Часть 2 (1161646), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Наоборот, при гиперзвуковых скоростях (М » 1) даже небольшое изменение скорости течения ведет к заметному изменению состояния газа и числа Маха. При М » 1 в правой части выражения (4) можно пренебречь единицей, тогда имеем <1М а — 1 а<и — ж — М' —. М 2 н<' 108 Гл. хт. Гипегзвуковые течения ГАЭА $2. Гиперзвуковое течение около выпуклого тупого угла Рассмотрим особенности течения с очень большой скоростью около выпуклого тупого угла — гиперзвукового течения Прандтля — Майера (рис.
11.1). Секундная масса газа между произвольной линией тока и полюсом течения О постоянна и может быть вычислена по вормальной к характеристике составляющей скорости, которая равна скорости звука раг сопз1. Отсюда после дифференцирования имеем ар аа аг — + — + — = О.
(11) р а ген Угол Маха (между линией тоРкс. 11.1. Схема отклозепвк по- ка и характеристикой) в случае тока около выпуклого угла гиперзвуковой скорости (М» 1) определяется следующей приближенной зависимостью: а = агсз1п — ж —. 1 1 м м (12) Если б — угол отклонения потока от первоначального направления, а хг — угол между задавной характеристикой и первоначальным направлением потока, то, очевидно, 6=а+6= — +6. м (13) Здесь принимается во внимание, что направления отсчета углов а и 6 противоположны (а ) О, б < О, так как отсчет ведется против часовой стрелки), Из рис.
11 1 видно, что ог — — = — = — сала = — М, г ое а (14) откуда иа основании (2), (3) и (5) получаем агб = — — —. к'+ 1 аМ Е вЂ” 1 Мв Интегрируя зто уравнение и учитывая соотношения (12) и (13) при условии, что начальному зиачению а = а, отвечает 1 так как при М» 1, согласно (12), оса а ж —. = М, Подставляя (14) в (11), имеем — "+ — — МЗО = О, й Е ГНПЕРЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ ОКОЛО ТУПОГО УГЛА 1оа б, = О, получаем для гиперзвукового течения следующую связь между числом Маха и углом отклонения потока: (15) здесь М и М, — текущее и начальное значения числа Маха.
Разрешая уравнение (15) относительно текущего значения числа Маха М вЂ” "=1+'— —,'6МЕ (15а) ' = ~1+", 'М„6)' '. (16) Расчеты показывают, что все полученные таким образом формулы точны при М„) 5. Предельный угол отклонения потока б„соответствует расширению газа до полного вакуума (р = О). Тогда из (16) имеем 2 6н.= — (ь Нм н Напомним, что при отклонении потока по часовой стрелке угол считается отрицательным (6 (О). Как видим, произведение угла отклонения потока на началь- ное значение числа Маха М„6, которое входит во все расчетные формулы как слитная величина, является основным параметром, определяющим Шн данное течение.
Если ограничиться случаем малого отклонения потока около выпуклого тупого угла и представить изменение полной скорости как возмущение, характеризуемое появлением двух дополнительных составляющих скорости и н и, то, как следует из рис. 11.2, в2. + и = ю соз 6, у = и з1п 6. (18) При малых углах отклонения потока сов 6 = 1 — 62(2, з1п6 Ь, поэтому 62 и = щ~1 — — ) — 2у, и = ю6. Е! н (19) и подставляя зто значение в выражения (6) — (10), получим формулы для определения текущих значений давления, плотности температуры, скорости звука и скорости потока прп гиперзвуковом обтекании выпуклого тупого угла. В частности, для давленая имеем 22 ГЛ.
Х!. ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧКННЯ ГАЗА Ото!ода с помощью (10) и (15а) получаем и /1 й+11 2 н мн (Мнб 4 ) ' и'н (20) $ 3. Плоская ударная волна в гиперзвуковом течении Остановимся теперь на соотношениях, характеризующих плоскую ударную волну, возникающую при обтекании с гип»рзвуковой скоростью вогнутого тупого угла. В плоской косой удзрной волне изменение плотности, согласно (47) гл.
П1, будет й.+ 1 р А — 1 р 2 1 н 1 ' й — 1мз 2!в'а н (21) Здесь а — угол наклона фронта ударной волны к вектору ско- !ЭОСТИ К2». Изменение давления в такой волне, согласно (45) гл. (П, 2й 2 й — 1 — = — М„з(пз а —— или рн й+1 й+! (22) Р' Р 2 ! . 11 рн»2 йт1 м» Зависимость угла отклонения потока в ударной волин от у! ла наклона фронта а определяется пз (50) гл. 1П й — !/, 2 1 2 йт1~! й — 1М»22в а/ н (22) где 3 — угол между вектором скорости за ударной волной и фронтом последней, Отсюда получаем после элементарных нреобразовапен ! »а и —— м, !и еэ — с!я а 1-;! ! — цнз т— Мэ) Н ( ~4) В первом из зтих выражений отброшены вследствие малости члены с множителями бз и б', во втором — с множителями б2 и бз. Как видим, в гиперзвуковом течении около выпуклого угла поперечное возмущение скорости потока по крайней мере на порядок превосходит продольное возмущение (и.ь и).
Это значит, что при течении происходит как бы смещение частиц по и »рмали к направлению невозмущенного потока, величина же продольной скорости практически не изменяется. з 3, плоскАЯ УДАРНАЯ ВОлнА В гипкРЗВУНОВОы течвнии 111 Из (21) и (22) с помощью уравнения состояния можно вывести соответствующие зависимости для отношения температур и значений скорости звука в ударной волне.
Возмущения скорости в ударной волне (и, и) найдем из очевидных соотношений и = и соз ю — и>„, и = и~ з1п ю, (25) причем в соответствии со схемой отклонения скоростей в удар- ной волне (рис. 11.3) имеем „, (со оню 1) (20) соз и и = юн соз Р Заменяя соз р = соз (а — ю ), после элементарных преобразований получаем и=ю — с1на зш а —— 2 / ' 3 1 — На+1 м)' Н 2 / и = — и~„— з1п а —— Н1с+1~ м') ' н (27) В достаточно интенсивных скачках уплотнения (р/р„» 10) всегда имеет место неравенство з1""»м 1 (28) н Из соотношений (24) и (28) следует, что при гиперзвуковых скоростях (М„) 5) угол наклона фронта скачка а близок к углу отклонения потока в скачке ю, в связи с чем слой уплотненного юг газа, расположенный между фронтом скачка и поверхностью тела, .
в~,м и ю оказывается очень тонким (прн и й 1:а ю). Прп любом сколь угодно ма- ~г лом фиксированном значении уг- ла отклонения потока ю можно Ряс 112 Схеяа отклонения по- достпчь такого значения числа тока в ударяой волне Маха, при котором условие (28) будет выполнено. Следовательно, . в соотношениях - (21) — (27) можно пренебречь членами 1/М„, и тогда окажется, что безраз' мерные значения возмущений скорости и/ю„и/ю„безразмерная тглотность р/р, и угол наклона фронта скачка а, не Фавнсяг от М„, а безразмерные значения давления р/рн (и температуры б 3. плОскАя удАРнАя ВОлнА В ГиперзВукОВОм течении МЗ з)па=се, з)пю =ю, сова=1, сова=1, и обозначая аМ, = К„гоМ, = К, получим из (24) (30) откуда при сг ~ 1 ʄ— К„+ ~ ~ — К„) +1.
(31) Соответственно пз равенства (21) получаем й+1 р р 2 1 3 и 1+ —— й 1 й.з а (32) из равенства (22) бий) аз равенств (27) 2 а — 1 „, юз = й+1 йз я а р и — = 1. ~яю Найдем теперь число Маха аа скачком уплотнения ев Ре р 3 м =м м Р ря 955) Как следует из (34), в случае гиперзвукового течения относительная скорость газа на скачке при малом угле последнего почти не изменяется (ш ~ и,). Тогда из (35) с помощью (32) ') См.
Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью.— Мз бэизматгиз, 1960. 6 Г. н Абрамович, ч, 3 ний аэродинамических коэффициентов свидетельствует о неизменности всей картины течения газа вблизи тела. Общее строгое доказательство указанной автомодельностн течений с большой сверхзвуковой скоростью было дано впервые С. В. Валандером в 1949 г.'). Если ударная волна недостаточно интенсивна, т.
е. угол отклонения потока ог в ней мал, то при гиперзвуковой скорости угол и также мал; производя аамены 114 ГЛ. ХЬ ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА и (33) получаем Мн н ) М а н Ь вЂ” 1~И1с — 1 2 1 м' 1Ь+ 1 —, =~~ — м„— — ~~ ~ — + — — ". А+1) ~А+1 /с+1Мна' ~' (36) В предельном случае, когда М вЂ”, имеем й+1 1 М вЂ” м— (с 1/Ел (Ь вЂ” П' Прп М.
—, согласно (3$), а = ы()с+ 1)/2, поэтому сн т сс (сс — 1) (37) Иначе говоря, в случае М.— при малых углах наклона скачка а число Маха за скачком будет очень большим. Если скачок имеет небольшую ивтеесивиость, то числа Маха перед п за скачком при гиперзвуковой скорости имеют значения одного и того же порядка. При рассмотрении течения Правдтля — Майера (з 2) мы представили все параметры в функции угла отклоеевия потока, тогда как для течения за ударной волной найдены зависимости, содержащие угол самой ударной волны.
Пользуясь выражениями (30) и (Зт), получаем Мн(Х~ 1 = — (Мнсх) (/Имю)— 2 (м (~ м 4.мс(~+см, ) ~-(~ (38) или для сильных возмущений (М,ю > 1) ~ мм-(- 1 4 "! ' '~/ (а+1 ) ж( ~ Мн(е) . (39) Подставляя (39) в формулы (3$) — (34), можво представить измеяееия давления и'Плотиости в ударной волне, а также величины возмущений скорости в фуикции угла отклонения потока (угла встречи потока с поверхностью тела).
Из этих зависимостей следует, что прп гиперзвуковых скоростях в плоской косой ударной волне изменение параметров определяется (как и в течении Праидтля — Майера) одним критерием К = М,ю — произведением числа Маха ва угол отклоеенпя потока. 5 Ь ГИПЕРЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ НЛАСТ41НЫ в 4. Гиперзвуковое обтекание плоской пластины при малом угле атаки р' — р" р' р" 2 с (40) Рн— 2 р„) ам'„ Здесь уменьшаемое есть безразмерное давление на нижней стороне пластины (за скачком), равное, согласно (33), Рн »+1 — "=1+ — '" (М,' — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
