В.Б. Андреев - Численные методы (2 в 1). (2007) (1160465), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Ïîñëåïðîñòûõ âû÷èñëåíèé íàõîäèì, ÷òî èñêîìîå ðåøåíèå èìååò âèäun =eτ λ − q2 n q1 − eτ λ nq +q .q1 − q2 1q1 − q2 2(17.34)Èçó÷èì ïîâåäåíèå ýòîãî ðåøåíèÿ ïðè n → ∞. Ïóñòü t = nτ ôèêñèðîâàíî, à τ → 0.Òîãäà n = t/τ → ∞. Ñ ó÷åòîì (17.30) è óïðàæíåíèÿ 17.6 íàõîäèì, ÷òîeτ λ − q21 + O(τ ) + 5== 1 + O(τ ),q1 − q26 + O(τ )q1 − eτ λO(τ 4 )c2 === O(τ 4 ).q1 − q26 + O(τ )(17.35)£¤nq1n = eτ λ + O(τ 4 ) = eλτ n (1 + O(τ 4 ))n = eλt (1 + O(τ 3 )).(17.36)c1 =Äàëåå,Ïîäñòàâëÿÿ òåïåðü (17.35), (17.36), (17.30) â (17.34), áóäåì èìåòüun = [1 + O(τ )] etλ + O(τ 4 ) [−5 + O(τ )]n .Ïðîàíàëèçèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò.
Ïåðâîå ñëàãàåìîå àïïðîêñèìèðóåò ðåøåíèå(17.26) çàäà÷è (17.25), à âòîðîå ñëàãàåìîå ÿâëÿåòñÿ ïàðàçèòíûì. Óæå ïðè íå ñëèøêîìáîëüøèõ n ýòî ñëàãàåìîå ïðåâîñõîäèò ïåðâîå, èáîõ ¶ ! µµ ¶¶n4ttn4.−5 + OO(τ ) [−5 + O(τ )] = OnnÌåòîä (17.28) ñõîäÿùèìñÿ íå ÿâëÿåòñÿ. 18Óñòîé÷èâîñòü ìíîãîøàãîâûõ ìåòîäîâ18.1 Íóëü-óñòîé÷èâîñòüÎáðàòèìñÿ ê ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ (17.27) è ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿρ(ζ) :=kXαj ζ k−j ,σ(ζ) :=kXj=0βj ζ k−j .(18.1)j=0Îïðåäåëåíèå 18.1. Ìíîãî÷ëåíû ρ(ζ) è σ(ς) èç (18.1) íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííîïåðâûì è âòîðûì ïðîèçâîäÿùèìè ìíîãî÷ëåíàìè ëèíåéíîãî ìíîãîøàãîâîãî ìåòîäà(17.17).Êàê óæå áûëî îòìå÷åíî, ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä (17.17) äëÿ óðàâíåíèÿ(17.25) ïðèíèìàåò âèä ëèíåéíîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè (17.27).
Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå åñòüρ(q) − τ λσ(q) = 0.(18.2)Ïðèìåíèòåëüíî ê äâóøàãîâîìó ìåòîäó (17.24)ρ(q) = q 2 + 4q − 5,à êîðíè óðàâíåíèÿρ(q) = 0(18.3)ñóòüq1 = 1,q2 = −5,ò.å. ñîâïàäàþò ñ ãëàâíûìè ÷ëåíàìè êîðíåé (17.30) õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ(17.29).Èìåííî íàëè÷èå êîðíÿ q2 è ïðèâåëî ê íåóñòîé÷èâîñòè ìåòîäà (17.24). Òåì ñàìûì,êîðíè óðàâíåíèÿ (18.3) ïîçâîëÿþò ñóäèòü îá óñòîé÷èâîñòè èëè íåóñòîé÷èâîñòè ìåòîäà (17.17). À îíè ñâÿçàíû ñ êîðíÿìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (18.2).  ñèëó (17.18), α0 6= 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, ñòåïåíè óðàâíåíèé (18.2) è (18.3) ñîâïàäàþò.183184 18.ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂÏîýòîìó õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (18.2) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðåãóëÿðíîåâîçìóùåíèå (ïðè ìàëûõ τ λ) óðàâíåíèÿ (18.3) (îáúÿñíåíèå òåðìèíîâ: êîýôôèöèåíòûìíîãî÷ëåíà ρ(ζ) ñóòü ïðåäåëû ïðè τ λ → 0 ñîîòâåòñòâóþùèõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà, è ïîýòîìó ìîæíî ãîâîðèòü î âîçìóùåíèè; ðåãóëÿðíîñòüåñòü ñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ñòåïåíè âîçìóùåííîãî è íåâîçìóùåííîãî ìíîãî÷ëåíîâ ñîâïàäàþò).
Íî òîãäà (â ñèëó ðåãóëÿðíîñòè âîçìóùåíèÿ) êîðíè óðàâíåíèÿ (18.3) ÿâëÿþòñÿïðåäåëàìè êîðíåé óðàâíåíèÿ (18.2) ïðè τ λ → 0. Ïîýòîìó âîïðîñ î òîì, áóäåò ëèðåøåíèå óðàâíåíèÿ (17.27) íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàòü ïðè n → ∞ (è ôèêñèðîâàííîìt = nτ ), ìîæíî ðåøèòü ïðè àíàëèçå êîðíåé óðàâíåíèÿ (18.3). Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå(18.3) ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì äëÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿkXαj un−j = 0,(18.4)j=0êîòîðîå, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîëó÷àåòñÿ èç (5.27), åñëè â íåì ïîëîæèòü λ = 0.
Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî (18.4) åñòü ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä äëÿ óðàâíåíèÿu0 = 0.(18.5)Òåì ñàìûì, îòáðàêîâêà "ïëîõèõ"(íåóñòîé÷èâûõ) ìåòîäîâ ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíàïðè àíàëèçå èõ ñâîéñòâ ïðèìåíèòåëüíî ê óðàâíåíèþ (18.5).Èòàê, íàëè÷èå ó óðàâíåíèÿ (18.3) êîðíåé, ìîäóëè êîòîðûõ ïðåâîñõîäÿò åäèíèöó,ïðèâîäèò ê íåóñòîé÷èâîñòè. Îäíàêî îïàñíîñòü ïðåäñòàâëÿþò íå òîëüêî òàêèå êîðíè,íî è êîðíè, ðàâíûå ïî ìîäóëþ åäèíèöå, åñëè îíè êðàòíûå.  ñàìîì äåëå, ïóñòü q1 êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (18.3) êðàòíîñòè s > 1 òàêîé, ÷òî |q1 | = 1.Òîãäà ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿPs−1 (n)q1náóäåò ðàñòóùèì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (18.4), â òî âðåìÿ êàê ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (18.5),êîòîðîå è àïïðîêñèìèðóåò èçó÷àåìîå óðàâíåíèå (18.4), åñòü ïîñòîÿííàÿ.Îïðåäåëåíèå 18.2.
Ãîâîðÿò, ÷òî ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä (17.17) óäîâëåòâî-ðÿåò êîðíåâîìó óñëîâèþ, åñëè1) âñå êîðíè ïåðâîãî ïðîèçâîäÿùåãî ìíîãî÷ëåíà (18.1) ðàñïîëîæåíû â åäèíè÷íîìêðóãå |ζ| 6 1;2) íóëè ρ(ζ), ðàñïîëîæåííûå íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè |ζ| = 1 ïðîñòûå.Îïðåäåëåíèå 18.3. Ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä (17.17), óäîâëåòâîðÿþùèéêîðíåâîìó óñëîâèþ, íàçûâàåòñÿ íóëü-óñòîé÷èâûì (óñòîé÷èâûì).Çàìå÷àíèå 18.1. Åñëè ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä (17.17) àïïðîêñèìèðóåò êàêîå-ëèáî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, òî ñðåäè íóëåé ρ(ζ) îáÿçàòåëüíî åñòü ζ = 1, î ÷åìñâèäåòåëüñòâóåò ïåðâîå èç óñëîâèé (17.20), ÿâëÿþùåå ñîáîé óñëîâèå ρ(1) = 0.18.1.
ÍÓËÜ-ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ185Ïðèìåðû. 1◦ ßâíûé è íåÿâíûé ìåòîäû Àäàìñà.  îáîèõ ñëó÷àÿõ α0 = 1, α1 = −1,à îñòàëüíûå αj = 0. Ïîýòîìóρ(q) = q k − q k−1è, ñëåäîâàòåëüíî,q1 = 1,q2 = · · · = qk = 0.Ìåòîäû Àäàìñà íóëü-óñòîé÷èâû.2◦ Äâóõøàãîâàÿ ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íàçàä (17.16).31ρ(q) = q 2 − 2q + ,22q1 = 1, q2 = 1/3.Ìåòîä íóëü-óñòîé÷èâ.3◦ Òðåõøàãîâàÿ ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íàçàä (17.3)ρ(q) =11 331q − 3q 2 + q − .623Õîòÿ ýòî è ìíîãî÷ëåí òðåòüåé ñòåïåíè, íóëè åãî ëåãêî íàõîäÿòñÿ, èáî îäèí èç åãîíóëåé åñòü q1 = 1.
Äåëÿ ρ(q) íà (q − 1), ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ11 2 71q − q+ =0663ñ êîðíÿìèq2,3Îòñþäà√7 ± i 39=.22¯ ¯2 2¯q2,3 ¯ =< 1.11Ìåòîä íóëü-óñòîé÷èâ.Òåîðåìà 18.1 (Ïåðâûé áàðüåð Äàëêâèñòà). Ïîðÿäîê p óñòîé÷èâîãî ëèíåéíîãîk -øàãîâîãîp6kp6k+1p6k+2ìåòîäà ïîä÷èíÿåòñÿ ñëåäóþùèì îãðàíè÷åíèÿì:äëÿ ÿâíûõ ìåòîäîâ;äëÿ íåÿâíûõ ìåòîäîâ ïðè íå÷åòíîì k ;äëÿ íåÿâíûõ ìåòîäîâ ïðè ÷åòíîì k . êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ïåðâîãî óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû ìîæåò ñëóæèòü ïîñòðîåííûé íàìè â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ÿâíûé äâóõøàãîâûé ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè p = 3, êîòîðûé îêàçàëñÿ íåóñòîé÷èâûì.Óïðàæíåíèå 18.1.
Ïîñòðîèòü îáùèé ÿâíûé óñòîé÷èâûé äâóõøàãîâûé ìåòîä ìàê-ñèìàëüíîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè.186 18.ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂÎòâåò: α0 ïàðàìåòð ìåòîäà,α1 = 1 − 2α0 ,β0 = 0,α2 = α0 − 1,11β1 = + α0 ,β2 = − α0 .22Óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè: 1/2 6 α0 < ∞. Ïðè α0 = 1 èìååì ÿâíûé ìåòîä Àäàìñà, ïðèα0 = 1/2 ìåòîä ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñ øàãîì τ 0 = 2τ . Ïðè α0 = 1/6 ìåòîä èìååòïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè O(τ 3 ), íî íåóñòîé÷èâ.Óïðàæíåíèå 18.2.
Ïîñòðîèòü óñòîé÷èâûé äâóõøàãîâûé ìåòîä ìàêñèìàëüíîãîïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè.Îòâåò:α0 = 1/2,β0 = 1/6,α1 = 0, α2 = −1/2,β1 = 2/3, β2 = 1/6.Ýòîò ìåòîä èíîãäà íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì Ñèìïñîíà (ïî àíàëîãèè ñ îäíîèìåííîé êâàäðàòóðíîé ôîðìóëîé). Ìåòîä èìååò ÷åòâåðòûé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè.18.2 Æåñòêèå çàäà÷èÏðè îïðåäåëåíèè íóëü-óñòîé÷èâîñòè ìíîãîøàãîâîãî ìåòîäà ìû ìîãëè îãðàíè÷èòüñÿ èçó÷åíèåì ïðîñòåéøåãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (18.5), èáî ïðîèçâîäÿùèéìíîãî÷ëåí ρ(ζ) èç (18.1) ìíîãîøàãîâîãî ìåòîäà (17.17), îò ðàñïîëîæåíèÿ íóëåé êîòîðîãî çàâèñèò, áóäåò ëè ìåòîä óñòîé÷èâûì èëè íåò, ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèììíîãî÷ëåíîì èìåííî â ïðèìåíåíèè ê óðàâíåíèþ (18.5). Óñëîâèå íóëü-óñòîé÷èâîñòèïðåäúÿâëÿåò ìèíèìàëüíûå òðåáîâàíèÿ ê ÷èñëåííîìó ìåòîäó, ïðîèçâîäÿ ëèøü ãðóáóþîòáðàêîâêó àáñîëþòíî íåïðèãîäíûõ äëÿ âû÷èñëåíèé ìåòîäîâ.
Ïî ñóùåñòâó, íóëüóñòîé÷èâîñòü ìåòîäà îáåñïå÷èâàåò ëèøü îãðàíè÷åííîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ äëÿêîíå÷íîãî âðåìåííîãî èíòåðâàëà [0, T ] ïðè n → ∞.Îäíàêî èìåþòñÿ çàäà÷è, îòûñêàíèå ðåøåíèé êîòîðûõ ïðè ïîìîùè òîëüêî íóëüóñòîé÷èâûõ ìåòîäîâ îêàçûâàåòñÿ âåñüìà çàòðóäíèòåëüíûì, åñëè íå íåâîçìîæíûì.Ïðîùå âñåãî îáúÿñíèòü âîçíèêàþùèå òðóäíîñòè íå íà ïðèìåðå îäíîãî óðàâíåíèÿ,à íà ïðèìåðå ñèñòåì óðàâíåíèé.Ðàññìîòðèì îäíîðîäíóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìèu0 = Au,ãäå u = [u1 u2 ]T , àu(0) = u0 ,¸a11 a12.A=a21 a22·(18.6)18.2.
ÆÅÑÒÊÈÅ ÇÀÄÀ×È187Íàéäåì è ïðîàíàëèçèðóåì ðåøåíèå çàäà÷è (18.6). Êàê îáû÷íî, áóäåì åãî èñêàòü ââèäåu(t) = ξeλt ,(18.7)ãäå ξ äâóìåðíûé ÷èñëîâîé âåêòîð, à λ ïîñòîÿííàÿ. Ïîäñòàâëÿÿ (18.7) â (18.6),íàõîäèì, ÷òîλξeλt = eλt Aξ,à, ñîêðàùàÿ íà eλt , ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:Aξ = λξ.(18.8)Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî A ìàòðèöà ïðîñòîé ñòðóêòóðû, ò.å. ó íåå èìååòñÿ ïîëíûéíàáîð ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.
ÒîãäàAξ 1 = λ1 ξ1 ,Aξ 2 = λ2 ξ2è ξ 1 è ξ 2 ëèíåéíî íåçàâèñèìû. ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (18.6) ïðèíèìàåò âèäu(t) = c1 ξ 1 eλ1 t + c2 ξ2 eλ2 t ,(18.9)à ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (18.6) ïîëó÷àåòñÿ îòñþäà ïðè çíà÷åíèÿõ c1 è c2 , íàéäåííûõèç àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìûξ 1 c 1 + ξ 2 c 2 = u0 .(18.10)Áóäåì äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå ÷èñëà λ1 è λ2 äåéñòâèòåëüíû.Áîëåå ñóùåñòâåííûì äëÿ íàñ áóäåò ïðåäïîëîæåíèå îá èõ îòðèöàòåëüíîñòèλ1 < 0,λ2 < 0.(18.11) ñèëó ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèé ìîäóëè êîìïîíåíò u1 è u2 ðåøåíèÿ (18.9) áóäåòñòðåìèòüñÿ ê íóëþ ïðè t → ∞.188 18.ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂ1eλ1t0.5λte2t*012tÐèñ. 1Ïðåäïîëîæèì òåïåðü äîïîëíèòåëüíî, ÷òîλ1 = O(1),|λ2 | À |λ1 |.(18.12)Òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå eλ2 t óáûâàåò çíà÷èòåëüíî áûñòðåå eλ1 t , òî ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿt∗ ñîñòàâëÿþùàÿ c2 ξ 2 eλ2 t ðåøåíèÿ (18.9) áóäåò ïðàêòè÷åñêè ðàâíîé íóëþ, è ðåøåíèåáóäåò ïî÷òè ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿòüñÿ ñîñòàâëÿþùåé c1 ξ 1 eλ1 t .
(ñì. ðèñ. 1) ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè åñòåñòâåííî áûëî áû îæèäàòü, ÷òî è ó ÷èñëåííîãîðåøåíèÿ çàäà÷è (18.6) ìîäóëè êîìïîíåíò õîòÿ áû íå âîçðàñòàëè.Ïðèìåíèì äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (18.6) ìåòîä Ýéëåðàun+1 − un= Aun ,τu0 = u0 .(18.13)Íàéäåì ðåøåíèå çàäà÷è (18.13). Èñêàòü åãî áóäåì â âèäå (ñì.
(6.30))un = ξq n ,q = const 6= 0.Ïîäñòàâëÿÿ (18.14) â (18.13), ïîëó÷èìqnq−1ξ = q n Aξ,τ(18.14)18.2. ÆÅÑÒÊÈÅ ÇÀÄÀ×È189à ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà q n îáíàðóæèâàåì, ÷òî äëÿ îòûñêàíèÿ ξ èìååì çàäà÷ó (18.8) ñλ = (q − 1)/τ . Ïîýòîìó q = 1 + τ λ, è ðåøåíèå çàäà÷è (18.13) åñòüun = c1 ξ 1 (1 + τ λ1 )n + c2 ξ 2 (1 + τ λ2 )n ,(18.15)ãäå c1 , c2 ðåøåíèå ñèñòåìû (18.10).×òîáû ìîäóëè êîìïîíåíò ðåøåíèÿ (18.15) íå âîçðàñòàëè ïðè n → ∞, íåîáõîäèìîè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ|1 + τ λ1 | 6 1,|1 + τ λ2 | 6 1,÷òî âìåñòå ñ (18.11) è (18.12) ïðèâîäèò ê óñëîâèþτ 6 2/|λ2 | ¿ 1.(18.16)Îãðàíè÷åíèå (18.16), âîîáùå ãîâîðÿ, ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî æåñòêèì.
Åñëè ïðè t 6 t∗ýòî îãðàíè÷åíèå âïîëíå ðàçóìíî, è äàæå èç ñîîáðàæåíèé àïïðîêñèìàöèè è òî÷íîñòèíóæíî òðåáîâàòü τ ¿ 2/|λ2 |, òî ïðè t > t∗ , êîãäà âòîðàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ êàæäîéêîìïîíåíòû ðåøåíèÿ (18.15) âðîäå áû íå äîëæíà ïîñòàâëÿòü íîâîé èíôîðìàöèè, èæåëàòåëüíî áûëî áû óâåëè÷èòü øàã τ ñ òîé öåëüþ, ÷òîáû ñýêîíîìèòü ðåñóðñû èíå âîñïðîèçâîäèòü ïåðâóþ ñîñòàâëÿþùóþ ñ èçëèøíåé òî÷íîñòüþ. Íî òîãäà ïðèäåòñÿíàðóøèòü óñëîâèå (18.16), ÷òî ïðèâåäåò ê ðåçêîìó âîçðàñòàíèþ âòîðîé ñîñòàâëÿþùåéðåøåíèÿ è ïîëíîé ïîòåðå òî÷íîñòè.Îïðåäåëåíèå 18.4.
Ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (18.6) ñ ïîñòîÿííîéìàòðèöåé A ïîðÿäêà m íàçûâàåòñÿ æåñòêîé, åñëè1◦ Re λj < 0 , j = 0, . . . , m,2◦ îòíîøåíèåmax |Re λj |jS=À 1.min |Re λj |(18.17)jÎïðåäåëåíèå 18.5. ×èñëî S èç (18.17) íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì æåñòêîñòèçàäà÷è (18.6).Çàìå÷àíèå 18.2. Äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû ñ ìàòðèöåé A, çàâèñÿùåé îò t, êîýôôèöèåíòæåñòêîñòè òàêæå çàâèñèò îò t, è, åñëè îí âåëèê äëÿ êàêèõ-ëèáî t èç èíòåðåñóþùåãîíàñ èíòåðâàëà, òî ñèñòåìà æåñòêàÿ. Äëÿ íåëèíåéíûõ ñèñòåì æåñòêîñòü îïðåäåëÿåòñÿâ îêðåñòíîñòè êàêîãî-ëèáî ðåøåíèÿ ïðè ïîìîùè ñîîòâåòñòâóþùåé ìàòðèöû ßêîáè.Ïðèìåíèì òåïåðü äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (18.6) íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðàun+1 − un= Aun+1 .τÏîäñòàâëÿÿ ñþäà (18.14), íàõîäèì, ÷òîqn+1 1− q −1ξ = q n+1 Aξ,τ190 18.ò.å. λτ = (1 − q −1 )ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂ, q = (1 − τ λ)−1 èun = c1 ξ 1 (1 − τ λ)−n + c2 ξ 2 (1 − τ λ2 )−n .Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (18.11) ìîäóëè êîìïîíåíò un ìîíîòîííî óáûâàþò ïðè n → ∞ ïðè ëþáûõ τ , è, ñëåäîâàòåëüíî, τ ìîæíî âûáèðàòü òîëüêî èçñîîáðàæåíèé òî÷íîñòè.Íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà ïðè ðåøåíèè æåñòêèõ ñèñòåì îêàçàëñÿ ñóùåñòâåííî áîëååóñòîé÷èâûì, ÷åì ïðîñòî ìåòîä Ýéëåðà.Êàê îòîáðàòü ìåòîäû, ïðèãîäíûå äëÿ ðåøåíèÿ æåñòêèõ çàäà÷? Óæåñòî÷èòü òðåáîâàíèå óñòîé÷èâîñòè.18.3A-óñòîé÷èâîñòüÅñëè ïðè îïðåäåëåíèè íóëü-óñòîé÷èâîñòè îñíîâíîé ìîäåëüþ áûëî óðàâíåíèå (18.5),òî òåïåðü ñëåäóåò îáðàòèòüñÿ ê óðàâíåíèþ (17.25).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
