Н.Н. Сунцов - Методы аналогий в аэрогидродинамике (1163179), страница 6
Текст из файла (страница 6)
д~ф дгф 1 дф дх' дг' г дг ' (2.19) ф 2.2. Распространение малых возмущений в сжимаемой среде В несжимаемой жидкости любые воамущения в виде изменения давления распространяются с бесконечно большой скоростью. Если среда сжимаема, то скорость распространения возмущений будет конечна. Малые упругие возмущения в сжимаемой среде распространяются со скоростью звука, величина которой определяется формулой Ир (2. 20) йля того чтобы вычислить производную, входящую в формулу (2.20), необходимо знать связь между давлением и плотностью. Так как процесс изменения состояния в звуковой волне является изоэнтропийным, то связь эта дается уравнением изоэнтропы. Если в качестве сжимаемой среды рассматРивать идеальный газ, то Уравнение изоэнтропы будет иметь вид — = сопз1, Р рь (2.21) поэтому функция тока осесимметричного потока будет определяться следующими соотношениями: 1 дф 1 дф г дг' " гдх' 30 основные ррлвнвния лэрогидродиилмики [гл.
и где й = — , с — теплоемкость при постоянном давлении, ся р с,— теплоемкость при постоянном объеме. Используя (2.21), находим„ что лр йр лг и, следовательно, формула (2.20) для скорости авука в слу- чае идеального газа принимает вид а=ф~ —. Р (2. 22) Теплоемкость газа, а следовательно и показатель изоэнтропы й, зависит от температуры, причем с ростом температуры теплоемкость растет, а и несколько уменьшается.
Однако в газовой динамике обычно пренебрегают вависимостью тепло- емкости от температуры и считают ее величиной постоянной для данного газа. При этом и и будет постоянным. Покааатель изоэнтропы для одноатомного газа й=1,67, для двух- атомного газа й=1,4, для трехатомного газа 4=1,33. Скорость распространения возмущения в движущейся среде относительно неподвижной системы координат складывается из двух частей: во-первых, воамущение «сносится» потоком газа со скоростью чп и, во-вторых, распространяется относительно газа со скоростью а в некотором направлении, характеризуемом единичным вектором ме.
Рассмотрим для простоты однородный поток жидкости со скоростью чв. Пусть в некоторой неподвижной точке О газ подвергается малому возмущению. Скорость ям+ алз распространения возмущения, исходящего из точки О, имеет различные аначения в зависимости от направления мз. Все возможные значения этой скорости мы получим, отложив из точки О вектор чм и построив ив его конца как из центра сферу радиуса а; векторы, проведенные нз точки О в точки втой сферы, определяют возможные величины и направления скорости распространения возмущения. Допустим сначала, что тс ( а. Тогда векторы чв+амз могут иметь любое направление в пространстве (рис. 4, а). Следовательно, в дозвуковом потоке возмущение, исходящее из некоторой точки, распространяется в нонце концов по всему газу.
В сверхзвуковом потоке чв ) а и направления ф 2.2) 'РАспРОстРАнение малых возмащений 31 векторов ям+ аме могут лежать только внутри конуса с вершиной в точке О, касающегося построенной из конца вектора ев как из центра сферы радиуса а (рис. 4, б). Таким образом, в сверхавуковом потоке возмущение, исходящее иа некоторой точки, распространяется только по течению внутри конуса, нззываемого конусом возмущений.
На всем потоке вне этого конуса возмущение, возникшее в точке О, вовсе не отразится. Рис. 4. Распре«гранение упругих возмущений в газе. Как видно из рис. 4, б, половина угла при вершине конуса возмущений, называемая углом возмущений, определится равенством р, = агсз!п — = агсз!п —, а 1 ю аа' (2.23) где М= —. а Поверхность конуса возмущений называется поверхностью возмущений или характеристичесцой поверхностью. Образующие конуса возмущений носят название линий возмущения или характеристик. Из формулы 12.23) видно, что при М=1 р= —, т. е.
конус воамущений «раскрывается» в плоскость, отделяющуЮ возмущенный поток от невозмущенного. С ростом числа М р уменьшается, и при М-+со р-ч О. 32 основныв «равнения аэгогидродинамикн 1гл. и $2.3. Уравнении потенциального движения газа дв дв 1 др а 1„,« '«дх+ "ду рдх' дв«дв«1 др « дх + « ду = р ду (2. 27) Подставляя — — и — — согласно (2.27) в уравнение (2.26), 1др 1др рдх р ду получим Заменяя в (2.28) в , ю« их значениями через потенци л скоростей по формулам (2.1), будем иметь Скорость звука, входящая в уравнение (2.29), также может быть выражена через потенциал скоростей.
Уравнение энергии для изоэнтропийного течения газа имеет вид иа в а+1 аз Д вЂ” 1 2 я — 1 2' (2. Зо) В случае плоского установившегося движения газа уравнение сплошности имеет вид д (рв«) д (ри «) + — "=о. дх ду (2.24) Подставляя в (2.24) значения т« и ю« по формулам (2.1), получим д (Р д )+ д (Р д )=О. (2.26) Считая движение газа изоэнтропийным и имея в виду формулу (2.20) для скорости звука, можем переписать уравнение (2.24) так: гдв. два~ 1 д«1 др ая( — + — «)+ — — в + — — в = О. (2.26) 1,дх ду) рдх «рду Движение невязкого газа описывается дифференциальными уравнениями Эйлера, которые, если пренебречь объемными силами, запишутся в виде $2.3) яаавнзния потвнциального движвння глзл 33 где а,— критическая скорость, т. е.
скорость газа, равная местной скорости звука. Из (2.30) следует Подставляя вто значение аа в уравнение (2.29), будем иметь — 2 — — — = О. (2. 31) дт дт дгт дх ду дхду Таким образом, в газовом потоке потенциал скоростей удовлетворяет значительно более сложному уравнению, чем в потоке несжимаемой жидкости. Основная сложность урав- заключается в том, что оно нелинейное. мости от соотношения между скоростью газа и вука уравнение (2.31) принадлежит к различным ференциальных уравнений.
Так, при ш ( а, т. е. и потоке, уравнение для потенциала скоростей к уравнениям зллиптического типа. В сверх- токе (~п ~ а) это уравнение относится к гипер- типу. кого газового потока также может быть введена а, определяемая соотношениями Ро дФ Ро дф р ду' Я г дх' (2.32) ность в какой-либо фиксированной точке потока, ой, где скорость равна нулю. еднться, что соотношения (2.32) обращают урана ности (2.24) в тождество.
для функции тока в случае потенциального за получим, подставив значения ш и тля по 32) в условие (2.3) отсутствия вихрей в потоке: н. н. ст я з 34 основныэ тгавнвния аээогидгодинамики (гл. и Выполняя преобразования, аналогичные тем, которые были сделаны для потенциала скоростей, можно привести уравнение (2.33) к виду Г '-(ФНФ+à — 1Й)']Й+ Уравнение (2.34), так же как и уравнение для потенциала скоростей, является нелинейным. С. А.
Чаплыгин разработал способ преобразования уравнений для потенциала скоростей и функции тока плоского газового потока в линейные уравнения. Этот способ преобравования уравнений заключается в том, что вместо независимых переменных х и у вводятся новые независимые †величина вектора скорости ш и угол р, который составляет вектор скорости с осью х, так что теперь у = э (тэ, р), ф=ф(тэ, р). После перехода к новым независимым переменным уравнения для 4 и ф принимают вид Уравнения (2.35) называются уравнениями Чаплыгина ') для плоского потенциального движения газа. В отличие от уравнений (2.28) и (2.34) уравнения (2.35) являются линейными дифференциальными уравнениями.
В уравнениях Чаплыгина осуществлен переход от плоскости течения л, у к плоскости годографз скорости ш , вэ, переменные то и р являются полярными, координатами этой плоскости. Уравнения (2.35) справедливы лишь для движений газа с дозвуковыми скоростями, так как лишь при яв ( а переход ет независимых переменных х, у к независимым переменным яв, р является взаимно однозначным. Уравнениям (2.35) можно придать форму, более близкую к форме уравнений, связывающих потенциал скоростей и функцию тока в случае движения несжимаемой жидкости г) Чаплыгин С.
А., О газовых струях, Избранные труды по механике и математике, 1954. $ 2.3) Ргавнвния потвнцилльного движения глаз ЗЬ (уравнения (2 !5)). Введем для этого новую независимую переменную з, определяемую соотношением 22З 1 / 2Я2 — - — У1 д2я 2я У а2 ' (2.36) Уравнения (2.35) принимают при этом вид др . 1 / 2я2 дф — — — 1 — — —, да р У а2 др ' дт 1 / 2в2 дф — — ! — — —. дд р У а2 да (2.37) Для того чтобы привести коэффициент при производной от ф к безразмерному виду, введем вместо функции тока ф новую 1 функцию ф= — ф; тогда будем иметь Ре да р У * а2 да ' (2.38) др Ре -/ 2я' дф дд р а2 да ' Введя обозначение У Р( Р2~/ (2.39) можем переписать уравнения (2.38) в виде — = — 'У'к —. дт — дф да д~ ' дз 2 дз (2.40) В изоэнтропийном газовом потоке 02 (! + М2) И мея в виду (2.41), можем переписать формулу (2.39) в виде 2 УР( (!+ ' М')в 'УТ вЂ” М'.
(242) (2.41) основныв таланкина азвогндзодинамики 1гл. и В таблице 1 приведены значения у'К, рассчитанные по формуле (2.42), при й=!,4. Таблица 1 Значения величины Г' К для разных М Из таблицы ! видно, что при малых М значение у'К очень близко к единице. Если положить у' К= 1, то уравнения(2.40) обращаются в уравнения Коши — Римана: дт дф дт дф дз дд ' дР дв ' (2.43) Из (2.43) следует, что функции о и ф в переменных г и р удовлетворяют уравнению Лапласа: — + — =О, дто дтт двв дрз (2.45) т) Хрис.тианович С. Ая Обтекание тел газом прн больших дозвуковых скоростях.
Труды ЦАГИ, вып. 481, 1940. Таким образом, переход от физической плоскости (плоскости течения) х, у к плоскости годографа скорости ш , твв позволяет перейтн от нелинейных уравнений газовой динамики к линейным уравненияьь Однако зтот переход сопряжен с одним существенным недостатком, который заключается в том, что трудно найти решение в плоскости годографа, удовлетворяющее заданным граничным условиям в физической плоскости. Следуя С. А. Христиановичу'), введем комплексную функцию а — 1р от комплексного переменного р+Рк з — Ф =У(р+1т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
