Ответы на экзаменационные вопросы (1163657), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Ïîíÿòèåæåñòêèõ ñèñòåì ÎÄÓ - îïðåäåëåíèå èç Ëåêöèé äàíî â 35 âîïðîñå. Íåðåäêî èñïîëüçóþòñÿäðóãèå îïðåäåëåíèÿ. Åäèíîãî îáùåïðèíÿòîãî îïðåäåëåíèÿ íåò, ïîñêîëüêó æèçíü èäåò ïîïîíÿòèÿì, è æåñòêîñòü çàäà÷è - îäíî èç ïîíÿòèé ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ.Òèïè÷íûé ïðèìåð æåñòêîé ñèñòåìû ÎÄÓ.µ ¶µ¶199819980~y = A~y , ~y (0) =,A=.1−999 −1999Ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû ðàâíû -1 è -1000. Ðåøåíèå "ëåãêî" âûïèñûâàåòñÿ43(2100.020.04x0.060.083y1 = 4e−x − 3e−10 x ,3y2 = −2e−x + 3e−10 x .èìååòñÿ î÷åíü ìàëåíüêèé ó÷àñòîêðåçêîãî èçìåíåíèÿ ôóíêöèé y1 (x), y2 (x).0.1–1–2Ðåøàòü ÷èñëåííî òàêóþ ñèñòåìó ïî ÿâíîé ñõåìå Ýéëåðà~yn+1 = ~yn + hA~ynìîæíî ïðè óñëîâèè óñòîé÷èâîñòè h ≤ 2/ max |λi (A)|. Îäíàêî, âòîðûå ñëàãàåìûå â ðåøåíèèïðàêòè÷åñêè ñðàçó èñ÷åçàþò, õîòÿ èìåííî îíè ïîðîæäàþò îãðàíè÷åíèå íà øàã ñõåìû Ýéëåðà.Äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé, ðàñïàäàþùåéñÿ íà äâà íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèÿ è èìåþùåéïî÷òè òàêîå æå ðåøåíèå (ïðè äðóãèõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ)y10 = −4y1 , y1 (0) = 4,y1 = 4e−x ,⇒y20 = 2y2 ,y2 (0) = −2,y2 = −2e−x ,îãðàíè÷åíèå íà øàã â ñõåìå Ýéëåðà íå áûëî áû òàêèì îáðåìåíèòåëüíûì.90Òàêèì îáðàçîì, æåñòêîñòü ñèñòåìû óðàâíåíèé ìîæåò îïðåäåëÿòüñÿ íåñóùåñòâåííûìèîñîáåííîñòÿìè ðåøåíèÿ.Îïðåäåëåíèÿ "æåñòêîñòè" âñòðå÷àþòñÿ ðàçëè÷íûå â ëèòåðàòóðå, íî ñìûñë èõ ñâîäèòñÿê ñëåäóþùåìóÎïðåäåëåíèå.
Ëèíåéíàÿ ñèñòåìà y 0 = Ay, y(x0 ) = y0 íà îòðåçêå [x0 , X] íàçûâàåòñÿæåñòêîé, åñëè:1. X max |λi (A)| À 1 (èìåþòñÿ áûñòðî óáûâàþùèå êîìïîíåíòû),i2. X max |λi (A)| ∼ 1 (ðåøåíèå áûñòðî íå ðàñòåò),i3. X max Im|λi (A)| ∼ 1 (ðåøåíèå áûñòðî íå êîëåáëåòñÿ).iÄëÿ ñèñòåìû y 0 = f (x, y) ìîæíî ðàññìîòðåòü ëèíåàðèçîâàííóþ ñèñòåìó ïðè A =ïðèìåíèòü îïðåäåëåíèå æåñòêîñòè äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû.∂f∂yèÏðîñòåéøèå íåÿâíûå ìåòîäû.Èç Ëåêöèè 17:- íåÿâíûé ìåòîä ÝéëåðàËîêàëüíàÿ îøèáêà O(h2 ), ãëîáàëüíàÿ O(h).Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ýòîãî ìåòîäà íà ïðèìåðå ìîäåëüíîé çàäà÷è½ 0y (x) = λyλ < 0, |λ| áîëüøîåy(x0 ) = y0Ðåøåíèå yn = yn−1 + hλynyn =y0yn−1= ... =(1 − hλ)n1 − hλÒ.ê. 1 − hλ > 1 ⇒ ðåøåíèå óáûâàåò.Äëÿ âîçìóùåííîé çàäà÷è: ȳ0 = y0 + εȳn = yn +ε(1 − hλ)n| {z }↓0è çàäà÷à áóäåò óñòîé÷èâîé.×åðåç ôîðìóëó òðàïåöèé:,̈_yn+1 = yn +h[f (xn , yn ) + f (xn+1 , yn+1 )]2ãëîáàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü O(h2 ).Åñëè yn+1 ìîæíî âûðàçèòü àíàëèòè÷åñêè, òî íåò íóæäû ïðèìåíÿòü ÷èñëåííûå ìåòîäû.Åñëè yn+1 íåëüçÿ âûðàçèòü àíàëèòè÷åñêè - âîçíèêàåò çàäà÷à íàõîæäåíèÿ yn+1 ïðè ïîìîùè÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé.Äëÿ íåÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðàyn , xn , xn+1 − èçâåñòíûyn+1 = yn + hf (xn+1 , yn+1 )91Íóæíî íàéòè êîðåíü óðàâíåíèÿ t = yn + hf (xn+1 , t).Èñïîëüçóåì ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè t0 - çàäàäèì, tk+1 = yn + hf (xn+1 , tk ).
Ëó÷øå âñåãîçàäàâàòü t0 ðàâíûì yn+1 , âû÷èñëåííûì ïî ÿâíîìó ìåòîäó Ýéëåðà.Ñêîëüêî íóæíî èòåðàöèé? Íà ïðàêòèêå îáû÷íî äåëàþò îäíó èòåðàöèþ, ïîñêîëüêóïîãðåøíîñòè â íåÿâíîì è ÿâíîì ìåòîäàõ Ýéëåðà îäèíàêîâûyn+1 = yn + hf (xn+1 , yn + hf (xn , yn )).Îäíàêî, ïðèìåíåíèå ìåòîäà ïðîñòîé èòåðàöèè íå ïîäõîäèò äëÿ ðåøåíèÿæåñòêèõ çàäà÷.¯¯¯ ∂f ¯Óñëîâèå ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà tk+1 = ϕ(tk ) èìååò âèä ¯¯h ¯¯ < 1 è íàêëàäûâàåò∂yñèëüíîå óñëîâèå "ìàëîñòè" h. Ëåêöèè 18 óïîìÿíóò ìåòîä Ëåáåäåâà.  ïðîãðàììó ýêçàìåíà â ýòîì ãîäó îí íå âõîäèò,îäíàêî èñêëþ÷àòü èç ïðîãðàììû çà÷åòà åãî íåëüçÿ!Íåÿâíûå ñõåìû î÷åíü òðóäîåìêè äëÿ ñèñòåì ÎÄÓ, ïîýòîìó ðàçðàáîòàíû ñïåöèàëüíûåÿâíûå ìåòîäû äëÿ æåñòêèõ ñèñòåì.Ìåòîä ñ ÷åáûøåâñêèìè øàãàìè (Ëåáåäåâ Â.È.)(Æåñòêîñòü ñèñòåìû â ýòîì âîïðîñå íèêàêîé ðîëè íå èãðàåò. Âñå, ðàññìàòðèâàåìîå çäåñü,ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ áåç âñÿêîé æåñòêîñòè.)Îñíîâíàÿ èäåÿ ìîæåò áûòü ðàññìîòðåíà íà ïðèìåðå ëèíåéíîé çàäà÷è.
Ïóñòü âåêòîðíàÿôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîé ëèíåéíîé ñèñòåìå äèôôóðîâd~y= A~y , ~y (0), ãäå A = AT < 0.dt ýòîì ñëó÷àå âñå λi (A) < 0, è ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî λi ∈ [−M, 0). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìûðåøàåì ýòó çàäà÷ó ÿâíûì ìåòîäîì Ýéëåðà: yj+1 = yj + hAyj . Âñïîìèíàÿ, ÷òî îãðàíè÷åíèåíà âåëè÷èíó øàãà èìååò âèä h ≤ 2/M, ïîëó÷èì, ÷òî çà N øàãîâ ìîæíî îïðåäåëèòü ðåøåíèåíà îòðåçêå [0, L], L = 2N/M.∗Åñëè ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ yj+1= yj∗ + hAyj∗ , òîâû÷èñëèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ej = yj − yj∗ , ñîîòâåòñòâåííîej+1 = (E + hA)ej = (E + hA)j+1 e0 .Äëÿ îöåíêè âåêòîðà ïîãðåøíîñòè çà N øàãîâ eN = (E + Ah)N e0 ïîëó÷èìkeN k2 ≤ k(E + Ah)N k2 ke0 k2 = max |PN (λ)|ke0 k2 ,λ∈[0,M ]ãäå PN (λ) = (1 − hλ)N , PN (0) = 1.Öåíòðàëüíûì ìîìåíòîì â ìåòîäå Ëåáåäåâà Â.È. ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ïåðåìåííûõøàãîâ â ÿâíîì ìåòîäå Ýéëåðà: yj+1 = yj +hj Ayj .
Òîãäà â âûðàæåíèè äëÿ ïîãðåøíîñòè âìåñòîìíîãî÷ëåíà (1 − hλ)N ïîÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåí (1 − h1 λ)...(1 − hN λ) , òàêæå óäîâëåòâîðÿþùèéóñëîâèþ íîðìèðîâêè PN (0) = 1. Ýòî ïðèâîäèò ê ðàññìîòðåíèþ çàäà÷è: íà îòðåçêå [0, M ]ñðåäè ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè N, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ PN (0) = 1, íàéòè ìíîãî÷ëåí ñìàêñèìàëüíîé ïî ìîäóëþ ïðîèçâîäíîé â íóëå, ò.å. |PN0 (0)| → max .
Åå ðåøåíèå èçâåñòíî, îíî92áûëî ïîëó÷åíî Â.À. Ìàðêîâûì è âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïðèâåäåííûé ìíîãî÷ëåí ×åáûøåâà íàîòðåçêå [0, M ] è èìååò âèä[0,M ]PN∗ (x)=T̄N[0,M ]T̄N(x)(0)µN= (−1) TN2x − MM¶, max |PN∗ (x)| = 1.[0,M ]Âûðàæåíèÿ äëÿ hj áåðóòñÿ èç ôîðìóëû äëÿ íóëåé ìíîãî÷ëåíà ×åáûøåâà:h−1j = M/2 + M/2 cosπ(2j − 1); j = 1, ..., N.2NÂû÷èñëèì èõ ñóììó∗L =NXhj = −j=1∂PN∗ (x)22= N2 .|x=0 = −N 2 (−1)N +1 (−1)NMM∂xÇäåñü èñïîëüçîâàíî, ÷òî Tn0 (−1) = n2 (−1)n+1 .
Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ L∗ îçíà÷àåò, ÷òîèñïîëüçîâàíèå ïåðåìåííûõ øàãîâ â ÿâíîì ìåòîäå Ýéëåðà ïðè äëèíå öèêëà N , ïîçâîëÿåòíàéòè ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå íà îòðåçêå â N ðàç áîëüøå è áåç ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè, ïîñðàâíåíèþ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîñòîÿííîãî øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ.Ïðè ðàñ÷åòå ñ òàêèìè øàãàìè èõ íàäî "ïåðåìåøèâàòü" , ïîñêîëüêó ïîâåäåíèåïîãðåøíîñòè íå ìîíîòîííî. Íà íåêîòîðûõ øàãàõ íîðìà ïîãðåøíîñòè âîçðàñòàåò, íà äðóãèõóáûâàåò. Íàäî íå ñäåëàòü ìíîãî øàãîâ ïîäðÿä, íà êîòîðûõ ïîãðåøíîñòü ðàñòåò. Äðóãèìèñëîâàìè, íà ïî÷òè ïîëîâèíå èç ýòèõ ïåðåìåííûõ øàãîâ íå âûïîëíåíî íè íåîáõîäèìîå, íèòåì áîëåå äîñòàòî÷íîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè ñõåìû Ýéëåðà.Ñïîñîá ïåðåìåøèâàíèÿ øàãîâ ïî Ëåáåäåâó Â.È.Ïóñòü N = 2l .l = 1 → {1, 2}, l = 2 → {1, 4, 2, 3}, l = 3 → {1, 8, 4, 5, 2, 7, 3, 6}.Çäåñü ðàçäâèãàþòñÿ ýëåìåíòû äëÿ ïðåäûäóùåãî çíà÷åíèÿ l è íà ñâîáîäíûå ìåñòàçàïèñûâàþòñÿ âåëè÷èíû 2l + 1−"ïðåäûäóùèé ýëåìåíò".38Ýêñòðàïîëÿöèîííûå è èíòåðïîëÿöèîííûå ìåòîäûÀäàìñà.Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ îáûêíîâåííîãî äèôôóðà (ñèñòåìû äèôôóðîâ)y 0 (x) = f (x, y), y(0) = y0íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå xi = ih, i = 0, 1, ...
øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èëè êîíå÷íîðàçíîñòíûå ìåòîäûkXi=0a−i yn−i − hkXb−i f (xn−i , yn−i ),i=093a0 6= 0,y0 , ..., yk−1çàäàíû.Åñëè b0 = 0, òî äëÿ ðàñ÷åòà ïîëó÷àåòñÿ ÿâíàÿ ôîðìóëà. Òàêèå ñõåìû íàçûâàþòñÿýêñòðàïîëÿöèîííûìè. Åñëè b0 6= 0, òî íà êàæäîì øàãå íàäî ðåøàòü íåëèíåéíîå óðàâíåíèå(êàêèì-íèáóäü ìåòîäîì), è ôîðìóëû íàçûâàþòñÿ èíòåðïîëÿöèîííûìè.Êîíå÷íî-ðàçíîñòíûå ñõåìû îòíîñÿòñÿ ê k -øàãîâûì ìåòîäàì.
Îáùàÿ ôîðìóëàòðåõøàãîâûõ ìåòîäîâ áóäåòyj+1 = α1 yj + α2 yj−1 + α3 yj−2 + h[β0 fj+1 + β1 fj + β2 fj−1 + β3 fj−2 ],ãäå fj = f (xj , yj ), ãðå÷åñêèå êîýôôèöèåíòû ìîæíî ñòðîèòü ìåòîäîì íåîïðåäåëåííûõêîýôôèöèåíòîâ.Ïîíÿòèå àïïðîêñèìàöèè.Ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíàkPrn =i=0a−i yn−i−hkXb−i f (xn−i , yn−i ).i=0Îïðåäåëåíèå.
Ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå àïïðîêñèìèðóåò äèôôåðåíöèàëüíîå íà îòðåçêå, åñëè íàýòîì îòðåçêå krk → 0 ïðè h → 0.Ïîíÿòèå àïïðîêñèìàöèè òåñíî ñâÿçàíî ñ âûáðàííîé íîðìîé. Íîðìà äîëæíà áûòüñîãëàñîâàííîé.Ãîâîðÿò, ÷òî ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè m, åñëè krk ≤ Chm .Ìîäåëüíûå ïðèìåðû. Ýòî 2 çàäà÷è y 0 = 0 è y 0 = M y.α-óñëîâèå. Åñëè âçÿòü çàäà÷ó y 0 = 0, òî äëÿ ïîãðåøíîñòè ïîëó÷èì óðàâíåíèåkXa−i εn−i = 0.i=0Ýòî ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå, îáùåå ðåøåíèå êîòîðîãî âûïèñûâàåòñÿ ÷åðåç êîðíèõàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ.Îïðåäåëåíèå. Ñõåìà íàçûâàåòñÿ α−óñòîé÷èâîé, åñëè âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãîóðàâíåíèÿkXa−i µn−i = 0i=0ëåæàò âíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà, è íà ãðàíèöå åäèíè÷íîãî êðóãà íåò êðàòíûõ êîðíåé.Åñëè åñòü êîðåíü âíå åäèíè÷íîãî êðóãà, òî äàæå äëÿ çàäà÷è y 0 = 0 êîíå÷íî-ðàçíîñòíàÿñõåìà áóäåò äàâàòü íåïðàâèëüíûé ðåçóëüòàò (ýêñïîíåíöèàëüíûé ðîñò ïîãðåøíîñòè). Åñëèåñòü êðàòíûé êîðåíü íà ãðàíèöå åäèíè÷íîãî êðóãà, òî ýêñïîíåíöèàëüíûé ðîñò ïîãðåøíîñòèìîæåò áûòü ïîëó÷åí äëÿ âòîðîãî ìîäåëüíîãî ïðèìåðà y 0 = M y.kPa−i yn−ii=0, a0 6= 0 ïî ñâîåìó ñìûñëó äîëæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ïåðâóþÂûðàæåíèåh0ïðîèçâîäíóþ y (x).
Èç ñêàçàííîãî ïðî ìîäåëüíûå ïðèìåðû ñëåäóåò, ÷òî íå íàäî áðàòü â ýòîéñóììå ìíîãî ñëàãàåìûõ äëÿ ïîâûøåíèÿ ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè. Íà ïðàêòèêå ïðèõîäèëîñüâèäåòü, êîãäà èñïîëüçîâàëèñü ñõåìû ñ a−1 6= 0 è a−2 6= 0 - òàê íàçûâàåìûå îäíî- è äâóõñëîéíûå. Òðåõñëîéíûõ ñõåì âèäåòü íå ïðèõîäèëîñü, êîãäà a−3 6= 0.94Ñðåäè ìíîãîøàãîâûõ ìåòîäîâ õîðîøî èçâåñòíû ñõåìû Àäàìñà, â êîòîðûõyn − yn−1 . Ñóòü èõ â ñëåäóþùåì: âîçüìåì óðàâíåíèå â âèäåkPi=0a−i yn−i ≡xZn+1y(xn+1 ) = y(xn ) +f (x, y)dxxnè çàìåíèì ïîäèíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ èíòåðïîëÿöèîííûì ìíîãî÷ëåíîì, ïîñòðîåííûìïî óçëàì xn+1 , xn , xn−1 , .
. . , xn−k+1 è óæå âû÷èñëåííûì yn , yn−1 , . . . , yn−k+1 . Ïîëó÷èìðàñ÷åòíóþ ôîðìóëó.Ðàññìîòðèì ïðèìåð ïîñòðîåíèÿ ñõåìû Àäàìñà 3 ïîðÿäêà ìåòîäîì íåîïðåäåëåííûõêîýôôèöèåíòîâyj+1 = yj + h[β0 fj+1 + β1 fj + β2 fj−1 ], ýòîì ñëó÷àå, î÷åâèäíî, äîëæíî áûòü β0 + β1 + β2 = 1. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû ñõåìà áûëà òî÷íàäëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ 3 óðàâíåíèé (ïî êîëè÷åñòâó íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ)y 0 = kxk−1 : y(x) = xk , k = 0, 1, 2, 3.Ïîëàãàÿ h = 1, j = 0, âûïèñûâàåì ñèñòåìó óðàâíåíèékkkk= 0,= 1,= 2,= 3,y0y0y0y0= 0,= 1,= 2x,= 3x2 ,yyyy= 1,= x,= x2 ,= x3 ,1 = 1, òîæäåñòâî,1 = β0 + β1 + β2 ,1 = 2(β0 − β2 ),1 = 3(β0 + β2 ),îòêóäà "ìãíîâåííî" ïîëó÷àåì ðåøåíèåβ0 =185, β1 = , β2 = − .121212Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Òåéëîðà, íàõîäèì ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèèyj+1 − y(xj+1 ) = Cy (4) (ξ)h4îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ïîðÿäîê ðàññìàòðèâàåìîãî ìåòîäà ðàâåí 3.Äëÿ ïðîâåðêè ïðàâèëüíîñòè ïîíèìàíèÿ ðåêîìåíäóåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî ïîñòðîèòü ñõåìóÀäàìñà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà:β0 =15199, β1 = , β2 = − , β3 = .24242424Èç Ëåêöèè 17:Ìåòîäû Àäàìñà.95½y 0 (x) = f (x, y)y(x0 ) = y0|x0|x1|...||-Ñåòêà äîëæíà áûòü ðàâíîìåðíîé, àäàïòèâíûå àëãîðèòìû íå ïîäõîäÿò.yn+1 =kXai yn−i + hi=0mXbi f (xn−i , yn−i )i=−sÊîýôôèöèåíòû ai , bi âûáèðàþòñÿ òàê, ÷òîáû ëîêàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü áûëà áû ïîìåíüøå.Áóäåì ñ÷èòàòü k = 0, s = 0 ëèáî 1.µ¶s = 0 ⇒ - ìåòîä ÿâíûés = 1 ⇒ - ìåòîä íåÿâíûéßâíûå ìåòîäû Àäàìñà (ìåòîäû ïðîãíîçà)yn+1 = yn + hmXbi f (xn−i , yn−i )i=0 íà÷àëüíûõ òî÷êàõ x0 , x1 , ..., xm íóæíî çíàòü yi .
Èõ ìîæíî âû÷èñëèòü, íàïðèìåð, ìåòîäîìÐóíãå-Êóòòà (ìåòîä ðàçãîíà).Ñ÷èòàåì yn−i = y(xn−i ). Òîãäà ìîæíî ïîäîáðàòü bi òàê, ÷òî âûïîëíÿåòñÿy(xn+1 ) − y(xn ) − hmXbi f (xn−i , y(xn−i )) = O(hm+2 )i=0Äîêàçàòåëüñòâî. Èíäóêöèÿ: m = 0. Ëîêàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü äîëæíà áûòü O(h2 )y(xn+1 ) − y(xn ) − hb0 f (xn , y(xn )) = y(xn+1 ) − y(xn ) − hb0 y 0 (xn ) = y(xn ) + hy 0 (xn ) + O(h2 ) −hb0 y 0 (xn ) = O(h2 ). ⇒ b0 = 1 - ìåòîä Ýéëåðà.m=1h2 00y (xn ) +y(xn+1 ) − y(xn ) − hb0 f (xn , y(xn )) − hb1 f (xn−1 , y(xn−1 )) = y(xn ) + hy 0 (xn ) +21h2... − y(xn ) − hb0 y 0 (xn ) − hb1 (y(xn ) − hy 0 (xn ) + y 00 (xn ) − ...) = h(1 − b0 − b1 )y 0 (xn ) + h2 ( +221 b1 0004003b1 )y (xn ) + h ( − )y (xn ) + O(h )26Õîòèì O(h3 ) ⇒y 0 (xn ) − b0 y 0 (xn ) − b1 y 0 (xn ) = 0y 00 (xn )+ b1 y 00 (xn ) = 02Ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé(11 − b0 − b1 = 0b1 = −2⇔13+ b1 = 0b0 =2296è ðàñ÷åòíóþ ôîðìóëóyn+1 = yn +h(3f (xn , yn ) − f (xn−1 , yn−1 ))25 000y (xn )h3 + O(h4 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
