В.Б. Андреев - Численные методы (2 в 1). (2007) (1160465), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Ìíîãîøàãîâûé ìåòîä (17.17) âïðèìåíåíèè ê ëèíåéíîìó îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ (17.25) èìååò âèä (17.27), à õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ýòîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (18.2).Îïðåäåëåíèå 18.6. Ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä (17.17) â ïðèìåíåíèè ê óðàâ-íåíèþ (17.25) íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî óñòîé÷èâûì äëÿ äàííîãî λ è äàííîãî τ , åñëè ïðèóêàçàííîì çíà÷åíèè τ λ âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (18.2) ðàñïîëîæåíûâíóòðè åäèíè÷íîãî êðóãà.Îïðåäåëåíèå 18.7.
Ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè τ λ, äëÿ êîòîðûõëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä (17.17) â ïðèìåíåíèè ê (17.25) àáñîëþòíî óñòîé÷èâ,íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ìåòîäà.Ïðèìåð 4◦ . Ìåòîä Ýéëåðà (15.7). Åäèíñòâåííûé êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâ-íåíèÿ q = 1 + τ λ. Óñëîâèå àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè|1 + τ λ| 6 1.Îáëàñòüþ àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íûé êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå τ λ =−1. (ñì. ðèñ. 2)Ïðèìåð 5◦ . Íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà (15.8). Óñëîâèå àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè|q| = |1 − τ λ|−1 6 1,ò.å.|1 − τ λ| > 1.Îáëàñòüþ àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ÿâëÿåòñÿ âíåøíîñòü åäèíè÷íîãî êðóãà ñ öåíòðîìâ òî÷êå τ λ = 1.(ñì. ðèñ.
3)Îïðåäåëåíèå 18.8. Ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä (17.17) íàçûâàåòñÿ A-óñòîé÷èâàûì,åñëè îáëàñòü åãî àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ñîäåðæèò ëåâóþ ïîëóïëîñêîñòü Re(τ λ) < 0.18.3. A-ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ–2–119111001τλ2τλ–1–1Ðèñ. 2Ðèñ. 3Èç ïðèâåäåííûõ ïðèìåðîâ ñëåäóåò, ÷òî ìåòîä Ýéëåðà íå ÿâëÿåòñÿ A-óñòîé÷èâûì,à íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà A-óñòîé÷èâ.Ïðèìåð 6◦ . Ìåòîä òðàïåöèé (15.12). Ïðèìåíèòåëüíî ê óðàâíåíèþ (17.25) ýòîòìåòîä èìååò âèäun+1 − unun+1 + un=λ,τ2à åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå åñòü (q − 1)/τ = λ(q + 1)/2.
Îòñþäà íàõîäèìåäèíñòâåííûé êîðåíü1 + τ λ/2q=1 − τ λ/2è óñëîâèå àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñò误¯ 1 + τ λ/2 ¯¯¯6 1|q| =¯1 − τ λ/2 ¯èë误 ¯¯¯1 + τ λ/2¯6¯1 − τ λ/2¯.Ïóñòü τ λ = x + iy . Òîãäà óñëîâèå àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ïðèìåò âè䯯 ¯¯¯¯ ¯¯¯1 + x + i y ¯6¯1 − x − i y ¯.¯¯¯2222¯èëè³x ´2 y 2 ³x ´2 y 2+6 1−+ .2424Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè, íàõîäèì, ÷òî óñëîâèå àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè åñòü1+x = Re(τ λ) < 0.Îáëàñòüþ àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ìåòîäà òðàïåöèé ÿâëÿåòñÿ ëåâàÿ ïîëóïëîñêîñòüRe(τ λ) < 0 (Ðèñ.
4). Ìåòîä A-óñòîé÷èâ.192 18.ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂτλÐèñ. 4Òåîðåìà 18.2. Ñðåäè ëèíåéíûõ ìíîãîøàãîâûõ ìåòîäîâ (17.17) íå ñóùåñòâóåòÿâíûõ A-óñòîé÷èâûõ ìåòîäîâ.Òåîðåìà 18.3. Ñðåäè íåÿâíûõ ëèíåéíûõ ìíîãîøàãîâûõ ìåòîäîâ (17.17) íå ñóùåñòâóåò A-óñòîé÷èâûõ ìåòîäîâ, èìåþùèõ ïîðÿäîê òî÷íîñòè âûøå âòîðîãî.Ïðèìåð 7◦ . Äâóõøàãîâàÿ ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íàçàä. Ýòîò ìåòîä çàäà-åòñÿ ñîîòíîøåíèåì (17.16)µ31un+1 − 2un + un−122¶= τ f (un+1 ).(18.18)Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå, îòâå÷àþùåå ýòîìó ìåòîäó â ïðèìåíåíèè ê óðàâíåíèþ(17.25) åñòü3 21q − 2q + − τ λq 2 = 0.(18.19)22Îïðåäåëèì îáëàñòü àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ýòîãî ìåòîäà. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íîíàéòè åå ãðàíèöó, ò.å.
òàêîå ìíîæåñòâî êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè z = τ λ, ãäå |q(z)| = 1.Ñ ýòîé öåëüþ âûðàçèì èç (18.19) τ λ ÷åðåç qz=13 2− + 2.2 q 2q(18.20)Ïîñêîëüêó íàñ èíòåðåñóþò çíà÷åíèÿ |q| = 1, òî ïóñòü q = e−iϕ . Îòñþäà è èç (18.20)z=31− 2eiϕ + e2iϕ .22(18.21)18.3. A-ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ193Ïðè èçìåíåíèè àðãóìåíòà ϕ îò 0 äî 2π òî÷êà z èç (18.21) îïèñûâàåò çàìêíóòóþ êðèâóþ, ñèììåòðè÷íóþ îòíîñèòåëüíî äåéñòâèòåëüíîé îñè (ôóíêöèÿ sin kϕ íå÷åòíàÿ),êîòîðàÿ è ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöåé îáëàñòè àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè.311− 2 cos ϕ + cos 2ϕ + i(−2 sin ϕ + sin 2ϕ) =22231= − 2 cos ϕ + cos2 ϕ − + i(−2 sin ϕ + sin ϕ cos ϕ) =22p2= (1 − cos ϕ) ± i 1 − cos2 ϕ(2 − cos ϕ) =√= (1 − t)2 ± i 1 − t2 (2 − t),t = cos ϕ.z=Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîRe z = (1 − t)2 > 0,è, ñëåäîâàòåëüíî, êðèâàÿ ðàñïîëîæåíà â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè.
Ïîñòðîèì åå. Ìíèìàÿ ÷àñòü z(t) îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè t = ±1. Äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü z(t) ïðè ýòèõçíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà ðàâíà 0 è 4.Èññëåäîâàíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òîÃ√ !√ √1− 3(3 + 3) 4 3√max Im z(t) = Im z=≈ 2.20,[−1,1]22 2Ã√ !√1− 32+ 3Re z=≈ 1.86.22Èç (18.20) íàõîäèì, ÷òî ïðè|q| → ∞,z→3∈ G,2è, ñëåäîâàòåëüíî, âíóòðåííîñòü îáëàñòè îáëàñòü íåóñòîé÷èâîñòè.
Òåì ñàìûì, âíåG (Ðèñ. 5) |q| < 1, è ìåòîä àáñîëþòíî óñòîé÷èâ, à, ñëåäîâàòåëüíî, è A-óñòîé÷èâ. Ýòîòìåòîä âòîðîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè.Ïðèìåð 8◦ . Òðåõøàãîâàÿ ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íàçàä. (Óïðàæíåíèå 17.3)1131un+1 − 3un + un−1 − un−2 = τ λun+1 .623(18.22)Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ýòîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä11 331q − 3q 2 + q − = τ λq 3 .623Ñíîâà ïîëîæèì |q| = 1, ò.å.
q = e−iϕ è τ λ = z . Òîãäàz=1131− 3eiϕ + e2iϕ − e3iϕ .623(18.23)194 18.ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂ2τλ4Ðèñ. 5Îáîçíà÷àÿ cos ϕ = t, ïîñëå ïðîñòûõ âû÷èñëåíèé íàõîäèì, ÷òî1i√1 − t2 (4t2 − 9t + 8).z = − (t − 1)2 (4t − 1) ±33Ïðè t = ±1 Im z = 0, à Re z = 0 èëè 20/3. Èññëåäîâàíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî Re z êàêôóíêöèÿ t ïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ ïðè t = 1/2 è t = 1.
Çíà÷åíèå t = 1 ìûóæå ðàññìîòðåëè, à√Re z (1/2) = min Re (t) = −1/12, Im z(1/2) = ±3 3/4 ≈ ±1.30è, ñëåäîâàòåëüíî, ÷àñòü ãðàíèöû îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè ðàñïîëîæåíà â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè. Êàê ëåãêî âèäåòü, ìíèìóþ îñü ãðàíèöà óñòîé÷èâîñòè ïåðåñåêàåò ïðè t = 1/4è√Im z(1/4) = ± 15/2 ≈ ±1.94.Ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ Im z(t) ïðèíèìàåò â òî÷êåt∗ = −ïðè÷åìi√√1h(2 + 3)1/3 + (2 + 3)−1/3 − 1 ≈ −0.60,2Im z(t∗ ) ≈ ±3.96,Îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè èçîáðàæåíà íà ðèñ. 6.Re z(t∗ ) ≈ 2.89.18.3.
A-ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ19542τλ6Ðèñ. 6.Îïðåäåëåíèå 18.9. Ëèíåéíûé ìíîãîøàãîâûé ìåòîä íàçûâàåòñÿ A(α)-óñòîé÷èâûì,åñëè åãî îáëàñòü àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ñîäåðæèò óãî믯¯arg (−τ λ)¯< α.Çàìå÷àíèå 18.3. A(π/2)- è A- óñòîé÷èâîñòè ñîâïàäàþò.Òåîðåìà 18.4. Ñóùåñòâóþò ìíîãîøàãîâûå ìåòîäû 3-ãî è 4-ãî ïîðÿäêîâ òî÷íîñòèA(α)-óñòîé÷èâûå ïðè ëþáûõ α < π/2.Òåîðåìà 18.5.
ßâíûå ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäû íå ÿâëÿþòñÿ A(α) - óñòîé-÷èâûìè íè ïðè êàêèõ α.Òåîðåìà 18.6. Ìåòîäû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íàçàä ïðè k 6 6 ÿâëÿþòñÿ A(α) óñòîé÷èâûìè ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèÿõ α 6= 0.Óïðàæíåíèå 18.3. Èññëåäîâàòü îáëàñòü àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè äâóõøàãîâîãîíåÿâíîãî ìåòîäà Àäàìñà.196 18.ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂ18.4 Óñòîé÷èâîñòü ìåòîäîâ Ðóíãå-ÊóòòûÊàê áûëî óæå îòìå÷åíî, ìåòîäû (âñå) Ðóíãå-Êóòòû ÿâëÿþòñÿ íóëü-óñòîé÷èâûìè.Èññëåäóåì îáëàñòè àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè íåêîòîðûõ èç ýòèõ ìåòîäîâ. Ðàññìîòðèìÿâíûé òðåõýòàïíûé ìåòîä òðåòüåãî ïîðÿäêà, çàäàâàåìûé òàáëèöåé (16.44), êîòîðàÿèìååò âèä1/2 1/21−121/6 2/3 1/6Ïðèìåíèòåëüíî ê óðàâíåíèþ (17.25) ýòîò ìåòîä çàäàåòñÿ ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìèY 1 = un ,τλY1 ,2Y3 = un − τ λY1 + 2τ λY2 ,µ¶121un+1 = un + τ λY1 + Y2 + Y3 .636Y 2 = un +Èñêëþ÷àÿ èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé ïðîìåæóòî÷íûå âåëè÷èíû Y1 , Y2 è Y3 , áóäåì èìåòüµY2 =·τλ1+2¶un ,µ¶¸τλY3 = 1 − τ λ + 2τ λ 1 +un2µ¶½·1 2τλ+1++un+1 = 1 + τ λ6 32µ¶τ 2 λ2 τ 3 λ3= 1 + τλ ++un .26= (1 + τ λ + τ 2 λ2 )un ,¸¾12 2(1 + τ λ + τ λ ) un =6Ýòî åñòü ëèíåéíîå ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà, åäèíñòâåííûé êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ êîòîðîãî ðàâåíq = 1 + τλ +τ 2 λ2 τ 3 λ3+= eτ λ + O(τ 4 λ4 ).26Îáîçíà÷èì τ λ ÷åðåç z .
Òîãäàz2 z3+ .q =1+z+26Ýòîò êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ åñòü ìíîãî÷ëåí òðåòüåé ñòåïåíè îò z è âëåâîé ïîëóïëîñêîñòè Re z < 0 îãðàíè÷åííûì áûòü íå ìîæåò. Ìåòîä íå ÿâëÿåòñÿ A(α)-óñòîé÷èâûì íè ïðè êàêîì α.18.4. ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÅÒÎÄΠÐÓÍÃÅ-ÊÓÒÒÛ197Ðàññìîòðèì òåïåðü äâóõýòàïíûé ìåòîä òðåòüåãî ïîðÿäêà, çàäàâàåìûé òàáëèöåé(16.33), êîòîðàÿ èìååò âèäθ1 = γγ0θ2 = 1 − γ 1 − 2γ γ1/21/2√3± 3γ=.6Ïðèìåíèòåëüíî ê óðàâíåíèþ (17.25) ýòîò ìåòîä çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîìY1 = un + γτ λY1 ,Y2 = un + τ λ(1 − 2γ)Y1 + τ λγY2 ,τλun+1 = un +(Y1 + Y2 ).2Êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, ïîëîæèì τ λ = z è èñêëþ÷èì Y1 è Y2 .
Ðåøàÿ ñèñòåìóëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî Y1 è Y2 (ïåðâûåäâà óðàâíåíèÿ) è ïîäñòàâëÿÿ ðåçóëüòàò â òðåòüå óðàâíåíèå, íàõîäèì, ÷òî1 + (1 − 3γ)zun, Y2 =un ,1 − γz(1 − γz)2·µ¶¸1z1 + (1 − 3γ)z= 1++un .2 1 − γz(1 − γz)2Y1 =un+1Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åäèíñòâåííûì êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ1 − 2γz + γ 2 z 2 + z/2 − γz 2 /2 + z/2 + (1 − 3γ)z 2 /2=(1 − γz)2P (z)1 + (1 − 2γ)z + (γ 2 − 2γ + 1/2)z 2=.=1 − 2γz + γ 2 z 2Q(z)q=Ýòîò êîðåíü ÿâëÿåòñÿ äðîáíî-ðàöèîíàëüíîéôóíêöèåé, ïîëþñîì âòîðîãî ïîðÿäêà êî√−1òîðîé ÿâëÿåòñÿ òî÷êà z = γ = (3∓ 3)/6, ðàñïîëîæåííàÿ â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè. Âëåâîé ïîëóïëîñêîñòè ýòà ôóíêöèÿ àíàëèòè÷íà è, ñëåäîâàòåëüíî, ìàêñèìóì åå ìîäóëÿçäåñü íå ïðåâîñõîäèò ìàêñèìóìà ìîäóëÿ íà ãðàíèöå, ò.å. ïðè z = iy .
Îöåíèì åå ìîäóëüíà ìíèìîé îñè. Èìåå죤2|P (iy)|2 = 1 − (γ 2 − 2γ + 1/2)y 2 + (1 − 2γ)2 y 2 == 1 − 2(γ 2 − 2γ + 1/2)y 2 + (γ 2 − 2γ + 1/2)2 y 4 + (1 − 4γ + 4γ 2 )y 2 == 1 + 2γ 2 y 2 + (γ 2 − 2γ + 1/2)2 y 4èÎòñþäà|Q(iy)|2 = (1 − γ 2 y 2 )2 + 4γ 2 y 2 = 1 + 2γ 2 y 2 + γ 4 y 4 .¯¯¯ P (iy) ¯2 1 + 2γ 2 y 2 + (γ 2 − 2γ + 1/2)2 y 4¯¯.¯ Q(iy) ¯ =1 + 2γ 2 y 2 + γ 4 y 4198 18.ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂÄîáàâèì ê ÷èñëèòåëþ è âû÷òåì èç íåãî γ 4 y 4 , ïîñëå ÷åãî âûäåëèì åäèíèöó¯¯2222 4¯ P (iy) ¯2¯¯ = 1 + (γ − 2γ + 1/2 − γ )(γ − 2γ + 1/2 + γ )y .¯ Q(iy) ¯(1 + γ 2 y 2 )2Ïîäñòàâèì âìåñòî γ åãî çíà÷åíèÿ èç (16.33).
Íàéäåì, ÷òî√−3 ∓ 2 3−2γ + 1/2 =,6à√√9 + 3 ± 6 3 −3 ∓ 2 312γ − 2γ + 1/2 =+=1866.2Ïîýòîìó√¯¯¯ P (iy) ¯23±23y4¯¯ =1−.¯ Q(iy) ¯36 (1 + γ 2 y 2 )2√Ïîñêîëüêó ýòî âûðàæåíèå íå ìåíüøå íóëÿ, à ïðè γ = (3+ 3)/6 (âåðõíèé çíàê â êîýôôèöèåíòå ó âòîðîãî ñëàãàåìîãî) âû÷èòàåìîå íåîòðèöàòåëüíî, òî â ðàññìàòðèâàåìîìñëó÷à寯¯ P (iy) ¯¯¯¯ Q(iy) ¯6 1,√è èçó÷àåìûé ìåòîä ÿâëÿåòñÿ A-óñòîé÷èâûì.
Ïðè γ = (3 − 3)/6 âû÷èòàåìîå îòðèöàòåëüíî, è ïîýòîìó |P (iy)/Q(iy)| > 1 äëÿ y 6= 0.  ýòîì ñëó÷àå ìåòîä A-óñòîé÷èâûì íåÿâëÿåòñÿ. Îáëàñòè àáñîëþòíîé óñòîé÷èâîñòè ýòèõ ìåòîäîâ èçîáðàæåíû íà ðèñóíêàõ7 è 8, ñîîòâåòñòâåííî.√Òåì ñàìûì, îäèí èç ìåòîäîâ (16.33), èìåííî, îòâå÷àþùèé γ = (3 + 3)/6, ÿâëÿåòñÿA-óñòîé÷èâûì, â òî âðåìÿ êàê âòîðîé òàêèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàåò è äàæå íå ÿâëÿåòñÿA(α)-óñòîé÷èâûì.Óïðàæíåíèå 18.4. Äîêàçàòü, ÷òî íåÿâíûé äâóõýòàïíûé ìåòîä Ðóíãå-Êóòòû ÷åò-âåðòîãî ïîðÿäêà (îïòèìàëüíûé äâóõýòàïíûé ìåòîä) (16.34) ÿâëÿåòñÿ A(α)-óñòîé÷èâûì.18.4. ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÅÒÎÄΠÐÓÍÃÅ-ÊÓÒÒÛ1996τλ12Ðèñ.
78–12τλÐèñ. 8200 18.ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÌÍÎÃÎØÀÃÎÂÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂÃëàâà V×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ êðàåâûõçàäà÷ äëÿ îáûêíîâåííûõäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé201 19Ýëåìåíòû òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì19.1 ÂâåäåíèåÏðîñòåéøèì ñîäåðæàòåëüíûì ïðèìåðîì êðàåâîé çàäà÷è äëÿ îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé−u00 (x) = f (x),0 < x < l,(19.1)u(0) = g0 ,u(1) = g1 .(19.2)Ó êðàåâîé çàäà÷è, â îòëè÷èå îò çàäà÷è Êîøè, äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ, âûäåëÿþùèååäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (19.1), çàäàþòñÿ íå â îäíîé òî÷êå, à â íåñêîëüêèõ(îáû÷íî â äâóõ), è íàçûâàþòñÿ êðàåâûìè (èëè ãðàíè÷íûìè) óñëîâèÿìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
