Ответы на экзаменационные вопросы (1163657), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Ñëåäîâàòåëüíî ãëîáàëüíàÿ ïîãðåøíîñòüËîêàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü en =12èìååò 2-îé ïîðÿäîê.m = 2 (fn = f (xn , yn ))yn+1 = yn +h(23fn − 16fn−1 + 5fn−2 )12! Óíèâåðñàëüíàÿ ñèñòåìà íà bi äëÿ ïðîèçâîëüíîãî m.Èç Ëåêöèè 18:yn+1 = yn + hmX·bi f (xn−i yn−i ) ,i=−ss=0 − ÿâíûé1 − íåÿâíûéìåòîäûÐàññìîòðèì ñëó÷àé s = 1 :m = −1y(xn+1 )−y(xn )−h f (xn+1 , y(xn+1 )) = y(xn )+hy 0 (xn )+...−y(xn )−hb−1 (y 0 (xn )+hy 0 (xn )+...) =}{z|= h(1− b−1 )y 0 (xn )⇓b−1 =1+y 0 (xn+1 )2h y 00 (xn )( 12− b−1 ) + O(h3 )Ëîê. îøèáêà O(h2 ), à ãëîáàëüíàÿ O(h).(Ýòî íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà) yn+1 = yn + f (xn+1 , yn+1 ).m=0yn+1 = yn + h(b−1 y 0 (xn + h) − hb0 y 0 (xn )) = ...

= h(1 − b−1 − b0 )y 0 (xn ) + h2 ( 12 − b−1 )y 00 (xn ) +h3h3+ y 000 (xn ) − b−1 y 00 (xn ) + O(h4 )26⇓(1 − b−1 − b0 = 01b−1 =2⇒ Íåÿâíûé ìåòîä òðàïåöèé yn+1 = yn +ëîê.îø. e1 = O(h3 )ãë.îø.En = O(h2 )(Áåç âûâîäà)hyn+1 = yn + (5fn+1 + 8fn − fn−1 ) , En = O(h3 )12m=2hyn+1 = yn + (9fn+1 + 19fn − 5fn−1 − fn−2 )24m=197h(f (xn , yn ) + f (xn+1 , yn+1 ))2Îáùèé ñëó÷àé: mXbi = 1 i=1mP1bi (−1)j =j+1 i=−1, j = 1, . .

. , m + 1j = 1, . . . , m äëÿ s = 0Äëÿ ðåøåíèÿ íåÿâíîé çàäà÷è ïðèìåíÿþò èòåðàö. ìåòîä. Íàïðèìåð, ïðè m = 1h(k)(5f (xn+1 , yn+1 ) + 8fn − fn−1 ),12(k+1)yn+1 = yn +ãäå(0)yn+1 = yn +h(23fn − 16fn−1 + 5fn−2 ) (ÿâíûé ìåòîä Àäàìñà ïðè m = 2)12Ïðèìåðy 0 = λyy= yn + hλyn+1 - ðàáîòàåò õîðîøî (ðàññì. ðàíåå)λ < 0, /, |λ| À 1 n+1Îáùèé ñë.: æåñòêàÿ çàäà÷ày 0 = f (x, y)∂f| |À1∂y∂f<0∂yyn+1 = yn + hf (xn+1 , yn+1 )(k+1)(k)yn+1 = yn + hf (xn+1 , yn+1 )½.⇒ óñëîâèå h <2|λ|1 M > 0, M À 1y 0 = f (x, y), ïðè÷åì h <y(0) = 1M (óñë-å íà æåñòêîñòü)Âîïðîñ: íà îòðåçîê êàêîé äëèíû X ìîæåì óéòè, ÷òîáû óñë-å æåñòêîñòè âûïîëíÿëîñü?N1X X...?èëè X <<Åñëè ñäåëàëè N øàãîâ, òî (h = )MMN NÏóñòü øàãè áóäóò ðàçíûìè:â çàäà÷å y 0 = λy(yn = (1 + hλ)n )yk+1 = yk + hk λyk ⇒ yn =n−1Yk=0|(1 + hk λ) y0{z≤1N2M(Ýòî ìåòîä Ëåáåäåâà îí â êóðñ ýêçàìåíà íå âõîäèò!)Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå X <98}39Îöåíêà ïîãðåøíîñòè ïðîñòåéøåãî ìåòîäàðåøåíèÿêðàåâîé çàäà÷è äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãîóðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà.Èç Ëåêöèè 18: (ñî âñåìè òåìè ñîêðàùåíèÿìè, êîòîðûå áûëè â èñõîäíîì êîíñïåêòå)Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ëèíåéíóþ çàäà÷ó 00y − p(x)y(x) = f (x), p(x) ≥ 0x ∈ [0, X]y(0) = ay(X) = by(xn+1 ) − 2y(xn ) + y(xn−1 )−p(xn )y(xn ) = f (xn ) + O(h2 )2h}{z |- çàìåíèëè y 00 íà ðàçíîñòí.

îòíîøåíèån = 1, ..., N − 1y(0)=ay(X) = b yn+1 − 2yn + yn−1− pn yn = fnh2y = a, yN = b 0n = 1, ..., N − 1y1.~ =~ =F] Y .. , AYyN −1a12(− 2 − p1 )y1 + 2 y2 = f1 − 2 = F1hhh121y−p)y+y+(−3 = f22 21h2h2h2···n=1:n=2:Ñëåäîâàòåëüíî| | || | . . . . .

. . . xNx012 − h2 − p1h221− 2 − p2hh2A=10h2001h2........ ... .. . .Ðåøàåì ìåòîäîì ïðîãîíêè: ïðè ýòîì íåîáõîäèìî äèàãîíàëüíîå ïðåîáëàäàíèå (ñì. ïðåä.ñåìåñòð), à ýòî âûï-ñÿ, ò.å. pi ≥ 0 (ñì.í.ó.)Âîïðîñ óñòîé÷èâîñòè? ?Ââåäåì äèôô. îïåð-ð L : Ly = y 00 (x) − p(x)y(x)99Íàïð-âåñåò.ô-öèéââåäåìlynyn−1 − 2yn + yn+1h2=−p n yn| | || | . . . . .

. . . xNx0Ëåììà 1. Ïóñòü p(x) ≥ 0, l(zn ) ≤ 0, z0 ≥ 0, zN ≥ 0, òîãäàzn ≥ 0 ∀ n = 1, ..., N − 1¤ d := min0≤n≤NÏðåäïîëîæèì d < 0 , d 6= z0 è zN . Ïóñòü k − min öåëîå, ò.÷. zk = d, òîãäàzk−1 > d , zk+1 ≥ d.≥0>0(zk+1 − d) + (zk−1 − d)− pk d > 0Ïðèìåíèì lzk =h2≤0Ëåììà 2. Åñëè p(x) ≥ 0, òî ∀ {zn }èñõ. îòðåçêà, à M = max |l(zn )|.∅¢max |zn | ≤ max{|z0 |, |ZN |} + M0≤n≤NX2, ãäå X - äëèíà80<n<Nnh(X − nh)nhnh, òîãäà+M) + |zN |¤ ωn := |z0 |(1 −X} |X{z}{z2|(2)(1)ωn ≥ 0(X = N h)ωn+1 − 2ωn + ωn−1= −MÄ/Ç : äîê-òüh2Ñëåä. l(ωn ) = −M − pn ωn ≤ Ml(ωn ± zn ) ≤ −M ± l(zn ) ≤ 0, êðîìå òîãî ω0 ± z0 = |z0 | ± z0 ≥ 0 è ωN ± zN = ...

≥ 0Ò.î. ωn ± zn óäîâë. óñë-ÿì Ëåììû 1 ⇒⇒ ωn ± zn ≥ 0 ⇒ |zn | ≤ |ωn | ≤ max |ωn |nÍàéäåì max |ωn | (îöåíêó)nnh nh) = max{|z0 |, |zN |},+XX2.+MX⇒ max |ωn | ≤ .....n8(1) ≤ max{|z0 |, |zN |}(1 −nh(X + nh) ≤X24Âåðíåìñÿ ê íàøåé çàäà÷å 00 y − py = f, p ≥ 0y(0) = ay(X) = bp, f ∈ C 2 ⇒lyn = fn n=1,...,N−1y∈ C 4 (áóäåì òàê ñ÷èòàòü)rnz }| {y (4) (ξn )h2l(y(xn )) = f +12y =a 0y(x)=a0yN = by(xN ) = bzn := y(xn ) − yn100÷òî è òð.ä.¢½l(zn ) = rny(z0 ) = 0, y(zN ) = 0,M = max |l(zn )|,n82M4 X 2h|y(xn ) − yn | ≤96|y(xn ) − yn | = |zn | ≤ M⇒ïðèìåíÿåì Ëåììó 2:−X2M4 := max |y (4) | ⇒Íà ëåêöèÿõ áûë èñïîëüçîâàí ïðèíöèï ìàêñèìóìà. Äðóãîé ñïîñîá èññëåäîâàíèÿàíàëîãè÷íîé ðàçíîñòíîé ñõåìû - ýíåðãåòè÷åñêèé (äðóãîé îòðåçîê çàäà÷è, äðóãèå ãðàíè÷íûåóñëîâèÿ).Ïðèìåð: ïðîñòåéøàÿ êðàåâàÿ çàäà÷ äëÿ ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà−y 00 + p(x)y = f (x), 0 < x < 1,y(0) = 0, y 0 (1) = 0.Ôóíêöèè p(x) ≥ 0, f (x) çàäàíû.Áåðåì ïðîñòåéøóþ ðàçíîñòíóþ ñõåìó íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå y − i+1 − 2yi + yi−1 + pi yi = fi , 1 ≤ i ≤ N − 1;h2 y = 0, yN − yN −1 = 0,N h = 1.0hÈññëåäîâàíèå àïïðîêñèìàöèè - ïîäñòàâëÿåì â ðàçíîñòíóþ ñõåìó ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è(âìåñòî yi ïîäñòàâëÿåì y(xi ) = y(ih)) ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ ïðàâîé ÷àñòè fi = f (xi ) èóðàâíåíèé èñõîäíîé çàäà÷è ïîëó÷àåì, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå àïïðîêñèìèðóåòñÿñ ïîðÿäêîì O(h2 ), ëåâîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå ñ ïîðÿäêîì O(h∞ ), ïðàâîå ãðàíè÷íîå óñëîâèåO(h), ò.å.

ñõåìà èìååò ïåðâûé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè â ñåòî÷íîì àíàëîãå íîðìûïðîñòðàíñòâà C(0, 1)!!!.  ñåòî÷íîì àíàëîãå íîðìû L2 (0, 1) ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè áóäåòäðóãîé.Óñòîé÷èâîñòü ýòîé ðàçíîñòíîé ñõåìû ìîæíî ïðîâîäèòü ñàìûìè ðàçíûìè ñïîñîáàìè.Çäåñü âûáðàí ýíåðãåòè÷åñêèé ìåòîä. Óìíîæèì ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå ñêàëÿðíî íà y½−(yx̄x , y) + (py, y) = (f, y),y0 = 0, (yx̄ )N = 0.Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó ñóììèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì (ôîðìóëó Àáåëÿ) è èñïîëüçóÿ ãðàíè÷íûåóñëîâèÿNXh(yx̄ )2i−(yx̄x , y) = (yx̄ , yx̄ ) + y0 (yx̄ ) − yN (yx̄ )N = kyx̄ k2 =i=1ïîëó÷àåì èíòåãðàëüíîå òîæäåñòâîdefkyx̄ k2 + (py, y) = (f, y), çäåñü (u, v) =NXhui vi , fN = 0.i=1Èñïîëüçóÿ íåîòðèöàòåëüíîñòü âòîðîãî ñëàãàåìîãî â ñèëó p ≥ 0, ðàçíîñòíûé àíàëîãíåðàâåíñòâà Ïóàíêàðå kyk ≤ Ckyx̄ k ïîëó÷àåì îöåíêókyk ≤ Ckf k,101êîòîðàÿ â ñèëó ëèíåéíîñòè çàäà÷è è åñòü ïî îïðåäåëåíèþ äîêàçàòåëüñòâî óñòîé÷èâîñòèðàçíîñòíîé ñõåìû.Òî÷íî òàê æå ïîëó÷àåòñÿ óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû â íîðìådefkyk1 = (yx̄ , yx̄ )1/2 ≤ Ckf k.Ýíåðãåòè÷åñêèé ñïîñîá çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ ñêàëÿðíîóìíîæàþòñÿ íà êàêèå-íèáóäü ôóíêöèè ( ðåøåíèå ñàìîé ñõåìû ), âûâîäÿòñÿ ñóììàòîðíûåòîæäåñòâà, àíàëîãè÷íûå èíòåãðàëüíûì òîæäåñòâàì, èç êîòîðûõ ïîòîì ïîëó÷àþòñÿíåðàâåíñòâà äëÿ ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû â íîðìàõ, ïîðîæäåííûõ ñêàëÿðíûìèïðîèçâåäåíèÿìè, êîòîðûå è íàçûâàþòñÿ êàê ðàç ýíåðãåòè÷åñêèìè íîðìàìè.Ñõîäèìîñòü ðàññìàòðèâàåìîé ñõåìû ñëåäóåò èç àïïðîêñèìàöèè è óñòîé÷èâîñòè.

Ïîðÿäîêñõîäèìîñòè ñîâïàäàåò ñ ïîðÿäêîì àïïðîêñèìàöèè.40Ìåòîä ñòðåëüáû è ìåòîä ïðîãîíêèðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ÎÄÓ âòîðîãîïîðÿäêà.Ðåøåíèå ëèíåéíîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ñèñòåìûÎÄÓ.Ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé Ay = f ñ òðåõäèàãîíàëüíîé ìàòðèöåéc0 y0 − b0 y1 = f0 ,i = 0,−ai yi−1 + ci yi − bi yi+1 = fi , 1 ≤ i ≤ N − 1,−aN yN −1 + cN yN = fN ,i = N.Ðàçìåðíîñòü çàäà÷è (N + 1) × (N + 1). Áóäåì ïðåäïîëàãàòü c0 6= 0.Ìåòîä ñòðåëüáû ïðèìåíÿåòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè bi 6= 0, 1 ≤ i ≤ N .

Áóäåì èñêàòüðåøåíèå â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèèyi = δui + (1 − δ)vi ,ãäå ui , vi óäîâëåòâîðÿþò ïåðâûì N óðàâíåíèÿìc0 u0 − b0 u1 = f0 ,c0 v0 − b0 v1 = f0 ,i = 0,−ai ui−1 + ci ui − bi ui+1 = fi , −ai vi−1 + ci vi − bi vi+1 = fi , 1 ≤ i ≤ N − 1,Äëÿ u è v ñòàâÿòñÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ: åñëè b0 6= 0, òî çàäàþòñÿ u0 6= v0 ; åñëè æå b0 = 0, òîâ ýòîì ñëó÷àå çàäàþòñÿ u1 6= v1 .Ïî ÿâíûì òðåõòî÷å÷íûì ôîðìóëàì îïðåäåëÿþòñÿ ui , vi , i ≤ N , çàòåì ïîäáèðàåòñÿ δ òàê,÷òîáû ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ óäîâëåòâîðÿëà ïîñëåäíåìó óðàâíåíèþ èñõîäíîé ñèñòåìû−aN (δuN −1 + (1 − δ)vN −1 ) + cN (δuN + (1 − δ)vN ) = fN , δ =102fN + aN vN −1 − cN vN.aN (vN −1 − uN −1 ) + cN (uN − vN )Ìåòîä ïðîãîíêè (â êàêîì-òî âîïðîñå óæå âñòðå÷àëñÿ) ýòî â ÷èñòîì âèäå ìåòîä Ãàóññà.Ôîðìóëû âûâîäÿòñÿ çà 5 ìèíóò.

Èùåì ðåøåíèå â âèäå (îáðàòíûé õîä ìåòîäà ïðîãîíêè)yi = αi+1 yi+1 + βi+1 , i = N − 1, N − 2, ..., 0.Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñðàçó îïðåäåëÿþòñÿ (ñòàðòîâàÿ òî÷êà ïðÿìîãî õîäà)y0 = α1 y1 + β1 ⇒ α1 = b0 /c0 , β1 = f0 /c0 .Ôîðìóëó îáðàòíîãî õîäà ïîäñòàâëÿåì â óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåì ôîðìóëû äëÿ ïðîãîíî÷íûõêîýôôèöèåíòîâ (ïðÿìîé õîä ìåòîäà ïðîãîíêè)αi+1 =fi + ai βibi, i = 1, 2, ..., N − 1., βi+1 =ci − ai αici − ai αiÐàññìàòðèâàÿ ôîðìóëó îáðàòíîãî õîäà ñ ïîñëåäíèì óðàâíåíèåì ñèñòåìû íàõîäèì yN(ñòàðòîâàÿ òî÷êà äëÿ îáðàòíîãî õîäà):½fN + αN βNyN −1 = αN yN + βN ,⇒ yN =−aN yN −1 + cN yN = fN ,cN − aN αNÒàêîé âàðèàíò ìåòîäà ïðîãîíêè íàçûâàåòñÿ ïðàâîé ïðîãîíêîé.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)