Главная » Просмотр файлов » В.Б. Андреев - Численные методы (2 в 1). (2007)

В.Б. Андреев - Численные методы (2 в 1). (2007) (1160465), страница 23

Файл №1160465 В.Б. Андреев - Численные методы (2 в 1). (2007) (В.Б. Андреев - Численные методы (2 в 1). (2007)) 23 страницаВ.Б. Андреев - Численные методы (2 в 1). (2007) (1160465) страница 232019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Ïîñëåïðîñòûõ âû÷èñëåíèé íàõîäèì, ÷òî èñêîìîå ðåøåíèå èìååò âèäun =eτ λ − q2 n q1 − eτ λ nq +q .q1 − q2 1q1 − q2 2(17.34)Èçó÷èì ïîâåäåíèå ýòîãî ðåøåíèÿ ïðè n → ∞. Ïóñòü t = nτ ôèêñèðîâàíî, à τ → 0.Òîãäà n = t/τ → ∞. Ñ ó÷åòîì (17.30) è óïðàæíåíèÿ 17.6 íàõîäèì, ÷òîeτ λ − q21 + O(τ ) + 5== 1 + O(τ ),q1 − q26 + O(τ )q1 − eτ λO(τ 4 )c2 === O(τ 4 ).q1 − q26 + O(τ )(17.35)£¤nq1n = eτ λ + O(τ 4 ) = eλτ n (1 + O(τ 4 ))n = eλt (1 + O(τ 3 )).(17.36)c1 =Äàëåå,Ïîäñòàâëÿÿ òåïåðü (17.35), (17.36), (17.30) â (17.34), áóäåì èìåòüun = [1 + O(τ )] etλ + O(τ 4 ) [−5 + O(τ )]n .Ïðîàíàëèçèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò.

Ïåðâîå ñëàãàåìîå àïïðîêñèìèðóåò ðåøåíèå(17.26) çàäà÷è (17.25), à âòîðîå ñëàãàåìîå ÿâëÿåòñÿ ïàðàçèòíûì. Óæå ïðè íå ñëèøêîìáîëüøèõ n ýòî ñëàãàåìîå ïðåâîñõîäèò ïåðâîå, èáîõ ¶ ! µµ ¶¶n4ttn4.−5 + OO(τ ) [−5 + O(τ )] = OnnÌåòîä (17.28) ñõîäÿùèìñÿ íå ÿâëÿåòñÿ.Ÿ 18Óñòîé÷èâîñòü ìíîãîøàãîâûõ ìåòîäîâ18.1 Íóëü-óñòîé÷èâîñòüÎáðàòèìñÿ ê ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ (17.27) è ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿρ(ζ) :=kXαj ζ k−j ,σ(ζ) :=kXj=0βj ζ k−j .(18.1)j=0Îïðåäåëåíèå 18.1. Ìíîãî÷ëåíû ρ(ζ) è σ(ς) èç (18.1) íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííîïåðâûì è âòîðûì ïðîèçâîäÿùèìè ìíîãî÷ëåíàìè ëèíåéíîãî ìíîãîøàãîâîãî ìåòîäà(17.17).Êàê óæå áûëî îòìå÷åíî, ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä (17.17) äëÿ óðàâíåíèÿ(17.25) ïðèíèìàåò âèä ëèíåéíîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè (17.27).

Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå åñòüρ(q) − τ λσ(q) = 0.(18.2)Ïðèìåíèòåëüíî ê äâóøàãîâîìó ìåòîäó (17.24)ρ(q) = q 2 + 4q − 5,à êîðíè óðàâíåíèÿρ(q) = 0(18.3)ñóòüq1 = 1,q2 = −5,ò.å. ñîâïàäàþò ñ ãëàâíûìè ÷ëåíàìè êîðíåé (17.30) õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ(17.29).Èìåííî íàëè÷èå êîðíÿ q2 è ïðèâåëî ê íåóñòîé÷èâîñòè ìåòîäà (17.24). Òåì ñàìûì,êîðíè óðàâíåíèÿ (18.3) ïîçâîëÿþò ñóäèòü îá óñòîé÷èâîñòè èëè íåóñòîé÷èâîñòè ìåòîäà (17.17). À îíè ñâÿçàíû ñ êîðíÿìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (18.2).  ñèëó (17.18), α0 6= 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, ñòåïåíè óðàâíåíèé (18.2) è (18.3) ñîâïàäàþò.183184Ÿ 18.ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂÏîýòîìó õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (18.2) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðåãóëÿðíîåâîçìóùåíèå (ïðè ìàëûõ τ λ) óðàâíåíèÿ (18.3) (îáúÿñíåíèå òåðìèíîâ: êîýôôèöèåíòûìíîãî÷ëåíà ρ(ζ) ñóòü ïðåäåëû ïðè τ λ → 0 ñîîòâåòñòâóþùèõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà, è ïîýòîìó ìîæíî ãîâîðèòü î âîçìóùåíèè; ðåãóëÿðíîñòüåñòü ñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ñòåïåíè âîçìóùåííîãî è íåâîçìóùåííîãî ìíîãî÷ëåíîâ ñîâïàäàþò).

Íî òîãäà (â ñèëó ðåãóëÿðíîñòè âîçìóùåíèÿ) êîðíè óðàâíåíèÿ (18.3) ÿâëÿþòñÿïðåäåëàìè êîðíåé óðàâíåíèÿ (18.2) ïðè τ λ → 0. Ïîýòîìó âîïðîñ î òîì, áóäåò ëèðåøåíèå óðàâíåíèÿ (17.27) íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàòü ïðè n → ∞ (è ôèêñèðîâàííîìt = nτ ), ìîæíî ðåøèòü ïðè àíàëèçå êîðíåé óðàâíåíèÿ (18.3). Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå(18.3) ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì äëÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿkXαj un−j = 0,(18.4)j=0êîòîðîå, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîëó÷àåòñÿ èç (5.27), åñëè â íåì ïîëîæèòü λ = 0.

Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî (18.4) åñòü ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä äëÿ óðàâíåíèÿu0 = 0.(18.5)Òåì ñàìûì, îòáðàêîâêà "ïëîõèõ"(íåóñòîé÷èâûõ) ìåòîäîâ ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíàïðè àíàëèçå èõ ñâîéñòâ ïðèìåíèòåëüíî ê óðàâíåíèþ (18.5).Èòàê, íàëè÷èå ó óðàâíåíèÿ (18.3) êîðíåé, ìîäóëè êîòîðûõ ïðåâîñõîäÿò åäèíèöó,ïðèâîäèò ê íåóñòîé÷èâîñòè. Îäíàêî îïàñíîñòü ïðåäñòàâëÿþò íå òîëüêî òàêèå êîðíè,íî è êîðíè, ðàâíûå ïî ìîäóëþ åäèíèöå, åñëè îíè êðàòíûå.  ñàìîì äåëå, ïóñòü q1 êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (18.3) êðàòíîñòè s > 1 òàêîé, ÷òî |q1 | = 1.Òîãäà ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿPs−1 (n)q1náóäåò ðàñòóùèì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (18.4), â òî âðåìÿ êàê ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (18.5),êîòîðîå è àïïðîêñèìèðóåò èçó÷àåìîå óðàâíåíèå (18.4), åñòü ïîñòîÿííàÿ.Îïðåäåëåíèå 18.2.

Ãîâîðÿò, ÷òî ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä (17.17) óäîâëåòâî-ðÿåò êîðíåâîìó óñëîâèþ, åñëè1) âñå êîðíè ïåðâîãî ïðîèçâîäÿùåãî ìíîãî÷ëåíà (18.1) ðàñïîëîæåíû â åäèíè÷íîìêðóãå |ζ| 6 1;2) íóëè ρ(ζ), ðàñïîëîæåííûå íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè |ζ| = 1 ïðîñòûå.Îïðåäåëåíèå 18.3. Ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä (17.17), óäîâëåòâîðÿþùèéêîðíåâîìó óñëîâèþ, íàçûâàåòñÿ íóëü-óñòîé÷èâûì (óñòîé÷èâûì).Çàìå÷àíèå 18.1. Åñëè ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä (17.17) àïïðîêñèìèðóåò êàêîå-ëèáî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, òî ñðåäè íóëåé ρ(ζ) îáÿçàòåëüíî åñòü ζ = 1, î ÷åìñâèäåòåëüñòâóåò ïåðâîå èç óñëîâèé (17.20), ÿâëÿþùåå ñîáîé óñëîâèå ρ(1) = 0.18.1.

ÍÓËÜ-ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ185Ïðèìåðû. 1◦ ßâíûé è íåÿâíûé ìåòîäû Àäàìñà.  îáîèõ ñëó÷àÿõ α0 = 1, α1 = −1,à îñòàëüíûå αj = 0. Ïîýòîìóρ(q) = q k − q k−1è, ñëåäîâàòåëüíî,q1 = 1,q2 = · · · = qk = 0.Ìåòîäû Àäàìñà íóëü-óñòîé÷èâû.2◦ Äâóõøàãîâàÿ ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íàçàä (17.16).31ρ(q) = q 2 − 2q + ,22q1 = 1, q2 = 1/3.Ìåòîä íóëü-óñòîé÷èâ.3◦ Òðåõøàãîâàÿ ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íàçàä (17.3)ρ(q) =11 331q − 3q 2 + q − .623Õîòÿ ýòî è ìíîãî÷ëåí òðåòüåé ñòåïåíè, íóëè åãî ëåãêî íàõîäÿòñÿ, èáî îäèí èç åãîíóëåé åñòü q1 = 1.

Äåëÿ ρ(q) íà (q − 1), ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ11 2 71q − q+ =0663ñ êîðíÿìèq2,3Îòñþäà√7 ± i 39=.22¯ ¯2 2¯q2,3 ¯ =< 1.11Ìåòîä íóëü-óñòîé÷èâ.Òåîðåìà 18.1 (Ïåðâûé áàðüåð Äàëêâèñòà). Ïîðÿäîê p óñòîé÷èâîãî ëèíåéíîãîk -øàãîâîãîp6kp6k+1p6k+2ìåòîäà ïîä÷èíÿåòñÿ ñëåäóþùèì îãðàíè÷åíèÿì:äëÿ ÿâíûõ ìåòîäîâ;äëÿ íåÿâíûõ ìåòîäîâ ïðè íå÷åòíîì k ;äëÿ íåÿâíûõ ìåòîäîâ ïðè ÷åòíîì k . êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ïåðâîãî óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû ìîæåò ñëóæèòü ïîñòðîåííûé íàìè â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ÿâíûé äâóõøàãîâûé ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè p = 3, êîòîðûé îêàçàëñÿ íåóñòîé÷èâûì.Óïðàæíåíèå 18.1.

Ïîñòðîèòü îáùèé ÿâíûé óñòîé÷èâûé äâóõøàãîâûé ìåòîä ìàê-ñèìàëüíîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè.186Ÿ 18.ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂÎòâåò: α0 ïàðàìåòð ìåòîäà,α1 = 1 − 2α0 ,β0 = 0,α2 = α0 − 1,11β1 = + α0 ,β2 = − α0 .22Óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè: 1/2 6 α0 < ∞. Ïðè α0 = 1 èìååì ÿâíûé ìåòîä Àäàìñà, ïðèα0 = 1/2 ìåòîä ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñ øàãîì τ 0 = 2τ . Ïðè α0 = 1/6 ìåòîä èìååòïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè O(τ 3 ), íî íåóñòîé÷èâ.Óïðàæíåíèå 18.2.

Ïîñòðîèòü óñòîé÷èâûé äâóõøàãîâûé ìåòîä ìàêñèìàëüíîãîïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè.Îòâåò:α0 = 1/2,β0 = 1/6,α1 = 0, α2 = −1/2,β1 = 2/3, β2 = 1/6.Ýòîò ìåòîä èíîãäà íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì Ñèìïñîíà (ïî àíàëîãèè ñ îäíîèìåííîé êâàäðàòóðíîé ôîðìóëîé). Ìåòîä èìååò ÷åòâåðòûé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè.18.2 Æåñòêèå çàäà÷èÏðè îïðåäåëåíèè íóëü-óñòîé÷èâîñòè ìíîãîøàãîâîãî ìåòîäà ìû ìîãëè îãðàíè÷èòüñÿ èçó÷åíèåì ïðîñòåéøåãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (18.5), èáî ïðîèçâîäÿùèéìíîãî÷ëåí ρ(ζ) èç (18.1) ìíîãîøàãîâîãî ìåòîäà (17.17), îò ðàñïîëîæåíèÿ íóëåé êîòîðîãî çàâèñèò, áóäåò ëè ìåòîä óñòîé÷èâûì èëè íåò, ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèììíîãî÷ëåíîì èìåííî â ïðèìåíåíèè ê óðàâíåíèþ (18.5). Óñëîâèå íóëü-óñòîé÷èâîñòèïðåäúÿâëÿåò ìèíèìàëüíûå òðåáîâàíèÿ ê ÷èñëåííîìó ìåòîäó, ïðîèçâîäÿ ëèøü ãðóáóþîòáðàêîâêó àáñîëþòíî íåïðèãîäíûõ äëÿ âû÷èñëåíèé ìåòîäîâ.

Ïî ñóùåñòâó, íóëüóñòîé÷èâîñòü ìåòîäà îáåñïå÷èâàåò ëèøü îãðàíè÷åííîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ äëÿêîíå÷íîãî âðåìåííîãî èíòåðâàëà [0, T ] ïðè n → ∞.Îäíàêî èìåþòñÿ çàäà÷è, îòûñêàíèå ðåøåíèé êîòîðûõ ïðè ïîìîùè òîëüêî íóëüóñòîé÷èâûõ ìåòîäîâ îêàçûâàåòñÿ âåñüìà çàòðóäíèòåëüíûì, åñëè íå íåâîçìîæíûì.Ïðîùå âñåãî îáúÿñíèòü âîçíèêàþùèå òðóäíîñòè íå íà ïðèìåðå îäíîãî óðàâíåíèÿ,à íà ïðèìåðå ñèñòåì óðàâíåíèé.Ðàññìîòðèì îäíîðîäíóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìèu0 = Au,ãäå u = [u1 u2 ]T , àu(0) = u0 ,¸a11 a12.A=a21 a22·(18.6)18.2.

ÆÅÑÒÊÈÅ ÇÀÄÀ×È187Íàéäåì è ïðîàíàëèçèðóåì ðåøåíèå çàäà÷è (18.6). Êàê îáû÷íî, áóäåì åãî èñêàòü ââèäåu(t) = ξeλt ,(18.7)ãäå ξ äâóìåðíûé ÷èñëîâîé âåêòîð, à λ ïîñòîÿííàÿ. Ïîäñòàâëÿÿ (18.7) â (18.6),íàõîäèì, ÷òîλξeλt = eλt Aξ,à, ñîêðàùàÿ íà eλt , ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:Aξ = λξ.(18.8)Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî A ìàòðèöà ïðîñòîé ñòðóêòóðû, ò.å. ó íåå èìååòñÿ ïîëíûéíàáîð ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.

ÒîãäàAξ 1 = λ1 ξ1 ,Aξ 2 = λ2 ξ2è ξ 1 è ξ 2 ëèíåéíî íåçàâèñèìû. ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (18.6) ïðèíèìàåò âèäu(t) = c1 ξ 1 eλ1 t + c2 ξ2 eλ2 t ,(18.9)à ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (18.6) ïîëó÷àåòñÿ îòñþäà ïðè çíà÷åíèÿõ c1 è c2 , íàéäåííûõèç àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìûξ 1 c 1 + ξ 2 c 2 = u0 .(18.10)Áóäåì äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå ÷èñëà λ1 è λ2 äåéñòâèòåëüíû.Áîëåå ñóùåñòâåííûì äëÿ íàñ áóäåò ïðåäïîëîæåíèå îá èõ îòðèöàòåëüíîñòèλ1 < 0,λ2 < 0.(18.11) ñèëó ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèé ìîäóëè êîìïîíåíò u1 è u2 ðåøåíèÿ (18.9) áóäåòñòðåìèòüñÿ ê íóëþ ïðè t → ∞.188Ÿ 18.ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂ1eλ1t0.5λte2t*012tÐèñ. 1Ïðåäïîëîæèì òåïåðü äîïîëíèòåëüíî, ÷òîλ1 = O(1),|λ2 | À |λ1 |.(18.12)Òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå eλ2 t óáûâàåò çíà÷èòåëüíî áûñòðåå eλ1 t , òî ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿt∗ ñîñòàâëÿþùàÿ c2 ξ 2 eλ2 t ðåøåíèÿ (18.9) áóäåò ïðàêòè÷åñêè ðàâíîé íóëþ, è ðåøåíèåáóäåò ïî÷òè ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿòüñÿ ñîñòàâëÿþùåé c1 ξ 1 eλ1 t .

(ñì. ðèñ. 1) ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè åñòåñòâåííî áûëî áû îæèäàòü, ÷òî è ó ÷èñëåííîãîðåøåíèÿ çàäà÷è (18.6) ìîäóëè êîìïîíåíò õîòÿ áû íå âîçðàñòàëè.Ïðèìåíèì äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (18.6) ìåòîä Ýéëåðàun+1 − un= Aun ,τu0 = u0 .(18.13)Íàéäåì ðåøåíèå çàäà÷è (18.13). Èñêàòü åãî áóäåì â âèäå (ñì.

(6.30))un = ξq n ,q = const 6= 0.Ïîäñòàâëÿÿ (18.14) â (18.13), ïîëó÷èìqnq−1ξ = q n Aξ,τ(18.14)18.2. ÆÅÑÒÊÈÅ ÇÀÄÀ×È189à ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà q n îáíàðóæèâàåì, ÷òî äëÿ îòûñêàíèÿ ξ èìååì çàäà÷ó (18.8) ñλ = (q − 1)/τ . Ïîýòîìó q = 1 + τ λ, è ðåøåíèå çàäà÷è (18.13) åñòüun = c1 ξ 1 (1 + τ λ1 )n + c2 ξ 2 (1 + τ λ2 )n ,(18.15)ãäå c1 , c2 ðåøåíèå ñèñòåìû (18.10).×òîáû ìîäóëè êîìïîíåíò ðåøåíèÿ (18.15) íå âîçðàñòàëè ïðè n → ∞, íåîáõîäèìîè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ|1 + τ λ1 | 6 1,|1 + τ λ2 | 6 1,÷òî âìåñòå ñ (18.11) è (18.12) ïðèâîäèò ê óñëîâèþτ 6 2/|λ2 | ¿ 1.(18.16)Îãðàíè÷åíèå (18.16), âîîáùå ãîâîðÿ, ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî æåñòêèì.

Åñëè ïðè t 6 t∗ýòî îãðàíè÷åíèå âïîëíå ðàçóìíî, è äàæå èç ñîîáðàæåíèé àïïðîêñèìàöèè è òî÷íîñòèíóæíî òðåáîâàòü τ ¿ 2/|λ2 |, òî ïðè t > t∗ , êîãäà âòîðàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ êàæäîéêîìïîíåíòû ðåøåíèÿ (18.15) âðîäå áû íå äîëæíà ïîñòàâëÿòü íîâîé èíôîðìàöèè, èæåëàòåëüíî áûëî áû óâåëè÷èòü øàã τ ñ òîé öåëüþ, ÷òîáû ñýêîíîìèòü ðåñóðñû èíå âîñïðîèçâîäèòü ïåðâóþ ñîñòàâëÿþùóþ ñ èçëèøíåé òî÷íîñòüþ. Íî òîãäà ïðèäåòñÿíàðóøèòü óñëîâèå (18.16), ÷òî ïðèâåäåò ê ðåçêîìó âîçðàñòàíèþ âòîðîé ñîñòàâëÿþùåéðåøåíèÿ è ïîëíîé ïîòåðå òî÷íîñòè.Îïðåäåëåíèå 18.4.

Ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (18.6) ñ ïîñòîÿííîéìàòðèöåé A ïîðÿäêà m íàçûâàåòñÿ æåñòêîé, åñëè1◦ Re λj < 0 , j = 0, . . . , m,2◦ îòíîøåíèåmax |Re λj |jS=À 1.min |Re λj |(18.17)jÎïðåäåëåíèå 18.5. ×èñëî S èç (18.17) íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì æåñòêîñòèçàäà÷è (18.6).Çàìå÷àíèå 18.2. Äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû ñ ìàòðèöåé A, çàâèñÿùåé îò t, êîýôôèöèåíòæåñòêîñòè òàêæå çàâèñèò îò t, è, åñëè îí âåëèê äëÿ êàêèõ-ëèáî t èç èíòåðåñóþùåãîíàñ èíòåðâàëà, òî ñèñòåìà æåñòêàÿ. Äëÿ íåëèíåéíûõ ñèñòåì æåñòêîñòü îïðåäåëÿåòñÿâ îêðåñòíîñòè êàêîãî-ëèáî ðåøåíèÿ ïðè ïîìîùè ñîîòâåòñòâóþùåé ìàòðèöû ßêîáè.Ïðèìåíèì òåïåðü äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (18.6) íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðàun+1 − un= Aun+1 .τÏîäñòàâëÿÿ ñþäà (18.14), íàõîäèì, ÷òîqn+1 1− q −1ξ = q n+1 Aξ,τ190Ÿ 18.ò.å. λτ = (1 − q −1 )ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂ, q = (1 − τ λ)−1 èun = c1 ξ 1 (1 − τ λ)−n + c2 ξ 2 (1 − τ λ2 )−n .Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (18.11) ìîäóëè êîìïîíåíò un ìîíîòîííî óáûâàþò ïðè n → ∞ ïðè ëþáûõ τ , è, ñëåäîâàòåëüíî, τ ìîæíî âûáèðàòü òîëüêî èçñîîáðàæåíèé òî÷íîñòè.Íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà ïðè ðåøåíèè æåñòêèõ ñèñòåì îêàçàëñÿ ñóùåñòâåííî áîëååóñòîé÷èâûì, ÷åì ïðîñòî ìåòîä Ýéëåðà.Êàê îòîáðàòü ìåòîäû, ïðèãîäíûå äëÿ ðåøåíèÿ æåñòêèõ çàäà÷? Óæåñòî÷èòü òðåáîâàíèå óñòîé÷èâîñòè.18.3A-óñòîé÷èâîñòüÅñëè ïðè îïðåäåëåíèè íóëü-óñòîé÷èâîñòè îñíîâíîé ìîäåëüþ áûëî óðàâíåíèå (18.5),òî òåïåðü ñëåäóåò îáðàòèòüñÿ ê óðàâíåíèþ (17.25).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,76 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6513
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее