Н.Н. Сунцов - Методы аналогий в аэрогидродинамике (1163179), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Эти гальванические токи делятся на две категории. Во-первых, токи, текущие по всем вихревым нитям рассматриваемого течения в сторону вектора ы, с силой тока, равной отношению напряжения вихревых нитей к 2к. Во-вторых, токи, текущие на граничных поверхностях пространства У по линиям, ортогональным шв ФЗ линиям тока. с силой тока †, где яв — тангенциальная 4я л скорость жидкости на граничных поверхностях, дЯ вЂ” расстояние между двумя бесконечно близкими ортогональными линиями. Направление этих токов мы получим поворотом скорости тп по часовой стрелке на прямой угол около внутренней нормали и.
Изложенное выше представляет собой содержание так навываемой теоремы Бельтрами и является теоретическим обоснованием электрогидродинамической и магнитогидродинамической аналогий. Если рассматривать движение несжимаемой жидкости, то в силу уравнения сплошности (2.5) Я= О. Если к тому же движение безвихревое, то в силу условий (2. 3) 7. = М = М = О. При этом уравнения (3.17) принимают вид 56 элвктгогидгодинлмичвская аналогия (эгда) [гл. ш ф 3.2.
Установление аналогов Рассмотрим движение электрического тока. Закон Ома, связывающий силу тока с вызывающей его разностью потенциалов, запишем в дифференциальной форме: дУ с —, дх ' дУ с —, ду ' дУ с —. дг ' (3.19) (3.201 дг дгя дг, дх ду да — + — + — *=О. Подставляя (3.!9) в (3.20), получаем Если электропроводность среды постоянна, то это уравнение принимает вид дУ дУ дУ (3.21) Сравним уравнения (3.19), (3.20) и (3.21) с уравнениями (2.1), (2.5) и (2.6) потенциального движения несжимаемой жидкости. В результате сравнения убеждаемся, что электрический потенциал У аналогичен потенциалу скоростей ! а удельная плотность электрического тока — аналогична скос рости жидкости м. Электрический потенциал У и потенциал скоростей удовлетворяют.
одному и тому же уравнению — уравнению Здесь ! — плотность тока, т. е. количество электричества протекающее в ! секунду через единицу перпендикулярного току сечения проводника; 1, 1„, 1, †проекц плотности тока на оси координат; У вЂ электрическ потенциал; с †коэффициент электропроводности (величина, обратная удельному сопротивлению). По закону Киркгоффа уравнение сплошности электрического тока имеет вид $ 3.21 гстановлзниз аналогов бу Лапласа. Если область течения электрического тока геометрически подобна области течения жидкости, а граничные условия в обеих областях для У и для ~у аналогичны, то интегралы уравнений Лапласа для этих функций будут отличаться лишь произвольиымн постоянными, т. е.
У(х, у, я) = К~<у (х, у, г)+ сопз1'). (3.22) Из (3.22) видно, что эквипотенциальные поверхности в электрическом поле У(л, у, з)=сопз1 соответствуют эквнпотенцнальным поверхностям в потоке жидкости э(х, у, г) = =сопз1. При этом будет иметь место и соответствие линий, ортогональных эквипотенциальным поверхностям, т. е силовые линии в электрическом поле будут соответствовать линиям тока в потоке жидкости. Из (3.22) следует также, что в соответствующих точках электрического поля и потока жидкости будут иметь место равенства 1 =,— Ксю, 1„= — К сгзз, (3.23) 1, = — К,сгз,.
Мы рассмотрели общий случай трехмерного движения электрического тока и несжимаемой жидкости. Рассмотрим далее, как частный случай, плоское движение. Совершенно очевидно, что указанная выше аналогия будет иметь место и для плоского движения. Однако для плоского движения может быть установлена и несколько иная аналогия.
Допустим, что движение электрического тока происходит в проводящей среде толщиной и. При этом размеры среды в плоскости х, у значительно больше Ь. так что движение электрического тока можем рассматривать как плоское. Электрический ток. протекающий через элементарную площадку Ь~1з. будет (см. рнс. 10) Йс(з=1зйдх — 1 йа1У, з через замкнутый контур К (1зй з(х — 1 Рю ау). ( г) Коэффициент К взелеи для соблюдения размерности, 59 УСТАНОВЛЕНИЕ АНАЛОГОВ 9 3.2) Оплошности (3 20) Из (3 26) следует, что в рассмотрение может быть введена функция электрического тока ф,(х,у), причем 1 дф, а ду 1 дФА Л дх' (3. 27) Из (3.27) н (3.19) следует дУ 1дф, с — = — —, дх Л ду ' дУ 1 дФА е — = — — —. ду а дх (3.28) Если из (3.28) исключить ф,, то получим (3.29) (3.30) Из (3.31) следует, что в этом случае силовые линии в электрическом поле будут соответствовать эквипотенциальным линиям в потоке жидкости и, наоборот, эквипотенцнальные линии в электрическом поле будут соответствовать линиям тока в жидкости, Наоборот, если из (3.28) исключить (7, то будем иметь Если толщина проводящей среды постоянна (8=сопа1), то из (3.29) и (З.ЗО) видно, что как электрический потенциал У, так и функция электрического тока ф, удовлетворяют уравнению Лапласа.
Поэтому, если решать уравнение Лапласа для функции электрического тока таким образом, чтобы область течения электрического тока была геометрически подобна области потенциального течения несжимаемой жидкости, а граничные условия для ф, были аналогичны граничным условиям для потенциала скоростей о, то получим ф (х, у)=К„,Ф(х,у)+сопз1. (8.31) 60 элактгогидгодинамичвскля аналогия (эгда) [гл.
ги Кроме того, нз (3.31) и (3.27) видно, что в сходственных точках электрического поля и потока жидкости будут иметь место равенства (3.32) Записанные выше уравнения позволяют также установить аналогию между плоским движением электрического тока и плоским потенциальным движением сжимаемой жидкости. действительно, уравнение для электрического потенциала (3.29) аналогично уравнению для потенциала скоростей (2.25), а уравнение для функции электрического тока (3.30) аналогично уравнению для функции тока в потоке жидкости (2.33). Таким образом, если область течения электрического тока выполнить геометрически подобной области течения сжимаемой жидкости, а граничные условия для электрического потенциала будут тождественны граничным условиям для потенциала скоростей, то эквипотенциальные линии в электрическом поле будут соответствовать эквипотенциальным линиям в потоке жидкости, а силовые линии в электрическом поле будут соответствовать линиям тока в потоке жидкости, если толщина электропроводящей среды л будет выполнена пропорциональной плотности газа р.
Если же граничные условия для электрического потенциала будут аналогичны граничным условиям для функции тока в потоке жидкости и наоборот, то эквипотенциальные линии в электрическом поле будут соответствовать линиям тока в потоке жидкости, а силовые линии электрического поля совпадут с эквипотенциальными линиями в жидкости, причем толщина электропроводящей среды в этом случае должна быть выполнена обратно пропорциональной плотности газа. Говоря об аналогии между уравнениями плоского движения электрического тока в среде переменной толщины и уравнениями движения сжимаемой жидкости, необходимо заметить, что, как уже отмечалось выше, уравнения газодинамики при дозвуковых скоростях относятся к эллиптическому типу, а при сверхзвуковых скоростях †гиперболическому типу.
Уравнения же электрического тока отно- 6 6.2) устлиоялвяив диалогов 6! сятся всегда к эллиптическому типу. Следовательно, указанная выше аналогия справедлива только для дозвуковых гавовых потоков. Итак, установлено, что существует формальная аналогия между уравнениями, описывающими движение электрического тока, и уравнениями, описывакяцими потенциальиое движение жидкости. В частности.
одинаковым уравнениям удовлетворяют электрический потенциал У и потенциал скоростей р, > функция электрического тока ф, и функция тока в жидкости ф. Практическое испольвование этой аналогии состоит в том, что данные уравнеиия решаются на установке ЭГДА, а результаты этого решения переносятся на поток жидкости. Установка ЭГДА состоит из двух основных частей: модели и электрической схемы. Модель представляет собой область движения электрического тока, предназначенную воспроизводить исследуемую область движения жидкости. Для ее создания используются различные электропроводиые материалы в сочетании с диэлектриками, обрааующими границы области.
Электрическая схема любой установки ЭГДА состоит из питательной и измерительной цепей и контрольноизмерительных приборов. Все существующие установки ЭГДА работают по принципу мостовой или компенсационной схемы. В питательную цепь входят источники тока и приборы, регулирующие и измеряющие напряжение и силу тока. В качестве источника тока применяются аккумуляторы (или гальванические батареи), батареи с вибрационным преобразователем, электрическая сеть промышленной частоты 50 зл, генераторы переменного тока промышленной или звуковой частоты. Генераторы чаще применяются ламповые, реже электромашииные. Приборами, регулирующими напряжение, служат автотрансформаторы (ЛАТР-1, ЛАТР-2 и др.), проволочные и- жидкостные реостаты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
