Н.Н. Сунцов - Методы аналогий в аэрогидродинамике (1163179), страница 8
Текст из файла (страница 8)
лв,=0) уравне- (2.7 1) Из уравнении (2.7!) следует, что прямой скачок уплотнения переводит сверхзвуковой поток (тв„ ~ а,) в дозвуковой (лва ( а.). Изменение параметров газа в скачке уплотнения может быть выражено в функции числа М= †' и угла на- ла скорости, а касательная составляющая скорости остается без изменения. Если из уравнений (2.64), (2.65) и (2.67) исключить скорости, то получаем так называемое уравнение ударной адиабаты, дающее связь между отношением давлений в отношением плотностей в скачке уплотнения. Это уравнение имеет вид а+1Р— — + 1 Рт а 1Р1 (2.68) Рг а+1+Ръ а — 1 Р 5 2.5] основныв соотношвния для скачков вплотнвння 45 клона скачка 6. Окончательные формулы при этом имеют вид: р~ 26 в Л вЂ” 1 — = — Мг жпг6 — —, р, 6+1 6+ 1' 4+1 — М в1пгз Рв  — 1 рг 2 а — 1 г + М 1 ив 9 (2.72) 2 жгв Л вЂ” 1 — + М вшгз (2. 74) + Мг в6Р6  — 1 11ля прямого скачка уплотнения 16 = — 1 получим: 2) Рг 2а г а — 1 в,=6+1 В+1' 6+1 г — м рг 2 г'  — 1 — + Мг (2.75) (2.76) 2 г юг Л вЂ” 1 — + Мг (2.77) — М а+1 г а — 1 Связь между углом наклона скачка 6 и углом отклонения потока газа в скачке в определяется следующим уравнением: 2 (' 6+1 а 1 г 1 а — 1 — + М вгп'9 1+ — с18га) „— (Мгг в1пг 6 — 1) сгй 9 в = агсс18 (2.78) На рис.
7 представлены кривые 6 =У(м), построенные по уравнению (2.78) для различных чисел М, при и= 1,4. Из рассмотрения этих кривых видно, что при каждом' М, сушествует свой угол е,р. Больше чем на этот угол поток в косом скачке уплотнения повернуться не может. Если в сверхзвуковой поток поместить клин с углом и ( м,р, то,на носике его возникают присоединенные косые 46 основныв ягавнвния аэвогндгодннамнки (гл. ы скачки (рис. 8,а). Однако из Рис. 7 видно, что при м < м,р каждому углу м отвечают два возможных значения угла 8.
Опыты показывают, что при обтекании тел газовым потоком всегда реализуется скачок уплотнения с меньшим аначением угла 9, т. е. более слабый ска- д' чок. Прн уменьшении угла м Дт скачок уплотнения становится Ю все слабее и при в-+0 вы- рождается в линию возмущения 70 1 %~ (== 0 = 1ь= агсзш — ); этому слу- чаю на рис. 7 отвечают нижние ю й' " г точки пересечения кривых с осью ординат. ФР Ф Если угол при вершине клина больше предельного (а ~ м,р), Ю то на некотором расстоянии перед ним появляется криволинейный отсоединенный ска- Ю чок (рис. 8,б); в средней своей части этот скачок прямой, затем переходит в косой н на бесконечности вырождается в Рнс.
7. Связь между углами Э линиЮ возмущения. и ю з скачке уплотнения. Разложим далее скорость ша аа скачком на составляющие по осям х и у. Связь между этими составляющими дается уравнением тэ' — — (ш,— тв~ )з т ' ь (2.79) 2 з ' 1+1 — — е~,альп + а * в которое скорость перед скачком ш, н критическая скорость аэ входят как параметры. Графически уравнение (2.79) представляется кривой, изображенной на рис.
9. Кривая эта представляет собой гипоциссоиду и в газодинамнке 'называется ударной полярой. Луч, проведенный из начала координат под углом м, пересекает в общем случае ударную поляру в трех точках. Одна иа этих точек должна соответствовать скорости тва за скачком уплотнения. Точка 3 отпадает сразу. так как скорость Рис. 8. Обтекание клина сверхзвуковым потоком. Рис. 9. Ударная поляра. 48 ' основныв хравнвния лэрогндродннамикн (гл. и й 2,6. Основные соотношения дли элементарной струйки Если в установившемся гааовом потоке выделить элементарную струйку, то уравнение сплошности для нее запишется в виде ртеР = сопШ, (2.80) где Р†площа поперечного сечения струйки.
Уравнение (2.80) в дифференциальной форме запишется в виде — + — + — = О. Лр гйю и'Р р и Р (2.81) Уравнения движения (2.27) для элементарной струйки примут вид ~+теияе=О. (2.82) Р Имея в виду формулу (2.20) для скорости звука, найдем из уравнения (2.82) мр ~йю — = — М' —. Ю (2. 83) Подставляя (2.83) в (2.81), получим ~= (М' — 1) 7. Р (2.84) Из уравнения (2.84) следует, что в дозвуковом газовом потоке (М ( 1) с1Р и Нш имеют разные внаки, и, следовательно, расширение струйки приводит к уменьшению скорости, а сужение струйки — к увеличению скорости.
В сверхзвуковом потоке (М ) 1) ИР и сне имеют одинаковые знаки, поэтому имеет место обратная картина: при расширении струйки скорость растет, а при сужении падает. ва скачком не может быть больше скорости перед скачком, которой отвечает на поляре точка А. Из двух оставшихся точек следует выбрать точку 2, так как ей отвечает меньший угол наклона скачка б.
Точка В на поляре отвечает скорости газа ва прямым скачком уплотнения. й 2.61 осиовныв соотношвнив длв эльмвнтаеной ствгйки 49 ' —," = (1+ '=,' М )"-', 1 р ( + 2 ) То 1+в — 1мо Т 2 (2.86) где р, р, Т и М вЂ” параметры газа в проиавольном сечении струйки. Применяя формулы (2.86) к сечению Р., будем иметь (2.86) То а+1 Т 2 Запишем далее уравнение сплошности (2.80) для произвольного сечения струйки Р и для сечения Р;1 ровР = р„а,Р„ откуда Р р,а, Р Ров' Можем далее ааписать Р Р Ро Р Рор (2. 87) 4 Зао.
Ззоэ. Н. Н. Суоцоо Нз (2.84) видно далее, что при М= 1 ИР=О. т. е. сечение струйки имеет экстремальное аначение. Нетрудно показать, что втот экстремум будет минимумом. Следовательно, скорость газа, равная местной скорости звука, будет иметь место в минимальном сечении струйки. В дальнейшем будем обозначать это сечение Р„ а все параметры газового потока в нем также будем обозначать индексом Если в некотором сечении струйки скорость газа обрашается в нуль, то параметры газа ро, ро, То в этом сечении определяются формулами 50 осиовйыв Рглвйвнив лзгогидвбдийамйки [гл. й (2.89) Подставляя сюда аначение — ' по формуле (2.86) и — по Р~ Ре Ре Р формуле (2.85), будем иметь 1 г Р =(л ( 1) (1+ 2 М ) . (2.88) Из уравнения (2.30) следует а, 1 / 2 Л вЂ” 1 — =-у — + — м.
ы й1У а+1 а+1 Подставляя далее (2.88) и (2.89) в (2.87), получим й+! Иа уравнения (2.90) видно, что для данного газа с данным показателем изознтропы й число М в произвольном сечении струйки определяется отношением площади этого сечения Р к площади критического сечения г",, 6 3.1) 53 твогзма ввльтглми Š— ! ) — (тз,сов 9 †„соз ()сЬ, 1а! М =4 — 1 ) — (чз созТ вЂ” а~,сова)оа, (а1 № 4 .) .) — (изсоза — чипсов~)дч.
— 433 ° ео (3.8) Теперь выражение (3.6) и аналогичные ему выражения за- пишутся в виде (3.9) ае дх д(М+ №) д(м+ М') (УР УР дзР! ду дх (дхз дуя длз / Используя (3.9), составим далее выражение Функцию Р, определенную формулой (3.1), можно рассматривать как потенциал масс, заполняющих пространство Ъ', при плотности 4, поэтому на основании теоремы Пуассона Юм (3.1 1) Подставляя (3.11) в (3.10), получим следующее выражение для чз и аналогичные для чвя и чи,: а(и+а! ) а(м+м') а (д +де+и~ ду дх дх ~дх ду дх) ' д(А+А') д(л1+№) д (аР+ де+ай! дл дх ду ~ах ду дх)' (3.
12) д(М+М') д(А+') д /ар+ дЕ+д% дх ду дз ~дх ду дх/' дЯ ду дР дх ае! дл — =С+А', дЯ =М+М, ах дР ду — = И+№. 54 злвктгогидгодинамичзская аналогия (згда) (гл. ш получим окончательно: д(Ф+№) д(М+М')+ д + х ду дк дк д(Е+ Е') д ()()+№) д (3.17) дк дк +ду( + д(М+М~) д(7.+Е~)+ д +, дк ду дк Иа рассмотрения формул (3.17) следует, что составляющие скорости жидкости в некоторой точке пространства У аналогичны силам, действующим на единицу магнитной массы, помещенной в той же точке пространства. Силы вти обусловливаются следующими факторами: 1) магнитной массой, заполняющей пространство У и обладающей потенциалом 5 при плотности 4 — ~ ! /д)яя д)яя джях 4я ~да дд да)) Используя (З.З), преобразуем выражение, входящее в правые части формул (3.12): й+~,')+й= — Й ОЫ( —:)+4(7)+-'.
( — ")"'+ ()') + — Ц~ — ( —.+ — -+ — )а. (3.!3) (1~) Переходя в первом члене правой части (3.13) от обьемного интегрирования к поверхностному, будем иметь д+д+д 4й)(~ "+ Я "+ * () + () +4 — ),Ц-( — "+ — "+ —.)Л'. (3.!4) (г) Подставляя (3.14) в (3.12) и вводя для сокращения записи обозначения 4 ~,~ ~ (д + дь + д )~ (ЗЛЗ) (и) 8 4,~ ~ — (тв соя и+гиясов г+тв соз ))((е,(3.16) % 3.1) ТЕОРЕМА ВЕЛЬТРАМИ 55 дДГ~ дМ' дЯ' яи = — — — +— х= ду дх дх ' дА' даг' дУ тя— и дх дх+ ду' дМР дП дЯ' яя = — — — -А- —. дх ду+да ' (3 18) Таким образом, в случае безвихревого движения несжимаемой жидкости составляющие скорости последней аналогичны действующим на единицу магнитной массы силам, происходящим только от магнитных масс и токов, расположенных на границах пространства и, в котором движется жидкость, 2) магнитным слоем, покрывающим границы пространа у и обладающим потенциалом 5' при поверхностной 1 плотности 4 — (та~ соя и+ юя соя р+ ю~ соа Т); 3) гальваническими .токами, имеющими детерминанты тока 7, + 5', М+ М', п1 + пг'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
