Ответы на экзаменационные вопросы (1163657), страница 12
Текст из файла (страница 12)
∀ x ∈ U (x̄, a) ∃ a1 , a2 , 0 ≤ a1 , a2 < ∞, ò.÷.1. k (F 0 (x̄n ))−1 kY ≤ C1 ;2. ∀ u1 , u2 ∈ U (x̄, a) kF (u1 ) − F (u2 ) − F 0 (u2 )(u1 − u2 )k ≤ a2 ku1 − u2 k2 .Òåîðåìà. C := a1 · a2 , b := min{a, c−1 }Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1, 2 è x0 ∈ U (x̄, b), òîãäà xn → x̄ ïðè ýòîì¡¢2nkxn − x̄k ≤ C −1 Ckx0 − x̄k.I Èíäóêöèÿ: âñå ïðèáëèæåíèÿ ∈ U : xn ∈ U (x̄, b); u1 = x̄, u2 = xn , ñëåäîâàòåëüíî (ñì.
óñë.2)kF (x̄) − F (xn ) − F 0 (x̄n )(x̄ − xn )kY ≤ a1 kx̄ − xn k2 , ïðè÷åìF (xn ) = −F 0 (xn )(xn+1 − xn ) è F (x̄) = 0 çíà÷èòkF 0 (xn )(xn+1 − x̄)kY ≤ a2 kxn − x̄k2kxn+1 − x̄k = k(F 0 (xn ))−1 F 0 (xn )(xn+1 − xn ) ≤ a1 a2 kxn − x̄k2X ≤ a1 a2 b2 ≤ b∀ n kxn+1 − x̄kX ≤ Ckxn − x̄k2Xqn = Ckxn − x̄kX ⇒ qn+1 ≤ qn2nÍàäî ïîêàçàòü qn ≤ q02 .
Ïî èíäóêöèè n = 0 - âåðíî; qk+1 ≤ qk2 ≤òð.ä.J ,̈_³ k ´2k+1q02= q02÷òî èÏðèìåð: f (x) = (x − x̄)p = 0 , p = 2, 3, ...Ïðèìåíèì ìåòîä Íüþòîíà:(xn − x̄)(xn − x̄)pf (xn ),= xn −=x−np−10pp(xn − x̄)f (xn )1(xn − x̄) 0, ϕ (x) = 1 − 6= 0 ïðè p 6= 1,ϕ(xn ) = xn −ppp−1ϕ0 (x) =pxn+1 = xn −82Ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ìåòîäà ê êîðíþ õàðàêòåðèçóåòñÿ âåëè÷èíîé |ϕ0 | < 1.
Èç ýòîãî ïðèìåðàâèäíî, ÷òî ïðè áîëüøèõ p ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè "óìåíüøàåòñÿ" , ò.å. êðàòíûå êîðíè óõóäøàþòìåòîä Íüþòîíà.34Ìåòîä Ýéëåðà ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ ÎÄÓ.Ëîêàëüíàÿ è ãëîáàëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ìåòîäà.Ìåòîä Ýéëåðà. Äëÿ îáûêíîâåííîãî äèôôóðà (ì.á. è âåêòîðíîãî)y 0 (x) = f (x, y), y(x0 ) = y0âûáèðàåì ïðîñòåéøóþ ðàâíîìåðíóþ ñåòêó (ïóñòü x0 = 0) xn = nh, n = 0, 1, . . . èðàññìàòðèâàåì ñõåìó Ýéëåðà, õîðîøî èçó÷åííóþ â êóðñå äèôôóðîâ ïðè äîêàçàòåëüñòâåòåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ:yn+1 = yn + hf (xn , yn ), y0 çàäàíî, n ≥ 0.Ñõåìà ÿâíàÿ. Øàã èíòåãðèðîâàíèÿ h âûáèðàåì ñàìè.
Êàê åãî âûáðàòü, ÷òîáû ïîãðåøíîñòüáûëà ïîìåíüøå - âîïðîñ, êîòîðûé ðàññìàòðèâàåòñÿ íà ìîäåëüíîì ïðèìåðå.Ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëüíûé ïðèìåð f (x, y) = Ay, A < 0. Èç ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû yn+1 =(1 + hA)n+1 y0 ñðàçó âèäíî, ÷òî ïðè 1 + hA < −1 âìåñòî óáûâàþùåãî ðåøåíèÿ çàäà÷è y 0 =Ay, A < 0 ïîëó÷èì ñîâñåì íå òî, ÷òî íàäî y(x) = eAx y(0). Çíà÷èò ìåòîä Ýéëåðà ÿâëÿåòñÿ2.óñëîâíî óñòîé÷èâûì, è äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè h <|A|Ëîêàëüíîé îøèáêîé íàçâàåòñÿ ïîãðåøíîñòü íà øàãå ðàçíîñòíîé ñõåìû. Ò.å. åñëè ynñîâïàäàåò ñ òî÷íûì ðåøåíèåì èñõîäíîé çàäà÷è, òî yn+1 âû÷èñëÿåòñÿ ñ ëîêàëüíîé îøèáêîé.Ãëîáàëüíîé îøèáêîé íàçâàíà îáùàÿ ïîãðåøíîñòü, ò.å.
ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèèyn óæå íàáðàíî n ëîêàëüíûõ îøèáîê. ôîðìóëåh2y(xn+1 ) = y(xn ) + hf (xn , y(xn )) + y 00 (x̄)2ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå åñòü ëîêàëüíàÿ îøèáêà. ôîðìóëåy(xn+1 ) − yn+1 = y(xn ) − yn + h[f (xn , y(xn )) − f (xn , yn )] +h2 00y (x̄)2â ïðàâîé ÷àñòè ñòîèò ãëîáàëüíàÿ îøèáêà. Åå ìîæíî ïðè ïîìîùè ôîðìóëû Ëàãðàíæàïðåîáðàçîâàòü ê âèäó= [1 + hfy (xn , ỹn )](y(xn ) − yn ) +h2 00y (x̄).2Íåîáõîäèìî çàïîìíèòü! ÷òî ïåðâîå ñëàãàåìîå â ýòîì âûðàæåíèè íàçûâàåòñÿðàñïðîñòðàíÿåìîé èëè ïåðåíîñèìîé îøèáêîé. Óñëîâèå íåâîçðàñòàíèÿ ðàñïðîñòðàíÿåìîéîøèáêè, î÷åâèäíî |1 + hfy (x, y)| ≤ 1.83Èç Ëåêöèé 15, 16:½y 0 (x) = f (x, y(x))y(x0 ) = y0Ïîïûòàåìñÿ ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {y n (x)} → y(x)Åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê? y1 ? y2? yNÁóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî? y0| | ||x0 x1 x1 .
. . xNxn+1 − xn = h =xN − x0NÈç ôîðìóëû Òåéëîðà èìååìy(xn+1 ) − y(xn )= f (xn , y(xn )) + O(h).hÁóäåì ñ÷èòàòü h äîñòàòî÷íî ìàëûì è îòáðîñèì O(). Ïîëó÷èì ðàñ÷åòíóþ ôîðìóëóyn+1 − yn= f (xn , yn ).hÎïðåäåëåíèå.• Ãëîáàëüíàÿ îøèáêà (ïîãðåøíîñòü) En = yn − y(xn ).• Ëîêàëüíàÿ îøèáêà (ïîãðåøíîñòü) en = yn − ỹ(xn ), ãäå ỹ - ðåøåíèå çàäà÷è½ỹ 0 (x) = f (x, ỹ(x))ỹ(xn−1 ) = yn−1Òåîðåìà. Ïóñòü f (x, y) ∈ C 2 , òîãäà en = O(h2 ).B½y 0 (x) = f (x, y(x))y(xn ) = ynyn+1 = yn + hf (xn , yn )en+1 = yn+1 − y(xn+1 )h2h2=y(xn ) + hy 0 (xn ) + y 00 (ξ) = yn + hf (xn , yn ) + y 00 (ξ). Cy(xn + h)| {z } â ðÿä Òåéëîðà} 2{z|2xn+1yn+1Òåïåðü îöåíèì ãëîáàëüíóþ ïîãðåøíîñòü.84Òåîðåìà. Ïóñòü |y 00 (x)| ≤ M , ∀ x ∈ [x0 , X] è êðîìå òîãî |f (x, ȳ) − f (x, ȳ¯| ≤ L|ȳ − ȳ¯| -ëèïøèöåâîñòü ïî 2-é ïåðåìåííîé.
Òîãäà En = O(h).B¯¯¯¯ âû÷òåì èç âòîðîãî ïåðâî寯h2= yn+1 − y(xn+1 ) = yn − y(xn ) +h(f (xn , yn ) − f (xn , y(xn )) − y 00 (ξ) ⇒| {z }2h2y(xn + h) = y(xn ) + hf (xn , y(xn )) + y 00 (ξ)2yn+1 = yn + hf (xn , yn )En+1En|En+1 | ≤ |En | + Lh|yn − y(xn )| +h2M , A = 1 + Lh|2{z }B|En | ≤ |En−1 | + B ≤A2 |En−2 |+ AB + B ≤ · · · ≤An |E0 |q+µn−1P0Ìîæåì ñ÷èòàòü A 6= 1 (L 6= 0, h 6= 0), òîãäà |En | ≤¶AkBk=0An−1B.A−11 + x ≤ ex ⇒ An = (1 + hL)n ≤ eLnh = eL(xn −x0 ) , ñëåäîâàòåëüíî|En | ≤´M ³ L(xn −x0 )h2\eL(xn −x0 ) − 1e− 1 = O(h). C=h··M2h\ L}{z|2îãð.Îáîáùåíèå íà ñèñòåìû óðàâíåíèé (ìåòîäà Ýéëåðà):½ 0ȳ (x) = f¯(x, ȳ(x))x ñêàëÿðȳ(x0 ) = ȳ0Ââîäèì ñåòêó è ñåòî÷íûå ôóíêöèè| | ||x0 x1 x1 .
. . xN{ȳ n }Âû÷èñëèòåëüíàÿ ôîðìóëà ìåòîäà Ýéëåðàȳ n+1 = ȳ n + hf¯(x, ȳ n ).Åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ ãëàäêàÿ è |f 0 | ìåíÿåòñÿ íå ñèëüíî, òî ìîæíî âû÷èñëèòüëîêàëüíóþ è ãëîáàëüíóþ ïîãðåøíîñòè. Òî÷íîñòü ýòîãî ìåòîäà íåâûñîêà. Åñëè äëèíà îòðåçêà11/h ⇒ ïîãðåøíîñòü O(h2 ) = O(h).h35ßâíûå ìåòîäû Ðóíãå-Êóòòà ðåøåíèÿ çàäà÷èÊîøèäëÿ ÎÄÓ. Ïðèìåðû.Ìåòîäû Ðóíãå-Êóòòû.85Ïðè ïîñòðîåíèè ñõåìû äëÿ ðåøåíèÿ äèôôóðà y 0 = f (x, y) âîçüìåì ýêâèâàëåíòíîå (âïðåäïîëîæåíèè ãëàäêîñòè ðåøåíèÿ) óðàâíåíèåxZn+1y(xn+1 ) = y(xn ) +f (x, y(x))dxxnè çàìåíèì èíòåãðàë ïðè ïîìîùè êàêîé-íèáóäü êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû, óçëû êîòîðîé ëåæàòíà îòðåçêå [xn , xn+1 ]nXyn+1 = yn +p i ki .i=1Çäåñü pi âåñîâûå êîýôôèöèåíòû êâàäðàòóðû, ki ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f (x, y(x))íà îòðåçêå [xn , xn+1 ].
Ýòî è åñòü ìåòîäû Ðóíãå-Êóòòû.Îäèí èç ñïîñîáîâ âûáîðà ki :k1 = hf (x, y),k2 = hf (x + α2 h, y + β2,1 k1 ),k3 = hf (x + α3 h, y + β3,1 k1 + β3,2 k2 ),...........................Çäåñü x = xn , y = yn . Ýòî ÿâíûå ñõåìû Ðóíãå-Êóòòû. Ñóùåñòâóþò òàêæå íåÿâíûå ñõåìûÐóíãå-Êóòòû,èìåþùèå áîëüøèé çàïàñ óñòîé÷èâîñòè, íî î÷åíü ðåñóðñîåìêèå â ðåàëèçàöèè(çäåñü íå ðàññìàòðèâàþòñÿ).Äîñòîèíñòâà ìåòîäîâ:îäíîøàãîâûå,ëåãêî ìåíÿòü øàã èíòåãðèðîâàíèÿ,ñòàíäàðòíîå íà÷àëî ðàñ÷åòà, ò.å.
ôîðìóëû îäèíàêîâûå êàê äëÿ ïåðâîãî øàãà, òàê è äëÿëþáîãî ïîñëåäóþùåãî.Íåäîñòàòêè ìåòîäîâ:òðåáóåòñÿ ìíîãî ðàç âû÷èñëÿòü çíà÷åíèå ôóíêöèè f (x, y) â ðàçíûõ òî÷êàõ äëÿîñóùåñòâëåíèÿ î÷åðåäíîãî øàãà.Êàê ïðàâèëî, âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé ôóíêöèè î÷åíü äîðîãîñòîÿùàÿ îïåðàöèÿ, ì.á.òðåáóþùàÿ ðåøåíèÿ ñïåöèàëüíîé çàäà÷è - íàïðèìåð, çàïóñê äîìíû â îïðåäåëåííîì ðåæèìåè ñíÿòèå ïîêàçàòåëåé êà÷åñòâà ÷óãóíà.  ìåòîäàõ Ðóíãå-Êóòòû ðàç âû÷èñëåííûå çíà÷åíèÿôóíêöèè áîëüøå íèãäå íå èñïîëüçóþòñÿ.Ïîðÿäîê ìåòîäà - ýòî ïîðÿäîê ãëîáàëüíîé ïîãðåøíîñòè ìåòîäà Ðóíãå-Êóòòû.
Â÷àñòíîñòè, ÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà ÿâëÿåòñÿ ìåòîäîì Ðóíãå-Êóòòû ïåðâîãî ïîðÿäêà.Âñå ïàðàìåòðû pi , αi , βi,k ïîäáèðàþòñÿ èç ñîîáðàæåíèé ïîâûøåíèÿ ïîðÿäêà ëîêàëüíîéîøèáêè îòíîñèòåëüíî âåëè÷èíû øàãà. Åñëè øàã ïîñòîÿíåí xn+1 − xn = h, òî ãîâîðÿò îïîðÿäêå ìåòîäà s, åñëè ïîðÿäîê ëîêàëüíîé îøèáêè åñòü hs+1 , à ïîðÿäîê ãëîáàëüíîé îøèáêè- hs .Èç Ëåêöèé 16,17:Êëàññè÷åñêèé ìåòîä Ðóíãå.(4-é ïîðÿäîê îøèáêè = ãëîáàëüíîé ïîãðåøíîñòè)861yn+1 = yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )6k1k2k3k4= hf (xn , yn )= hf (xn + h/2, yn + 12 k1 )= hf (xn + h/2, yn + 12 k2 )= hf (xn + h, yn + k3 )(2 óçëà ñîâïàäàþò è ÿâëÿþòñÿ êðàòíûìè).Ãëîáàëüíàÿ îöåíêà ïîãðåøíîñòè: O(h4 ).
(Äëÿ ñèñòåìû - òî æå ñàìîå).Òðåáîâàíèå íåâîçðàñòàíèÿ îøèáêè â ïðèìåíåíèè ê ìîäåëüíîé çàäà÷å y 0 = λy, λ <0, |λ| À 1 äàñò óñëîâèå íà øàã:¯¯4 4¯3 32 2¯¯1 + hλ + h λ + h λ + h λ ¯ < 1 ⇒ h < 2, 785¯|λ|24 ¯622äëÿ ìîäåëüíîé çàäà÷è, ïðè|λ|êîòîðîì óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè âûïîëíåíî äëÿ ñõåìû Ýéëåðà. Àíàëîãè÷íî è äëÿ íåëèíåéíîéçàäà÷è¯ ¯¯ ∂f ¯∂f0< 0, ¯¯ ¯¯ À 1.y = f (x, y),∂y∂yÏîëó÷èëîñü íå ñèëüíîå óëó÷øåíèå ïî ñðàâíåíèþ ñ h <Òàêàÿ çàäà÷à íàçûâàåòñÿ æåñòêîé â ñìûñëå - "æåñòêîå" îãðàíè÷åíèå íà øàã.Ðàññìîòðèì ñèñòåìó èç m äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéy~0 = f~(x, ~y )Îïðåäåëåíèå.äèôôóðîâ íàçûâàåòñÿ æ¼ñòêîé, åñëè ñðåäè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíè鸷 Ñèñòåìà∂fièìåþòñÿ ñ.ç., ó êîòîðûõ âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü îòðèöàòåëüíà è ïî ìîäóëþÿêîáèàíà∂yjäîñòàòî÷íà âåëèêà.¸·∂fi= A(x), λj (A) − ñ.ç.
A(x)∂yj1. ∃ j : Re(λj ) < 0 è |Re(λj )| À 12. åñëè ∃ λk : Re(λk ) > 0, òî íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå óñëîâèÿ: Re(λk ) ∼ 1. Ò.å. òðåáóåòñÿ,÷òîáû ïîëîæèòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé áûëè áû íåâåëèêè.Ýòî òðåáóåòñÿ äëÿ óñòîé÷èâîñòè ñàìîé çàäà÷è Êîøè äëÿ ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüí.óðàâíåíèé.Åñëè âûïîëíåíû 1, 2, òî äëÿ óñòîé÷èâîñòè ïîÿâèòñÿ óñëîâèå íà h.Ìåòîä Ðóíãå-Êóòòà 2 ïîðÿäêà.87yn+1 = yn + 1/2(k1 + k2 ), ãäåk1 = hf (xn , yn )k2 = hf (xn + h, yn + k1 )Äëÿ ìîäåëüíîé çàäà÷è1yn = yn−1 + (k1 + k2 ) =21= yn−1 + (λhyn−1 + λh(yn−1 + λhyn−1 )) =2¶µ(λh)2yn−1 = ... == 1 + λh +2}{z|('ðàçëîæ. eλh )¶nµ(λh)2y0= 1 + λh +2¶nµ(λh)2ε.Äëÿ âîçìóùåííîé çàäà÷è ȳ0 = 1 + ε ⇒ ȳn = yn + 1 + λh +2¯¯¯(λh)2 ¯¯< 1 ïðè óñëîâèèè λ < 1.! íàäî: ¯¯1 + λh +2 ¯(λ > 1 ⇒ | · | > 1 è óñòîé÷èâîñòè íåò)2- óñëîâèå òî æå, ÷òî è äëÿ ìåòîäà Ýéëåðà.ïîëó÷èì: h <|λ|Ýòî èññëåäîâàíèå äëÿ ìîäåëüíîé çàäà÷è.
Äëÿ ïðîèçâîëüíîé çàäà÷è ìîæíî ïðîâåñòèëèíåàðèçàöèþ è ïðèìåíèòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ê ëèíåàðèçîâàííîé çàäà÷å. Åñëè òàêîåóñëîâèå äëÿ ëèíåàðèçîâàííîé çàäà÷è íå âûïîëíÿåòñÿ, òî è äëÿ íåëèíåàðèçîâàííîé çàäà÷èóñòîé÷èâîñòè ìîæíî íå æäàòü.36Ïðàêòè÷åñêèå ñïîñîáû îöåíêèïîãðåøíîñòè ÿâíûõ ìåòîäîâ Ðóíãå-Êóòòàðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ ÎÄÓ.Ñïîñîáû àâòîìàòè÷åñêîãî âûáîðà øàãà.Èç Ëåêöèè 17:Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäà Ðóíãå-Êóòòà.Ïóñòü çàäà÷à íåæåñòêàÿ, íåò îøèáîê íà÷àëüíûõ äàííûõ è îøèáîê îêðóãëåíèÿ (ëèáî îíèî-î-î÷åíü ìàëåíüêèå).y(xn+1 ) − yn+1 = ψ(xn , yn )hs+1 + O(hs+2 )¯¯(s+1)- ëîêàëüíàÿ îøèáêà, y(xn ) = yn . Ôóíêöèÿ ϕϕ(0)¯¯1(s + 1)!îïðåäåëåíà â ëåêöèè 15(2).ãäå ψ(xn , yn ) =x=xn ,y=yn88Ãëîáàëüíàÿ îøèáêàEn+1 = y(xn+1 ) − yn+1y0 = y(x0 ) = 1En = z(xn )hs + O(hs+1 )Ñåòêà ðàâíîìåðíàÿ ñ øàãîì h.
z(.) - íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ì.á. âû÷èñëåíààíàëèòè÷åñêè:¾½Z xnZ xn∂f(τ, y(τ ))dτ dtz(xn ) =ψ(t, y(t)) · exp∂yx0tz(xn ) íå çàâèñèò îò øàãà h.Íà ïðàêòèêå ðàñ÷åòû âåäóò ñ êîíòðîëåì ïîãðåøíîñòè. Èñïîëüçóåòñÿ ïðàâèëî Ðóíãå.Ñíà÷àëà ïðîâîäÿò ðàñ÷åò ñ øàãîì h, çàòåì ïðèáëèæåíèå òîé æå âåëè÷èíû âû÷èñëÿþò ïîòîé æå ðàñ÷åòíîé ôîðìóëå çà äâà øàãà ñ h/2.hyn|xnh2|h2ȳn+1 - 1 ð.
ñ øàãîì hȳ¯n+1 - 2 ð. ñ øàãîì h/2|xn+11. y(xn+1 ) − ȳn+1 = C · hs + O(hs+1 )2. y(xn+1 ) − ȳ¯n+1 = C̃ · (h/2)s + O(hs+1 )C̃ ì.á. 6= C , íî ðàçíèöà ìåæäó íèìè íåâåëèêà è åå ìîæíî çàïèõíóòü â O(hs+1 ) ⇒ ñ÷èòàåìC = C̃.Èç 1, 2ȳ¯n+1 − ȳn+1+O(hs+1 )Chs =−s1−2}{z|âû÷èñëÿåòñÿ ÿâíîÌîæíî âû÷èñëèòü ïîãðåøíîñòü%(h) =ȳ¯n+1 − ȳn+11 − 2−sÅñëè òðåáóåòñÿ ðåøàòü çàäà÷ó ñ òî÷íîñòüþ ε, âû÷èñëÿåì %(h) è ñðàâíèâàåì |%(h)| ∨ ε (%(h)äîëæíà áûòü ñ ìíîæèòåëåì, òèïà øàã ê äëèíå îòðåçêà).• |%(h)| < ε âñå. Ðàñ÷åò âåäåòñÿ ñ ïðàâèëüíûì øàãîì.• |%(h)| > ε − h := h/2 (ñ òî÷íîñòüþ äî ìàëûõ áîëåå âûñ. ïîð.?) ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ, êàê ïðàâèëî, íà íà÷àëüíûõ îòðåçêàõ ðåøåíèå îñöèëëèðóåò,ïîòîì ñòàáèëèçèðóåòñÿ. Ìîæíî ïðèìåíèòü ðàññìîòðåííîå ïðàâèëî äëÿ óâåëè÷åíèÿ øàãà.Ñðàâíèâàåì ïîãðåøíîñòü ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ ε, è åñëè òî÷íîñòü "ñ çàïàñîì" óâåëè÷èâàåìøàã â 2 ðàçà.8937Óñòîé÷èâîñòü ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ÎÄÓ.Óñëîâíàÿ óñòîé÷èâîñòü ÿâíûõ ìåòîäîâ ÐóíãåÊóòòà.Ïðîñòåéøèå íåÿâíûå ìåòîäû.Ïîíÿòèå æåñòêèõ ñèñòåì ÎÄÓ.Óñëîâíàÿ óñòîé÷èâîñòü ÿâíûõ ìåòîäîâ Ðóíãå-Êóòòà óæå èçëîæåíà â 35 âîïðîñå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
