Н.Н. Сунцов - Методы аналогий в аэрогидродинамике (1163179), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(2.46) $ 2 3] урлэнвния потвнцилльного движения газа 37 ф нкции г и р удовлетворяют уравнениям Коши — Римана' эа д~ (2.47) Переходя в уравнениях (2.40) от а и р к переменным Р и ж будем иметь — =-~к —,, дт — д~ ди дч ' —, = — у'к —. дт — дф дч ди ' (2.48) (' /' 1 — 0 Ю (2.49) Введем далее обозначение Ш Л вЂ” — ее а (2.50) где те †«фиктивная скорость», а Л вЂ коэффицие этой «фиктивной скорости».
Используя (2.49) и (2.50), можно установить связь между Л и Л г). 1'а+1 ээ + 1)э а (Ь вЂ” и)» а (и+1)э 1Ф вЂ” 1 где Д вЂ” 1 ' '" А — 1' 1 )~ (2Л) у рр р (24Э) с учетом обозвэченмя (2.60). ' Если ввести коэффициент скорости Л= —, то из ураза„, пения (2,36), используя уравнение (2.30), найдем 88 основнын угавнвния аэвогидводинамики !гл. и Результаты расчетов по формуле (2.51) представлены в таблице 2.
Там же приведены значения у К=Я). Таблица 2 Связь между коэффициентами скорости Л н Л Как видно из таблицы 2, при 0 ( Л ( 0,4 значения Л и Л практически совпадают. Расхождения между значениями Л и Л становятся значительными только в промежутке О,бл Л(!. Метод С. А.
Христиановнча решения задачи об обтекании профиля дозвуковым газовым потоком заключается в следующем. Пусть исследуемый профиль обтекается в плоскости (н, т) потоком несжимаемой жидкости. Коэффициент скорости в набегающем потоке будет Л . Движение жидкости будет описываться уравнениями (2.47). Этот поток несжимаемой жидкости Христиаиович называет «фиктивным потоком».
Решая уравнения (2.47), находим: з=!па=а(Р, т), р=~(р,, т), т. е. а и р можно рассматривать соответственно как логарифм вектора скорости и угол. составляемый этим вектором с осью абсцисс, для некоторого потока несжимаемой жидкости, обтекавшего заданный контур на плоскости Р, ч. 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,5 0,55 0,60 0,625 0 0,0500 0,0998 0,1493 0,1983 0,2467 0,2943 0,34! 0 0,3862 0,4307 0,4734 О:,5144 0,5535 0,5722 1 1 1 0,9999 0,9996 0,9991 0,9982 0,9965 0,9940 0,9899 0,9840 0.9754 0,9632 0,9553 0,650 0,675 0,700 0,725 0,750 0,775 0,800 0,825 0,850 0,875 0,900 0,925 0,950 0.975 1 0.5904 0,6080 0,6251 0,6413 0,6568 0,6717 0,6857 0,6988 0,7110 0,7223 0,7324 0,7413 0,7488 0,7546 0,7577 0,9461 0,9350 0,9221 0,9068 0,8925 0,8672 0„8416 0,8156 0,7740 0,7271 0,6768 0,6015 0,5092 0,3728 0 ~ 2 4) характВРистики УРАВнений гАзоВой динАмики 39 8 2.4.
Характеристики уравнений газовой динамики )(ак уже указывалось выше, при сверхзвуковых скоростях уравнение .для потенциала скоростей относится к уравнениям гиперболического типа и поэтому обладает действительными характеристиками. Будем рассматривать плоское безвихревое движение газа и допустим, что кривая Е с уравнением у =у (х) есть характеристика для данного движения. Запишем производные по х от тв и тв„ вдоль линии (,: — = — +— тйи„дзв, да~, ду Фх дх ду дх ' (2.52) айва дв давя ду — + —— их дх ду дх ' (2. 53) и будем рассматривать систему из четырех уравнений (2.52), (2.53), (2.28) и последнее из уравнений (2.3).
Поскольку Е есть характеристика, то из этой системы уравнений невозможно однозначно определить четыре производные дюе дтвв дюу дзиу — —, — и †. Аналитически это запишется дх ' ду ' дх ду в виде равенства нулю двух определителей '): (а — ы~~) Фу + ж зв дх дх (а — ы~~) ну+та тв 0х дх — зи зв ву — (а — тв )и'х! х У У =,О (254) ду ~-О. (2.55) ~йо, т) Определители(2.54) и(2.55) составлены нз коэффициентов при дж . дзиу частных производных — и — н свободных членов в уравнеду ду дтвв дзиу нива (2.28) и (2.3) после подстановки в них значений — и— дх дх из уравнений (2.52) и (2ЛЗ). Далее дла опРеделеннЯ фУнкций ~Р и ф необходимо Решить уравнения (2.48).
После того, как решение уравнений (2.48) „айдеио, представляется возможным установить связь между точками в плоскости р, ч и плоскости х и у, т. е. определить форму профиля, обтекаемого газовым потоком. 40 ОсновныВ уРАВнения АЭРОгидРОдинАмики [гл. 11 Раскрывая определитель (2.54), приводя подобные члены и разрешая полученное квадратное уравнение относительно —, яу вх ' получим пу 3В.Звука т' 3В3 — а3 я'х 3эх — Ю 3 3 (2.56) Соотношение (2.56) представляет собой дифференциальное уравнение характеристик в плоскости течения хг у. Из этого уравнения видно, что через каждую точку плоскости х, у проходят две характерйстики, которые носят название характеристик первого и второго семейства.
Форма характеристик в плоскости течения зависит от граничных условий задачи. В дальнейшем будем называть характеристикой первого семейства ту, которой отвечает знак плюс перед корнем в формуле (2.56), и характеристикой второго семейства ту, которой отвечает знак минус. Будем писать соответственно: < хУ '1, 3В 3ВР+ аУ 3Э3 — Ая нх ~ < АУ '1, и хшу — а)~ 3Э3 — а3 — =У = в'х т'3 3 3эх 3 3 (2.57) (2.58) Для получения уравнений характеристик в плоскости годографа скорости обратимся к определителю (2.55). Раскрывая этот определитель и используя (2.57) и (2.58), получим для характеристики первого семейства ~~ | ~ | |~ ~ х В ~ ~ ~ ~ ~ а ~ 3 ~ 2 (2.59) и для характеристики второго семейства < ВЗЭ ~ 1 3вх — а (2.60) Таким образом, через каждую точку плоскости годографа скорости также будут проходить две характеристики.
Следовательно, и плоскость течения х, у и плоскость годографа скорости ш , тву покрыты ортогональными друг другу сетками характеристик, как это видно из (2.59) и (2.60). $2.4) хапдктзгистики УРАвниний газовой диилмики 41 Из (2.59) и (2.60) видно также, что, в отличие от характеристик в плоскости течения, характеристики в плоскости годографа скорости ие зависят от граничных условий задачи.
Поэтому уравнения (2.59) и (2.60) могут быть проинтегри- Рис. 5. Эпициклоиды. рованы раа и иавсегда. Для этого удобнее перейти к поляр- ным координатам а~, р, так что тв = и соз р, тв„= тв з)п р. (2.61) После подстановки (2.61) в (2.59) и (2.60) и простых пре- образований будем иметь сф~сфр — =О, лм (2.62) где р = агсз1п — = агсз(п — . В уравнении (2.62) знак минус и 1 М' относится к характеристике первого семейства, знак плюс— 42 ОСНОВИЫЕ УРАВНЕНИЯ АЭРОГИПРОДИНАМИКИ [ГЛ. Н к характеристике второго семейства.
Интегрируя (2.62), получим Р= — Ь «~« ""«~» «.««[/ и«~ — а~ — агс1н $/ " ~+ сопз1. (2.63) «-А+1- ! Уравнение (2.63) представляет собой уравнение эпициклоиды в полярных координатах тэ, р, которую можно получить, следа 11 / «+1 за движением точки окружности радиуса — ф — — 1) а., 2 1, Р' катя!цейся по кругу с радиусом тэ = а,.
Таким образом, в случае безвихревого движения газа характеристики в плоскости (щ , тэя) всегда являются эпициклоидами, располагающимися в кольце .Г я+1 а, (н«( )« — а,. На рис. 5 показаны две такие эпицнклоиды, проходящие через точку А. $ 2.6. Основные соотношения для скачков уплотнения В газовом потоке, движущемся со сверхзвуковой скоростью, могут возникать узкие области, при проходе через которые происходит резкое увеличение давления, плотности и температуры газа. Скорость газа столь же резко уменьшается.
Ширина таких областей ничтожно мала (1Π— 1О см), поэтому ею вполне можно пренебречь и рассматривать' скачкообразное изменение параметров газа на некоторой поверхности. Такие поверхности получили название поверхностей сильного разрыва, или скачков уплотнения. На рис. 6 изображена схема так называемого косого скачка уплотнения. Индексом ! обоаначены параметры газа перед скачком, индексом 2 — за скачком; 0 †уг наклона скачка по отношению к скорости набегающего потока. а †уг поворота газа в скачке.
ф 2.5] основиыв соотношвния для скачков яплотнвния 43 Рис. б. Схема косого скачка уплотнения. ния, которые должны выполняться в скачке уплотнения. Этими уравнениями будут: уравнение сплошности (2.64) Рггигя = Ргтягм уравнение количества движения в проекции на нормаль к скачку РЛ'гг Ргтигв — Рг Рг (2.65) уравнение количества движения в проекции на касательную к скачку р ташшы — р гигмтягг = О, (2.66) уравнение энергии й Р, +гя, Ф Рг гаг Л вЂ” 1р, 2 а — 1рг 2' Из (2.64) н (2.66) следует, что гиг„— — тяг„т.
е. в скачке Уплотнения терпит разрыв только нормальная составляющая (2.67) Частным случаем косого скачка является прямой скачок, когда 0= — и скорость газа в скачке уплотнения меняет 2 лишь свою величину, но не направление, т. е. и=О. Движение газа как до скачка уплотнения, так и аа ним будем считать изоэнтропийным и запишем основные уравне- 44 ОСНОВНЫЕ УРАВНВНИЯ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ (ГЛ. П Иа уравнения (2.68) следует, что в скачке уплотнения, наряду с другими параметрами, терпит разрыв и энтропия, так как в случае нзоэнтропийного процесса отношение лавлений было бы связано с отношением плотностей уравнением изоэнтропы (2.69) Если при ивоэнтропийном сжатии бесконечное повышение давления вызывает и бесконечный рост плотности, то в скачке уплотнения, как это видно из (2.68), при — -л со Ря РА р, а+1 Рт ~:1' Если иа системы уравнений (2.64), (2.65) н (2.67) исключить давления и плотности, то мы получим уравнение, дающее связь между составляющими скорости в скачке уплотнения: а а в 1 а тва эз — — а,— — лв л л= (2.70) йля прямого скачка уплотнения (ли=та„, ние (2.70) принимает вид чвзтв, = а,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
