Н.Н. Сунцов - Методы аналогий в аэрогидродинамике (1163179), страница 5
Текст из файла (страница 5)
22 овщив сввдвния о катодах аналогий 1гл. г Число вя потока регулируется посредством изменения угла установки дефлекторов, который определяет среднюю величину скорости хаотического движения шариков, что соответствует 'согласно формуле (1.1) изменению скорости звука в газовом потоке. Если дефлекторы отсутствуют, то вто соответствует потоку с вй = со. Оптическое исследование потока производилось с помощьго скоростной кинокамеры. Механическая аналогия позволяет весьма просто производить качественное исследование потока разреженного гава, обтекающего различные тела.
ГЛАВА 4 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ 5 2.1. Уравнениа потенциального движения жидкости Поток жидкости называется потенциальным, если существует некоторая функция е от координат х, у, я и времени 1, называемая потенциалом скоростей, такая, что составляющие скорости жидкости а~ выражаются через нее следующими соотношениями: те = — те = — та дт дт дт дх ' а ду ' а дх ' (2.1) ду дх 1 дмя дюх Позтому условием отсутствия вихрей в жидкости будет.слу- жить выполнение следующих уравнений: дм да>„ — — — =О, ду дх дюм дюа — — — =О, дх дх (2:3) днюя дюм —.— — =О. дх' ду Как известно, проекции угловой скорости вращения частиц жидкости на координатные оси определяются уравнениями 24 основныв гялзнвния аэгогидгодииамики (гл.
и Подставляя аначения ш, твя и а~я по формулам (2.1) в уравнения (2.3), убеждаемся, что последние обращаются в тождества. Следовательно, потенциальное движение жидкости является безвихревым. Движение реальной вязкой жидкости всегда вихревое, поэтому принятие движения потенциальным означает одновременно переход к гипотетической невязкой, или, как ее еще называют, идеальной жидкости. Считать жидкость невязкой можно, естественно, в тех случаях, когда силы трения малы по сравнению с другими действующими в жидкости силами и ими можно пренебречь.
Величина силы трения может быть характеризована величиной касательного напряжения т, определяемого формулой Ньютона дй~ е = 1А —, (2.4) где р — динамический (абсолютный) коэффициент вязкости дю ††град скорости по нормали к площадке, в которой дл действует напряжение т. Из формулы (2.4) видно, что даже у жидкостей, обладающих очень малой вязкостью (напрнмер, воздух), касательные напряжения будут велики в тех точках потока, где велико значение †, Это, как известно имеет место вблизи твердой дю дл ' 1 стенки (поверхности обтекаемого тела) в пределах пограничного слоя.
Вне пограничного слоя, в области так нааываемого внешнего потока, силы вязкости пренебрежимо малы по сравнению с другими силами, и нми с полным основанием можно пренебречь и считать жидкость невязкой. Таким обрааом, считая движение жидкости потенциальным, мы исключаем иэ рассмотрения пограничный слой и продолжаем область внешнего потока до поверхности обтекаемого тела.
Естественно ожидать, что, рассматривая обтекание тел потенциальным потоком, мы получим результаты, отличные от тех, которые имеют место в действительности, в реальной вязкой жидкости. Так оно и есть. Самым основным и существенным отличием является то обстоятельство, что реаультирующая гндродинамическая сила, с которой плоский потенциальный поток несжимаемой жидкости воадействует на тело, при установившемся обтекании получается равной нулю (так называемый «парадокс Даламбера»).
Это д 2.1] гвавнвния потвициального движвния жидкости 25 есть результат исключения сил вязкости, являющихся связующим звеном, посредством которого только и может осуществляться силовое взаимодействие между жидкостью и телом. Гениальное предложение Н. Е. Жуковского о косвенном учете сил вязкости путем замены обтекаемого тела системой присоединенных вихрей позволяет нам, однако, и в потенциальном потоке получить одну ив составляющих гидродинамической силы, а именно подъемную силу. Несомненно, что воэможность получить величину подъемной силы делает рассмотрение потенциальных потоков практически более интересным.
Получить в потенциальном потоке вторую составляющую гидродинамической силы — силу сопротивления — пока что не удалось г), ва исключением сверхзвукового газового потока, в котором появляется новая составляющая сопротивления †волнов сопротивление, имеющее место и в потенциальном потоке. Наконец, следует иметь в виду, что в качестве первого приближения прн решении вадачи обтекания тела вязкой жидкостью всегда используются данные об обтекании тела потенциальным потоком.
Из сказанного выше ясно, что рассмотрение потенциального движения жидкости имеет несомненный практический интерес. Как известно, уравнение сплошности для несжимаемой жидкости имеет вид дмх д1пя ~~~а ' =о. дк ду дл Подставляя в уравнение (2.5) значения щ , шя, тп, по формулам (2.1), получаем (2.6) Таким образом, потенциал скоростей в случае несжимаежидкости удовлетворяет уравнению Лапласа. Так как гр л.„„, гр ...
р г) В нас ) настоящее время имеется попытка определения вихревого ения в потенциальном потоке путем замены обтекаемого т-а пе только присоединенными вихрями, ПО И прнсоединеиньйЬ 26 ' основныв хвавнвния аэгогидгодинамики [гл. и то для решения его необходимо задать граничные условия. В случае безотрывного обтекания твердого тела потоком н есжимаемой жидкости, имеющим на бесконечном удалении ые от тела скорость чо , направленную вдоль осн х, граничн е условия сводятся к следующему: эт эт эт на бесконечности — =тв , на поверхности тела — = О.
дт ол Решая уравнение Лапласа прн указанных граничных условиях, мы найдем ~7=у(х, у, г, 1) и, следовательно, будем знать поле скоростей в потоке, обтекающем тело. После того, как скорости будут известны, распределение давлений в потоке может быть получено при помощи уравнения энергии, которое для несжимаемой жидкости имеет вид ля+ и + ~ = сопя[. а 2 (2.7) Здесь г [и[ †высо рассматриваемой точки над плоскостью отсчета, и [м/сака[ — ускорение силы тяжести, р [кг/мз[ — давление, р [кгсекз/м'[ — плотность, тэ[м/сам[ — скорость.
В случае пренебрежения силой тяжести уравнение (2.7) принимает вид р + — = сопа1. (2.8) Распределение давлений в потоке обычно принято представлать в виде беараамерных коэффициентов давления р, представляющих собой разность между давлением в данной точке потока и давлением в набегающем потоке, отнесенную к скоростному давлению набегающего потока. Используя (2.8), получаем: р= =1 — — . (2.9) 2 Зная распределение давлений по поверхности обтекаемого тела; можно найти суммарные силы и моменты.
При обтекании крыла плоским потенциальным потоком несжимаемой жидкости на него будет действовать подъемная сила, величина которой, согласно теореме Н, Е. Жуковского, определяется следующей формулой: г =ра~ Р, (2.10) а 2.1) огавнвния потвнцилльного движиния жидкости 27 где à †циркуляц скорости по контуру. охватывающему крыло. Проведем произвольный контур К, охватывающий крыло, так, как это показано на рис.
2. Точки ! и 2 расположены сколь угодно близко друг к другу. Циркуляция ско- г рости по этому контуру ! = ~(то Их+сваг!у)= 1 л 3 С =/ с6р = <рз — <ры (2.1!) х Рис. 2. Связь межху циркуляцией скорости по контуру К и потенциалом скоростей в точках ! и 2. яо ~=: — то дф дф ду' о дх' (2.12) В том. что такая функция существует, можно убедиться, подставив значения чо и зио по формулам (2.12) в уравнение сплошности (2.5); при этом последнее обратится в тождество. Подставляя (2.12) в (2.3), получаем — + — =О дф д'ф дхз дуз (2.!3) следовательно, в случае потенциального движения несжимае- мой жидкости функция тока, так же как и потенциал ско- ростей, удовлетворяет уравнению Лапласа.
где <уз и р, †значен потенциалов скоростей в точках 1 и 2. Величина разности потенциалов скоростей <у — ф, должна быть такой, чтобы выполнялся постулат Чаплыгина — Жуковского, согласно которому задняя острая кромка профиля крыла должна являться точкой плавного схода струй. В случае плоского движения жидкости существует некоторая функция ф(х, у), называемая функцией тока.
Составляющие скорости определяются через функцию тока следующими соотношениями: 28 основныв яглвнвния аэгогидгодинамики [гл. и Дифференциальное уравнение линии тока в плоском потоке имеет внд дх ду (2.14) мх и)я Подставляя в (2.!4) аначения а~ и яиз по формулам (2.!2), получаем = — — лу, дф дф дх ду следовательно, ф= сонэ! на линии тока. Поэтому в задаче о безотрывном обтекании тела граничные условия для функ-. ции тока будут выглядеть следующим образом: на бесконечности — =та, — =0; дф дф ду ~' дх на поверхности тела ф= сопя!. Приравнивая значения ти .
и тая по формулам (2.1) и (2.!2), получим: (2.15) Из (2.15) следует, что линии тока (ф= сопя!) и эквипотенциальные линии (ф = сопя!) ортогональны (рис. 3). Я= СОО5г Рис. 3. Сетка течения Функция тока может быть введена не только для плоского, но и для осесимметрнчного потока. Если ось х совместить с направлением скорости невозмущенного потока, а ось, перпендикулярную ей, обозначить через г, то уравнение сплош- ааспгостзанвнив малых'возмзщзний ности для осесимметричного потока запишется в виде д'™~+ д' ' =О; (2.16) дх дг (2.! 7) условие отсутствия вихрей в осесимметричном потоке запишется в виде — — — - = О. дшг дмн дх дг (2. 18) Подставляя значения 1в и ш, по формулам (2.17) в (2.18), получим уравнение для функции тока в осесимметричном потоке: — + — = — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
