Ответы на экзаменационные вопросы (1163657), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Ïîñêîëüêóðàçíîñòíûå îòíîøåíèÿ àïïðîêñèìèðóþò ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ñî âòîðûìïîðÿäêîì, òî â öåëîì ïîëó÷èòñÿ àïððîêñèìàöèÿ O(h21 + h22 ), åñëè, êîíå÷íî, ïðàâàÿ ÷àñòüàïððîêñèìèðóåò çàäàííóþ ôóíêöèþ, íàïðèìåð, fij = f (xi , yj ).Îöåíêà ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè íà ýòîì çàêàí÷èâàåòñÿ. Îöåíêà ïîãðåøíîñòè âñìûñëå ñõîäèìîñòè - ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîáñòâåííûõ ÷èñåë äèñêðåòíîãîîïåðàòîðà Ëàïëàñà (= 47 âîïðîñ), íî àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû ìîæíî ïîëó÷èòü ïðè ïîìîùèïðèíöèïà ìàêñèìóìà è ýíåðãåòè÷åñêèì ñïîñîáîì. Ýòîò âîïðîñ ïîäëåæèò äîðàáîòêå.Ìåòîäàìè ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé íåòðóäíî íàéòè ñîáñòâåííûåôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ â òàêîé çàäà÷åvi+1 − 2vi + vi−1= λvi , 1 ≤ i ≤ N − 1,−h2v0 = vN = 0, N h = l.Äëÿ ýòîãî íàäî ñîñòàâèòü õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (êâàäðàòíîå), ïîëüçóÿñüãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè áûñòðî óáåäèòüñÿ, ÷òî êîðíè äîëæíû áûòü êîìïëåêñíîñîïðÿæåííûìè, íàïèñàòü îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ è óñëîâèÿ,êîãäà îíî ñóùåñòâóåò.
Ëó÷øå äàæå âûó÷èòü íàèçóñòü ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è:πkiπk (k)4., vi = sinλk = 2 sin2N2NhÑîáñòâåííûå ôóíêöèè, ðàçóìååòñÿ, îïðåäåëÿþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû, à ñîáñòâåííûåçíà÷åíèÿ çàíóìåðîâàíû â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ. Ïîëüçóÿñü ïåðâûì çàìå÷àòåëüíûì ïðåäåëîìëåãêî îöåíèòü ñíèçó ìèíèìàëüíîå ñ.÷.!Ãπh 2 ³ ´2sinππh42l,=λmin = λ1 = 2 sin2πhl2lh2lêîãäà h ¿ 1. Âèäíî, ÷òî ìèíèìàëüíîå ñîáñòâåííîå ÷èñëî îòäåëåíî îò íóëÿ êîíñòàíòîé, íåçàâèñÿùåé îò h.Èäåì äàëüøå. Äëÿ ñåòî÷íîãî àíàëîãà îïåðàòîðà Ëàïëàñà âîçüìåì ïðåäñòàâëåíèå â âèäåñóììû îïåðàòîðîâ −∆h = A1 + A2 .
Îïåðàòîðû A1 , A2 - îïåðàòîðû ðàçíîñòíûõ îòíîøåíèéïî x, y.  ñèëó òîãî, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à â ïðÿìîóãîëüíèêå, (î÷åíü âàæíî!) ýòèîïåðàòîðû ÿâëÿþòñÿ ïåðåñòàíîâî÷íûìè A1 A2 = A2 A1 (â íåïðÿìîóãîëüíûõ îáëàñòÿõ ýòîãîñâîéñòâà íå áûëî áû), êðîìå òîãî îíè ñàìîñîïðÿæåííûå è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûå.Äëÿ êàæäîãî èç íèõ ïðè ïîìîùè âñïîìîãàòåëüíîé ðàçíîñòíîé çàäà÷è äåëàåì âûâîä î òîì,êàêèå ó íèõ ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè. Âñïîìèíàåì àëãåáðó è ïîëó÷àåì,÷òî ó ñóììû ýòèõ îïåðàòîðîâ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ - ñóììû èõ ñ.÷., à ñ.ô. ó ñóììû- ïðîèçâåäåíèÿ ñ.ô.
ñëàãàåìûõ îïåðàòîðîâ. Òàêèì âîò îáðàçîì, ïîëó÷àåì ñîáñòâåííûåôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ðàçíîñòíîãî àíàëîãà îïåðàòîðà Ëàïëàñàπp4πk4,+ 2 sin2λkp = 2 sin22N22N1 h2h1πpjπki(kp),sinvij = sinN2N1k = 1, 2, ..., N1 − 1, p = 1, 2, ..., N2 − 1.122Ìèíèìàëüíîå ñîáñòâåííîå ÷èñëî åñòü λ11 > C > 0 è îòäåëåíî îò íóëÿ êîíñòàíòîé,íå çàâèñÿùåé îò h1 , h2 ïðè ìàëûõ øàãàõ ñåòêè. Îïÿòü âñïîìèíàåì ëèíåéíóþ àëãåáðó èïîëó÷àåì, ÷òî ñóùåñòâóåò îáðàòíûé îïåðàòîð (−∆h )−1 , ïðè÷åì ó îáðàòíîãî îïåðàòîðà ñ.÷.111< .
Îòñþäà ïîëó÷àåì äëÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû îöåíêó ðåøåíèÿ≤èçâåñòíû. ÝòîCλ11λkp1kuk ≤ kf k,cêîòîðàÿ â ñèëó ëèíåéíîñòè çàäà÷è ïî îïðåäåëåíèþ è åñòü óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû. ñèëó òîðåìû Ôèëèïïîâà è îöåíêè ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè ïîëó÷àåì ñõîäèìîñòüðàçíîñòíîé ñõåìû ñî ñêîðîñòüþ âòîðîãî ïîðÿäêà ïî îáîèì øàãàì h1 , h2 .47Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè äèñêðåòíîãîîïåðàòîðà Ëàïëàñà.Äëÿ äèñêðåòíîãî îïåðàòîðà Ëàïëàñà â ïðÿìîóãîëüíîé îáëàñòè ñ íóëåâûìè ãðàíè÷íûìèóñëîâèÿìè 1 ðîäàµ−∆u = −∂2u ∂2u+ 2∂y∂x2¶, (x, y) ∈ (0, l1 ) × (0, l2 ) = Ω, u|∂Ω = 0áåðåì ïðîñòåéøóþ ðàçíîñòíóþ àïïðîêñèìàöèþ íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå ñ øàãàìè h1 =l1 /N1 , h2 = l2 /N2−∆h u = −(ux̄x + uȳy )ij , 1 ≤ i ≤ N1 − 1, 1 ≤ j ≤ N2 − 1,u0,j = uN1 ,j = 0, 0 ≤ j ≤ N2 ,ui,0 = ui,N2 = 0, 0 ≤ i ≤ N1 .Îáû÷íî ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ âêëþ÷àþò â ñåòî÷íûé îïåðàòîð, óìåíüøàÿ ðàçìåðíîñòüïðîñòðàíñòâà ñåòî÷íûõ ôóíêöèé, òîãäà ïèøóò ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêèé îïåðàòîð â âèäå −∆h u,ïîíèìàÿ ïîä −∆h ìàòðèöó.Âñå èçëîæåííîå äàëåå â ýòîì âîïðîñå óæå èìååòñÿ â ïðåäûäóùåì 46 âîïðîñå.
Ýòîòâîïðîñ ïîäëåæèò äîðàáîòêå íà ñëó÷àé 3-õ ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ èëè äðóãèõ ñèñòåìêîîðäèíàò (ïîëÿðíîé, ñôåðè÷åñêîé, âàùå êðèâîëèíåéíîé è íåîðòîãîíàëüíîé, â çàâèñèìîñòèîò òîãî, ÷òî áóäåò íà ëåêöèÿõ)Ìåòîäàìè ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé íåòðóäíî íàéòè ñîáñòâåííûåôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ â òàêîé çàäà÷åvi+1 − 2vi + vi−1= λvi , 1 ≤ i ≤ N − 1,h2v0 = vN = 0, N h = l.−Äëÿ ýòîãî íàäî ñîñòàâèòü õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (êâàäðàòíîå), ïîëüçóÿñüãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè áûñòðî óáåäèòüñÿ, ÷òî êîðíè äîëæíû áûòü êîìïëåêñíî123ñîïðÿæåííûìè, íàïèñàòü îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ è óñëîâèÿ,êîãäà îíî ñóùåñòâóåò.
Ëó÷øå äàæå âûó÷èòü íàèçóñòü ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è:λk =πkiπk (k)4., v = sinsin2N2N ih2Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè, ðàçóìååòñÿ, îïðåäåëÿþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû, à ñîáñòâåííûåçíà÷åíèÿ çàíóìåðîâàíû â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ. Ïîëüçóÿñü ïåðâûì çàìå÷àòåëüíûì ïðåäåëîìëåãêî îöåíèòü ñíèçó ìèíèìàëüíîå ñ.÷.λminπh4== λ1 = 2 sin22lhÃsin πh2lπh2l!2³ π ´2l,êîãäà h ¿ 1. Âèäíî, ÷òî ìèíèìàëüíîå ñîáñòâåííîå ÷èñëî îòäåëåíî îò íóëÿ êîíñòàíòîé, íåçàâèñÿùåé îò h.Èäåì äàëüøå. Äëÿ ñåòî÷íîãî àíàëîãà îïåðàòîðà Ëàïëàñà âîçüìåì ïðåäñòàâëåíèå â âèäåñóììû îïåðàòîðîâ −∆h = A1 + A2 . Îïåðàòîðû A1 , A2 - îïåðàòîðû ðàçíîñòíûõ îòíîøåíèéïî x, y.  ñèëó òîãî, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à â ïðÿìîóãîëüíèêå, (î÷åíü âàæíî!) ýòèîïåðàòîðû ÿâëÿþòñÿ ïåðåñòàíîâî÷íûìè A1 A2 = A2 A1 (â íåïðÿìîóãîëüíûõ îáëàñòÿõ ýòîãîñâîéñòâà íå áûëî áû), êðîìå òîãî îíè ñàìîñîïðÿæåííûå è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûå.Äëÿ êàæäîãî èç íèõ ïðè ïîìîùè âñïîìîãàòåëüíîé ðàçíîñòíîé çàäà÷è äåëàåì âûâîä î òîì,êàêèå ó íèõ ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè.
Âñïîìèíàåì àëãåáðó è ïîëó÷àåì,÷òî ó ñóììû ýòèõ îïåðàòîðîâ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ - ñóììû èõ ñ.÷., à ñ.ô. ó ñóììû- ïðîèçâåäåíèÿ ñ.ô. ñëàãàåìûõ îïåðàòîðîâ. Òàêèì âîò îáðàçîì, ïîëó÷àåì ñîáñòâåííûåôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ðàçíîñòíîãî àíàëîãà îïåðàòîðà Ëàïëàñàπp4πk4,sin2+sin22N22N1 h22h21πpjπki(kp),sinvij = sinN2N1k = 1, 2, ..., N1 − 1, p = 1, 2, ..., N2 − 1.λkp =Ìèíèìàëüíîå ñîáñòâåííîå ÷èñëî åñòü λ11 > C > 0 è îòäåëåíî îò íóëÿ êîíñòàíòîé,íå çàâèñÿùåé îò h1 , h2 ïðè ìàëûõ øàãàõ ñåòêè. Îïÿòü âñïîìèíàåì ëèíåéíóþ àëãåáðó èïîëó÷àåì, ÷òî ñóùåñòâóåò îáðàòíûé îïåðàòîð (−∆h )−1 , ïðè÷åì ó îáðàòíîãî îïåðàòîðà ñ.÷.111< .≤èçâåñòíû. ÝòîCλ11λkp48×èñëåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è Äèðèõëåäëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà â ïðÿìîóãîëüíèêåñ èñïîëüçîâàíèåì áûñòðîãî ïðåîáðàçîâàíèÿÔóðüå.Ðåøåíèå äèñêðåòíîãî óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ðàçëîæåíèåì â äâóõêðàòíûé ðÿäÔóðüå.124Äëÿ óïðîùåíèÿ ïîíèìàíèÿ ñõåìû ìåòîäà Ôóðüå ïðèìåíèì ýòîò ìåòîä äëÿ ðåøåíèÿîäíîìåðíîé çàäà÷è−yx̄x = ϕ, y0 = yn = 0, h = 1/N ⇔ Ay = ϕ.Ðàçëîæåíèÿ íåèçâåñòíîé ôóíêöèè è ïðàâîé ÷àñòè ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì îïåðàòîðà A(îðòîíîðìèðîâàííîñòü íàì äàæå è íå ïîíàäîáèòñÿ) èìåþò âèäy=N−1Xdm y (m) ,ϕ=m=1N−1Xψm y (m) ,⇒ dm =m=1ψm,λmà ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå âåêòîðû (íåíîðìèðîâàííûå , íî êîíå÷íî æåîðòîãîíàëüíûå) íàì õîðîøî èçâåñòíû è âûçóáðåíû íàèçóñòüλm =πmkπm (m)4, m = 1, 2, ..., N − 1.,y= sinsin2N2N kh2Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íàäî âûïîëíèòü ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå äëÿïðàâîé ÷àñòè ïî áàçèñó ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà çàäà÷è, ïîäåëèòü êîýôôèöèåíòûÔóðüå íà ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà çàäà÷è è ñäåëàòü îáðàòíîåïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ.Äàëåå ðàññìàòðèâàåòñÿ äâóìåðíàÿ çàäà÷à â ïðÿìîóãîëüíîé îáëàñòè!!!Çäåñü âñå òî÷íî òàê æå, êàê â îäíîìåðíîé çàäà÷å, ïîñêîëüêó ñ.ô.
è ñ.÷. ñåòî÷íîãîîïåðàòîðà Ëàïëàñà èçâåñòíû.ui,j =NX1 −1 N2 −1X(m,n)ui,j dm,n ,m=1 n=1fi,j =NX1 −1 N2 −1X(m,n)ui,jgm,n , ⇒ dm,n =m=1 n=1gm,n.λm,nÅñëè N1 = N2 = N òî òðåáóåòñÿ O(N 4 ) àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé. Ïîñêîëüêó äëÿ òàêîãîáàçèñà âîçìîæíî áûñòðîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, â ñëó÷àå, êîãäà N åñòü ñòåïåíü äâîéêè,êîëè÷åñòâî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé ìîæíî óìåíüøèòü äî O(N 2 log22 N ).Ðåøåíèå äèñêðåòíîãî óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ðàçëîæåíèåì â îäíîêðàòíûé ðÿä.Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à îïÿòü â ïðÿìîóãîëüíèêå!−∆h u = (A1 + A2 )u = f.Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðîâ A1 , A2 èçâåñòíû.
Ïî îäíîé ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîéìîæíî ñäåëàòü ïåðîáðàçîâàíèå Ôóðüå. Ïóñòü A1 y (m) = λ(m) y (m) :ui,j =NX1 −1(m)dm (j)yi ,fi,j =m=1NX1 −1(m)fm (j)yim=1ãäåfm (j) =NX1 −1(m)h1 fi,j yii=1125, j = 1, 2, ..., N2 − 1,ïîëó÷àþòñÿ êàê ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ - îäíîìåðíûå, ïî ïåðâîìó íàïðàâëåíèþ.Ìíîæèòåëü h1 îáÿçàòåëåí äëÿ ñîãëàñîâàíèÿ íîðì. Ïîäñòàâëÿåì ðàçëîæåíèÿ â èñõîäíóþçàäà÷ó(A1 + A2 )u =NX1 −1(m)(A1 + A2 )yim=1dm (j) =NX1 −1(m)[(λ(m)I + A2 )dm (j)]yim=1=NX1 −1(m)fm (j)yim=1Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðàõ y (m) , ïîëó÷èì äëÿ êàæäîãî mñèñòåìó óðàâíåíèé ñ òðåõäèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé îòíîñèòåëüíî êîìïîíåíò âåêòîðà dm (j), j =1, 2, ..., N2 − 1 :(A2 + λm I)dm = fm , m = 1, 2, ..., N1 − 1.Êàæäàÿ òàêàÿ ñèñòåìà ðåøàåòñÿ ìåòîäîì ïðîãîíêè, à çàòåì ïî èçâåñòíûì êîýôôèöèåíòàìdm (j) âû÷èñëÿåòñÿ ðåøåíèå ui,j .Ìåòîä ïðîãîíêè áûñòðåå áûñòðîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, ïîýòîìó ïî ñðàâíåíèþ ñïðåäûäóùèì ñïîñîáîì (äâóêðàòíûé ðÿä Ôóðüå) êîëè÷åñòâî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèéìîæåò óìåíüøèòüñÿ äî O(N 2 log2 N ), åñëè N1 = N2 = N = 2p .49Ïîñòðîåíèå ðàçíîñòíîé ñõåìû ÷åòâåðòîãîïîðÿäêàòî÷íîñòè äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Äèðèõëåäëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà â ïðÿìîóãîëüíèêå.Èòåðàöèîííûé ìåòîä ðåøåíèÿ.Ïî àíàëîãèè ñ âîïðîñîì 47 äëÿ ñåòî÷íîãî àíàëîãà îïåðàòîðà Ëàïëàñà âîçüìåì ïðåäñòàâëåíèåâ âèäå ñóììû îïåðàòîðîâ −∆h = A1 + A2 , ãäå A1 , A2 - îïåðàòîðû ðàçíîñòíûõ îòíîøåíèéïî x, y.
 ñèëó òîãî, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à â ïðÿìîóãîëüíèêå, (î÷åíü âàæíî!) ýòèîïåðàòîðû ÿâëÿþòñÿ ïåðåñòàíîâî÷íûìè A1 A2 = A2 A1 (â íåïðÿìîóãîëüíûõ îáëàñòÿõ ýòîãîñâîéñòâà íå áûëî áû), êðîìå òîãî îíè ñàìîñîïðÿæåííûå è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûå.Äëÿ êàæäîãî èç íèõ èçâåñòíû ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè.
Ó ñóììû ýòèõîïåðàòîðîâ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ - ñóììû èõ ñ.÷., à ñ.ô. ó ñóììû - ïðîèçâåäåíèÿ ñ.ô.ñëàãàåìûõ îïåðàòîðîâ.Äëÿ çàäà÷è −∆u = f â ïðÿìîóãîëüíèêå ñ íóëåâûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî ðîäàñëåäóþùàÿ ðàçíîñòíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ èìååò ÷åòâåðòûé ïîðÿäîê (ñì. çàäà÷íèê, ÷. 1, çàäà÷à4.39)h2h2(A1 + A2 − A1 A2 )u = f − (A1 + A2 )f.126Ñëåäóþùàÿ ðàçíîñòíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ èìååò øåñòîé ïîðÿäîê(A1 + A2 −h4h4h2h2(A21 + A22 )f − A1 A2 f.A1 A2 )u = f − (A1 + A2 )f +90240126 ýòîé çàäà÷å ïåðåìåííûå äåëÿòñÿ (ìîæíî ïðèìåíèòü ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ),h2A1 A2 èçâåñòíû. Ò.å.ïîýòîìó âñå ñïåêòðàëüíûå ñâîéñòâà îïåðàòîðà A1 + A2 −6126èçâåñòíû ãðàíèöû ñïåêòðà, ïîýòîìó äëÿ âñåõ èçó÷åííûõ èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ (ìåòîäïðîñòîé èòåðàöèè ñ îïòèìàëüíûì ïàðàìåòðîì, ëèíåéíûé îïòèìàëüíûé ïðîöåññ, ìåòîäíàèñêîðåéøåãî ñïóñêà è äð.) ìîæíî âûïèñàòü ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè.
×òî êîíêðåòíî áóäåòíà ýêçàìåíå çàâèñèò îò òîãî, ÷òî áóäåò ïðî÷èòàíî íà ëåêöèÿõ. Êðîìå òîãî, äëÿ ýòèõçàäà÷ ñóùåñòâóþò ñïåöèàëüíûå ìåòîäû - ìåòîä ïåðåìåííûõ íàïðàâëåíèé, ïîïåðåìåííîòðåóãîëüíûé ìåòîä è äð. ñì. [1] è äðóãèå êíèãè ïî ÷èñëåííûì ìåòîäàì.127.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
