Ответы на экзаменационные вопросы (1163657), страница 17
Текст из файла (страница 17)
ñõåìà èìååò ïåðâûé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè.Óñòîé÷èâîñòü ýòîé ðàçíîñòíîé ñõåìû ìîæíî âûÿñíÿòü ñàìûìè ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Çäåñüâûáðàí ýíåðãåòè÷åñêèé ìåòîä. Óìíîæèì ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå ñêàëÿðíî íà y½−(yx̄x , y) + (py, y) = (f, y),y0 = 0, (yx̄ )N = 0.Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó ñóììèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì (ôîðìóëó Àáåëÿ) è èñïîëüçóÿ ãðàíè÷íûåóñëîâèÿNX2−(yx̄x , y) = (yx̄ , yx̄ ) + y0 (yx̄ ) − yN (yx̄ )N = kyx̄ k =h(yx̄ )2ii=1ïîëó÷àåì èíòåãðàëüíîå òîæäåñòâîdefkyx̄ k2 + (py, y) = (f, y), çäåñü (u, v) =NXhui vi , fN = 0.i=1Èñïîëüçóÿ íåîòðèöàòåëüíîñòü âòîðîãî ñëàãàåìîãî â ñèëó p ≥ 0, ðàçíîñòíûé àíàëîãíåðàâåíñòâà Ïóàíêàðå kyk ≤ Ckyx̄ k ïîëó÷àåì îöåíêókyk ≤ Ckf k,êîòîðàÿ â ñèëó ëèíåéíîñòè çàäà÷è è åñòü ïî îïðåäåëåíèþ äîêàçàòåëüñòâî óñòîé÷èâîñòèðàçíîñòíîé ñõåìû.Òî÷íî òàê æå ïîëó÷àåòñÿ óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû â íîðìådefkyk1 = (yx̄ , yx̄ )1/2 ≤ Ckf k.Ýíåðãåòè÷åñêèé ñïîñîá çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ ñêàëÿðíîóìíîæàþòñÿ íà êàêèå-íèáóäü ôóíêöèè ( ðåøåíèå ñàìîé ñõåìû ), âûâîäÿòñÿ ñóììàòîðíûåòîæäåñòâà, àíàëîãè÷íûå èíòåãðàëüíûì òîæäåñòâàì, èç êîòîðûõ ïîòîì ïîëó÷àþòñÿíåðàâåíñòâà äëÿ ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû â íîðìàõ, ïîðîæäåííûõ ñêàëÿðíûìèïðîèçâåäåíèÿìè, êîòîðûå è íàçûâàþòñÿ êàê ðàç ýíåðãåòè÷åñêèìè íîðìàìè.Ñõîäèìîñòü ðàññìàòðèâàåìîé ñõåìû ñëåäóåò èç àïïðîêñèìàöèè è óñòîé÷èâîñòè.11544Ñïåêòðàëüíûé ïðèçíàê óñòîé÷èâîñòè.Ïðèìåðû åãî ïðèìåíåíèÿ äëÿ èññëåäîâàíèÿðàçíîñòíûõ ìåòîäîâ çàäà÷è Êîøèäëÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿè ÿâíîé è íåÿâíîé ðàçíîñòíîé àïïðîêñèìàöèèóðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè.Áåðåì ïðîñòåéøóþ àïïðîêñèìàöèþ (ãèïåðáîëè÷åñêîãî) óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà ïðè a = const >0.
Îáû÷íî ãîâîðÿò, ÷òî a - ñêîðîñòü ïîòîêà. Åñëè a = const > 0, òî ïîòîê èäåò âïåðåä(íàïðàâî).nun − unm−1un+1m − um= 0, n ≥ 0, −∞ < m < ∞.+a mhτÐàçíîñòíîå îòíîøåíèå áåðåòñÿ ïðîòèâ ïîòîêà. Àíàëîãè÷íî ïðè a < 0 ìîæíî ðàññìîòðåòüñõåìó ut + aux = 0, íî çäåñü ýòîãî íå äåëàåòñÿ.Ïðèìåíåíèå ñïåêòðàëüíîãî ïðèçíàêà óñòîé÷èâîñòè îñóùñòâëÿåòñÿ ïî èíñòðóêöèè: âìåñòîunm ïîäñòàâëÿåì âûðàæåíèå λn eimϕut + aux̄ = 0⇔λn eimϕ − λn ei(m−1)ϕλn+1 eimϕ − λn eimϕ= 0,+ahτñîêðàùàåì íà λn eimϕ è ïîëó÷àåì óðàâíåíèå1 − e−iϕλ−1= 0,+ahτèç êîòîðîãî îöåíèâàåì |λ| ïðè âñåõ ϕ:åñëè ïðè çàäàííîì çàêîíå ñòðåìëåíèÿ τ è h ê íóëþ ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ 0 ≤ c < ∞òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ ϕ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî|λ(ϕ)| ≤ ecτ ,òî ñõåìà óñòîé÷èâà è ìîæåò áûòü ïðèìåíåíà äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåéçàäà÷è Êîøè...λ(ϕ) = 1 −1-1◦ö2 0?ö11aτ −iϕaτe(a > 0).+hhÎêðóæíîñòü, ïî êîòîðîé ïðîáåãàåò λäîëæíà áûòü âíóòðè åäèíè÷íîéîêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íóëå.Åñëè ýòî íå òàê, òî óñòîé÷èâîñòè íåò.Óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè âûïîëíåíî äëÿäëÿ îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â ?è íå âûïîëíåíî äëÿ ◦, ••ö3-1116Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé, êîòîðûå ïðîáåãàåò λ(ϕ), êîãäà ϕ ïðîáåãàåò îò −∞ äî ∞, íàçûâàåòñÿñïåêòðîì ðàçíîñòíîé ñõåìû.
Äëÿ âûïîëíåíèÿ óñòîé÷èâîñòè ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ñïåêòðäîëæåí ëåæàòü âíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî öåíòð îêðóæíîñòè, ïîêîòîðîé ïðîáåãàåò λ äîëæåí ëåæàòü íà îòðåçêå [0, 1], èíà÷å óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè íåâûïîëíåíîhaτaτ≤1 ⇒τ ≤ .≤1 ⇒0≤1−ahhhÒàêèì îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåìàÿ ñõåìà óñëîâíî óñòîé÷èâà (óñëîâèå τ ≤ ).aÑïåêòð çàäà÷è íå îáÿçàòåëüíî äîëæåí ëåæàòü âíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà. Ðàññìîòðèìñõåìóun − unm−1un+1 − unm= 0.+ a m+1ut + aux◦ = 0 ⇔ m2hτÎñóùåñòâëÿåì øàãè èññëåäîâàíèÿ ïî ñïåêòðàëüíîìó ïðèçíàêó• ïîäñòàâëÿåì• ñîêðàùàåì• îöåíèâàåì1aτaτ iϕ(e − e−iϕ ) = 1 − i sin ϕh2h(äëÿ ëþáîãî çíàêà a).λ(ϕ) = 1 −-101λ ïðîáåãàåò âåðòèêàëüíûé îòðåçîêâíå åäèíè÷íîãî êðóãà.-1¯ ³ π ´¯¯¯max |λ(ϕ)| = ¯λ¯=2Ïóñòü τ = Ah2 .
Òîãäàra+a2 π 2.h2¯ ³ π ´¯ pτ¯¯¯ ≤ 1 + a2 Aτ = 1 + a2 A + O(τ 2 ) ≤ ecτ ,¯λ22a2 A- ïîñòîÿííàÿ â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà èç ñïåêòðàëüíîãî ïðèçíàêàãäå c =2óñòîé÷èâîñòè.Äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè½ut − a2 uxx = ϕ(x, t), −∞ < x < ∞, 0 < t < T,u(x, o) = ψ(x), −∞ < x < ∞.117Ðàññìîòðèì ñõåìó ñ âåñàìè: σ ∈ [0, 1]un+1− unjjτ=σn+1un+1+ un+1j+1 − 2ujj+1h2+ (1 − σ)unj+1 − 2unj + unj+1+ ϕ(jh, nτ ).h2Íàëè÷èå ïðàâîé ÷àñòè íèêàê íå âëèÿåò íà ïðèìåíåíèå ñïåêòðàëüíîãî ïðèçíàêà óñòîé÷èâîñòè(ÑÏÓ). Äåéñòâóåì ïî èíñòðóêöèè:eiα − 2 + e−iαeiα − 2 + e−iαλ−12= 0.−a(1−σ)− a2 σλh2h2τÇàìå÷àåì, ÷òîα42 cos α − 2eiα − 2 + e−iα= − 2 sin2=222hhhÏîëó÷àåìα1 − 4r(1 − σ) sin222 , r = a τ.λ(α) =αh21 + 4rσ sin22Äëÿ âûïîëíåíèÿ ÑÏÓ òðåáóåòñÿ−1 − Cτ ≤ λ(α) ≤ 1 + Cτ, ∀α,ãäå C íå çàâèñèò îò τ → 0, h → 0.
Ïðàâîå íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî âñåãäà. Äëÿ âûïîëíåíèÿëåâîãî íåðàâåíñòâà äîëæíî áûòüα1 − 4r(1 − σ) sin22−1 − Cτ ≤ λ(α) =α .1 + 4rσ sin22Âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî òî÷êè α = π , òàê ÷òî â ýòîé òî÷êåäîñòèãàåòñÿ èëè ìèí. èëè ìàêñ. ïðàâîé ÷àñòè. Î÷åâèäíî, ïðè r > 0, σ ∈ [0, 1] ýòî áóäåò ìèí.Ò.î. äëÿ âûïîëíåíèÿ ÑÏÓ äîëæíî áûòü−1 − Cτ ≤ λ(α) =1 − 4r(1 − σ).1 + 4rσ1 − 4r(1 − σ),1 + 4rσ11. Äëÿèëè τ ≤÷òî äëÿ ñëó÷àÿ ÿâíîé ñõåìû σ = 0 ïðèâîäèò ê íåðàâåíñòâó r ≤2a2 h22íåÿâíîé ñõåìû σ = 1 íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî ïðè ëþáûõ τ, h, ò.å. íåÿâíàÿ ñõåìà ÿâëÿåòñÿáåçóñëîâíî óñòîé÷èâîé (áåç âñÿêèõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé).ÑÏÓ ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ ñèñòåì óðàâíåíèé, äëÿ óðàâíåíèé ñ äâóìÿïðîñòðàíñòâåííûìè ïåðåìåííûìè, äëÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé! - ñì.[1], ïðèìåð íà ñòð. 500, äëÿðàçíîñòíûõ ñõåì ñ êîìïëåêñíîçíà÷íûìè ôóíêöèÿìè è ò.ä.Äëÿ ïðîñòîòû òðåáóþò âûïîëíåíèÿ áîëåå ñèëüíîãî íåðàâåíñòâà −1 ≤ λ(α) =11845Èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè ÿâíîé è íåÿâíîéðàçíîñòíîé àïïðîêñèìàöèèóðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèâ ðàâíîìåðíîé ìåòðèêå.Äëÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ (îäíîìåðíîñòü â ñìûñëå êîëè÷åñòâà ïðîñòðàíñòâåííûõïåðåìåííûõ) òåïëîïðîâîäíîñòè(⇔ äèôôóçèè):∂u ∂ 2 u− 2 = f (x, t) â D = {(x, t) : 0 < x < l, t > 0}∂x∂tñ íà÷àëüíûìè è êðàåâûìè óñëîâèÿìèLu ≡u(x, 0) = u0 (x) ïðè t = 0,u(0, t) = u(l, t) = 0 ïðè ∀t ≥ 0,ðàçíîñòíûå ñõåìû ñòðîèì íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå ñ ïîñòîÿííûìè øàãàìè τ, h.Áóäåì íàçûâàòü ñõåìó óñòîé÷èâîé â ðàâíîìåðíîé ìåòðèêå íà îòðåçêå [0, T ], T = N τ,åñëè èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîmax kun k ≤ ku0 k + c max kf n k, kun k = max |unm |,0≤n≤N0≤n≤N0≤m≤Mãäå ñ íå çàâèñèò îò øàãîâ ñåòêè τ è h, íî ìîæåò çàâèñåòü îò âåëè÷èíû T .ßâíàÿ ñõåìànun − 2unm + unm−1un+1m − umn+ fm,= m+1h2τun0 = unM = 0 ∀n ≥ 0ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâîé â ðàâíîìåðíîé ìåòðèêå ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ τ /h2 ≤ 1/2.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïåðåïèñûâàåì ñõåìó â âèäånun+1= (1 − 2r)unm + r(unm+1 + unm−1 ) + τ fm, ãäå r = τ /h2mè ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî (1 − 2r) ≥ 0, ïîëó÷àåì öåïî÷êó íåðàâåíñòâkun k{}|zPkun+1 k ≤(1 − 2r)kun k + r(kun k + kun k) +τ kf n k ≤ . . . ≤ ku0 k + nk=0 τ kf k k ≤Cz }| {≤ ku0 k+ (n + 1)τ max kf k k.kÈññëåäîâàíèå ÷èñòî íåÿâíîé ñõåìûn+1nun+1 − 2un+1un+1m + um−1m − umn+ fm,= m+1h2τun0 = unM = 0 ∀n ≥ 0ïðîâîäèòñÿ ïî ñõåìå, âñòðå÷àþùåéñÿ â ðàññóæäåíèÿõ ïðèíöèïà ìàêñèìóìà.  ïðèìåíåíèèê ðàññìàòðèâàåìîìó ñëó÷àþ ýòà ñõåìà âûãëÿäèò òàê: âûáåðåì m∗ òàê, ÷òîáû â ýòîéòî÷êå äîñòèãàëîñü ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå |un+1m | è ïóñòü ýòî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå119n+1 k, òîãäà çàïèñûâàåì ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå â ýòîé òî÷êåïîëîæèòåëüíî, ò.å. un+1m∗ = kuâ âèäån+1n+1n+1n+1nnun+1m∗ + r(um∗ − um∗ −1 ) + r(um∗ − um∗ −1 ) = um∗ + τ fm∗ .Êðóãëûå ñêîáêè â ëåâîé ÷àñòè íåîòðèöàòåëüíû, çíà÷èò ëåâóþ ÷àñòü ìîæíî îöåíèòü ñíèçó;ïðàâóþ ÷àñòü î÷åâèäíûì îáðàçîì îöåíèâàåì ñâåðõó:nnkun+1 k = un+1m∗ ≤ Ë.÷.
= Ï.÷. ≤ ku k + τ kf k.Äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ, êàê â ÿâíîé ñõåìå.Ñëó÷àé, êîãäà çíà÷åíèå un+1m∗ îòðèöàòåëüíî â òî÷êå m∗ , ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ÷èñòî íåÿâíàÿ ñõåìà óñòîé÷èâà ïðè ëþáûõ øàãàõ ñåòêè τ, h - ÿâëÿåòñÿáåçóñëîâíî óñòîé÷èâîé.Ââåäåì îáîçíà÷åíèåum+1 − 2um + um−1Λum =h2è ðàññìîòðèì ñõåìó ñ âåñàìè ïðè 0 ≤ δ ≤ 1nun+1m − umnnn= δΛun+1m + (1 − δ)Λum , u0 = uM = 0 ∀n ≥ 0τäëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ.Èññëåäîâàíèå ðàçíîñòíîé ñõåìû ïðîâîäèòñÿ ïî íà÷àëüíûì äàííûì, ïîñêîëüêó ïðàâîé÷àñòè íåò.Óñòîé÷èâîñòü ýòî åñëè ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîÃmax kun kL2,h ≤ cku0 kL2,h , ãäå kun kL2,h =0≤n≤NMX!1/2h(unm )2.m=1Ìíîæèòåëü h â îïðåäåëåíèè íîðìû òðåáóåòñÿ äëÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ ñîãëàñîâàíèÿ íîðì.RlÂûáðàííàÿ íîðìà ñîãëàñîâàíà ñ íîðìîé ïðîñòðàíñòâà L2 (0, l), kukL2 (0,l) = u2 (x)dx, (0, l)îòðåçîê, íà êîòîðîì ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à.Óòâåðæäåíèå. Ñõåìà ñ âåñàìè ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâîé â ìåòðèêå L2,h :01.
ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ τ è h äëÿ 1/2 ≤ δ ≤ 1;2. ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ τ /h2 ≤ 1/(2 − 4δ) äëÿ 0 ≤ δ < 1/2.Äîêàçàòåëüñòâî. Âî èçáåæàíèå èçáûòî÷íûõ îáîçíà÷åíèé áóäåì ïîíèìàòü ïîä Λìàòðèöó, êîòîðàÿ ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå âåêòîðó un = (0, u1 , ..., unM −1 , 0)T âåêòîð Λun =(0, Λu1 , ..., ΛunM −1 , 0)T . Òîãäà ðàññìàòðèâàåìóþ ñõåìó ìîæíî çàïèñàòü â âèäåun+1 = Sun = S n+1 u0 ,ãäå S = (I − τ δΛ)−1 (I + τ (1 − δ)Λ).Íàäî âûó÷èòü íàèçóñòü ðåøåíèå çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿΛvm = −νvm , 1 ≤ m ≤ M − 1, M h = l, v0 = vM = 0,ν (k) =πkmπkh (k)4, k = 1, 2, ..., M − 1., vm = sinsin22M2lh120Äëÿ îïåðàòîðà ïåðåõîäà S ðàçíîñòíîé ñõåìû ìîæåì âûðàçèòü ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:S = (I − τ δΛ)−1 (I + τ (1 − δ)Λ)⇒λ(k) (S) =1 − τ (1 − δ)ν (k).1 + τ δν (k) óñëîâèÿõ äîãîâîðåííîñòè, êàê ïîíèìàòü ìàòðèöó Λ, ïîëó÷àåì, ÷òî ìàòðèöà S òîæåñèììåòðè÷íàÿ, ïîýòîìó íîðìà ýòîé ìàòðèöû âûðàæàåòñÿ:kSkL2,h = max |λ(k) (S)|.kÇíà÷èò äëÿ âûÿñíåíèÿ óñòîé÷èâîñòè îñòàëîñü íàéòè, êîãäà kSkL2,h ≤ 1:−1 ≤ λ(k) (S) =1 − τ (1 − δ)ν (k)≤ 1.1 + τ δν (k)Ñîäåðæàòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ òîëüêî ëåâîå íåðàâåíñòâî, ïîñêîëüêó ïðàâîå âûïîëíåíîâñåãäà.
Ëåâîå íåðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåτ (1 − 2δ)ν (k) ≤ 2.Ïðè 1/2 ≤ δ ≤ 1 ýòî íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî ïðè ëþáîì τ , à ïðè 0 ≤ δ < 1/2 âîçíèêàåòîãðàíè÷åíèå2, ∀k.τ≤(1 − 2δ)ν (k)4Âûáèðàåì õóäøèé ñëó÷àé, êîãäà â çíàìåíàòåëå ñàìîå áîëüøîå ν (k) , (k = M − 1), ≈ 2 (äàæåh÷óòü óñèëèëè óñëîâèå, ñ çàïàñîì ÷òîá áûëî), ïîëó÷àåì âòîðîå íåðàâåíñòâî èç ôîðìóëèðîâêèóòâåðæäåíèÿ.Ïðî ðàññìàòðèâàåìóþ ðàçíîñòíóþ ñõåìó íàäî ñêàçàòü, ÷òî ïðè δ = 1/2 îíà èìååò ïîðÿäîêàïïðîêñèìàöèè O(τ 2 + h2 ), à â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ O(τ + h2 ).Ïðè íåêîòîðîì "õèòðîì" âûáîðå σ ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè ìîæåò áûòü âûøå (ñì.h2).Çàäà÷íèê, ×àñòü 1, çàäà÷à 4.53 σ = 1/2 −12τ46Îöåíêà ïîãðåøíîñòè ðàçíîñòíîé àïïðîêñèìàöèèóðàâíåíèÿ Ïóàññîíà.Âîïðîñû 46 è 47 äîëæíû áûòü îòêîððåêòèðîâàíû ñ ó÷åòîì Ëåêöèé (êîòîðûå ê íàñòîÿùåìóâðåìåíè åùå íå ïðî÷èòàíû).Äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà â ïðÿìîóãîëüíîé îáëàñòè ñ íóëåâûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè 1ðîäඵ 2∂ u ∂2u= f (x, y), (x, y) ∈ (0, l1 ) × (0, l2 ) = Ω, u|∂Ω = 0+−∆u = −∂y 2∂x2áåðåì ïðîñòåéøóþ ðàçíîñòíóþ ñõåìó íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå ñ øàãàìè h1 = l1 /N1 , h2 = l2 /N2−∆h u = −(ux̄x + uȳy )ij = fij , 1 ≤ i ≤ N1 − 1, 1 ≤ j ≤ N2 − 1,u0,j = uN1 ,j = 0, 0 ≤ j ≤ N2 ,ui,0 = ui,N2 = 0, 0 ≤ i ≤ N1 .121Îáû÷íî ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ èñêëþ÷àþò èç ñèñòåìû óðàâíåíèé, ïîñêîëüêó ðåøåíèå â ýòèõòî÷êàõ èçâåñòíû, òîãäà ïèøóò ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêóþ çàäà÷ó â âèäå −∆h u = f , ïîíèìàÿ ïîä−∆h ìàòðèöó.Âûÿñíåíèå àïïðîêñèìàöèè ïðîâîäèòñÿ ïðè ïîìîùè ôîðìóëû Òåéëîðà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
