâàëèñü! Âíå âñÿêîãî ñîìíåíèÿ íà ëåêöèè ïðîçâó÷àëèâñå íåîáõîäèìûå ñëîâà, êîòîðûå ïðåâðàùàþò â êîððåêòíûå îïðåäåëåíèÿ òî, ÷òî íàïèñàíîâûøå. Åñëè ïðè îòâåòå íà ýêçàìåíå äàòü òàêèå îïðåäåëåíèÿ, êàê â ýòîì êîíñïåêòå - ýòîãàðàíòèðîâàííûé "íåóä"!!!!Ïðîñòåéøèå ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ðàçáðîñàíûïî âñåì ïîñëåäóþùèì âîïðîñàì.
Ïðèìåíåíèå ââåäåííûõ ïîíÿòèé ê íèì àíàëîãè÷íîïðèâåäåííîìó ïðèìåðó.Ïðèìåð: ïðîñòåéøàÿ êðàåâàÿ çàäà÷ äëÿ ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà−y 00 + p(x)y = f (x), 0 < x < 1,y(0) = 0, y 0 (1) = 0.114Ôóíêöèè p(x) ≥ 0, f (x) çàäàíû.Áåðåì ïðîñòåéøóþ ðàçíîñòíóþ ñõåìó íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå y − i+1 − 2yi + yi−1 + pi yi = fi , 1 ≤ i ≤ N − 1;h2 y = 0, yN − yN −1 = 0,N h = 1.0hÈññëåäîâàíèå àïïðîêñèìàöèè - ïîäñòàâëÿåì â ðàçíîñòíóþ ñõåìó ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è(âìåñòî yi ïîäñòàâëÿåì y(xi ) = y(ih)) ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ ïðàâîé ÷àñòè fi = f (xi ) èóðàâíåíèé èñõîäíîé çàäà÷è ïîëó÷àåì, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå àïïðîêñèìèðóåòñÿñ ïîðÿäêîì O(h2 ), ëåâîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå ñ ïîðÿäêîì O(h∞ ), ïðàâîå ãðàíè÷íîå óñëîâèåO(h), ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
