В.Б. Андреев - Численные методы (2 в 1). (2007) (1160465), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Ýòî âíîñèòäîïîëíèòåëüíûå òðóäíîñòè â ïðîöåññ ðåøåíèÿ çàäà÷è.Ìû áóäåì èçó÷àòü ðàçíîñòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷. Äëÿ ýòîãî íà îòðåçêå [0, l] ââåäåì ñåòê󯩪ω := x = xi = ih ¯ i = 0, . . . , N .Òî÷êè xi áóäåì íàçûâàòü óçëàìè ñåòêè, à ÷èñëî h = l/N åå øàãîì. Ââåäåííàÿ ñåòêàÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíîé. Åñëè áû ðàññòîÿíèÿ ìåæäó óçëàìè ìåíÿëîñü ïðè ïåðåõîäå îòîäíîãî óçëà ê äðóãîìó, òî ñåòêà áûëà áû íåðàâíîìåðíîé.Ñóòü ðàçíîñòíûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðîèçâîäíûå, âõîäÿùèå â äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, çàìåíÿþòñÿ ïîäõîäÿùèìè ðàçíîñòíûìè îòíîøåíèÿìè.  ðåçóëüòàòåêðàåâàÿ çàäà÷à çàìåíÿåòñÿ (àïïðîêñèìèðóåòñÿ) ñèñòåìîé àëãåáðàè÷åñêèõ (ëèíåéíûõ,åñëè èñõîäíàÿ çàäà÷à áûëà ëèíåéíîé) óðàâíåíèé, ðåøåíèå êîòîðîé è ïðèíèìàåòñÿ çàïðèáëèæåííîå ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è.203204 19.
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÑÕÅÌÍàïîìíèì ïðîñòåéøèå àïïðîêñèìàöèè ïåðâîé è âòîðîé ïðîèçâîäíûõu(xi ) − u(xi−1 )h= u0 (xi ) + O(h),(19.3)u(xi+1 ) − u(xi )h= u0 (xi ) + O(h),(19.4)u(xi+1 ) − u(xi−1 )2h= u0 (xi ) + O(h2 ),(19.5)−u(xi+2 ) + 4u(xi+1 ) − 3u(xi )= u0 (xi ) + O(h2 ),2h(19.6)u(xi+1 ) − 2u(xi ) + u(xi−1 )h2= u00 (xi ) + O(h2 ).(19.7)Äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè ñîîòíîøåíèé (19.3) è (19.4) äîñòàòî÷íî, ÷òîáû u(x) ∈ C 2 , äëÿñïðàâåäëèâîñòè (19.5) è (19.6) u(x) ∈ C 3 , äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè (19.7) u(x) ∈ C 4 . Âýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ ïóòåì ðàçëîæåíèÿ ëåâûõ ÷àñòåé (19.3)-(19.7) â òî÷êå x = xi ïîôîðìóëå Òåéëîðà.Óïðàæíåíèå 19.1.
Óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè (19.3)-(19.7).Çàìå÷àíèå 19.1. Åñëè ôóíêöèþ u(x) çàìåíèòü èíòåðïîëÿöèîííûì ìíîãî÷ëåíîìËàãðàíæà ïåðâîé ñòåïåíè ïî óçëàì xi−1 è xi èëè xi è xi+1 , à çàòåì åãî ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü, òî ïîëó÷èì ëåâûå ÷àñòè ñîîòíîøåíèé (19.3), (19.4). Çàìåíÿÿ u(x) èíòåðïîëÿöèîííûì ìíîãî÷ëåíîì âòîðîé ñòåïåíè ïî óçëàì xi−1 , xi , xi+1 èëè xi , xi+1 , xi+2 ,äèôôåðåíöèðóÿ ïîëó÷åííûé èíòåðïîëÿíò è ïîëàãàÿ x = xi , ïîëó÷èì ëåâûå ÷àñòè(19.5) è (19.6), ñîîòâåòñòâåííî.Âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèåì (19.7) äëÿ çàìåíû âòîðîé ïðîèçâîäíîé â (19.1) ðàçíîñòíûì îòíîøåíèåì−u(xi+1 ) − 2u(xi ) + u(xi−1 )≈ f (xi ),h2xi = h, 2h, . .
. , l − h.Ïðåâðàòèì ïðèáëèæåííûå ðàâåíñòâà â òî÷íûå ïóòåì çàìåíû òî÷íîãî ðåøåíèÿ u(xi )â óçëå xi íà ïðèáëèæåííîå uhi :−uhi+1 − 2uhi + uhi−1= fi ,h2i = 1, N − 1,(19.8)Ýòî åñòü ñèñòåìà (N − 1) ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ N + 1 íåèçâåñòíûìèuh0 , uh1 , . . . , uhN . Ñèñòåìà (19.8) íåäîîïðåäåëåíà (êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü).
Âîñïîëüçóåìñÿ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (19.2) è ïîëîæèìuh0 = g0 ,uhN = g1 .(19.9)Ðåøåíèå ñèñòåìû (19.8), (19.9), åñëè îíî ñóùåñòâóåò, áóäåì íàçûâàòü ïðèáëèæåííûìðåøåíèåì çàäà÷è (19.1), (19.2).19.2. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß ÒÅÎÐÈÈ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÑÕÅÌ20519.2 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåìÎáîçíà÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ëåâîé ÷àñòè (19.1), ÷åðåç Lu.Òîãäà äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (19.1) ïðèìåò âèäLu = f (x),0 < x < l.(19.10)Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (19.2) çàïèøåì â âèäå(19.11)lu = g.Àíàëîãè÷íî, ðàçíîñòíîå âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ëåâîé ÷àñòè (19.8), îáîçíà÷èì ÷åðåçLh uh .
Òîãäà èç (19.8) áóäåì èìåòüLh uhi = fih ,i = 1, N − 1,(19.12)ãäå fih = fi . Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (19.9) çàïèøåì â âèäå, àíàëîãè÷íîì (19.11)l h uh = g h .(19.13)Îïðåäåëåíèå 19.1. Ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿΨv (x) := Lh v − Lv,x ∈ ω,(19.14)îïðåäåëåííàÿ íà ñåòêå ω , ãäå v äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà [0, l], íàçûâàåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè äèôôåðåíöèàëüíîãî âûðàæåíèÿ Lv ðàçíîñòíûìâûðàæåíèåì Lh v .Îïðåäåëåíèå 19.2. Ðàçíîñòíîå âûðàæåíèå Lh v àïïðîêñèìèðóåò äèôôåðåöèàëüíîåâûðàæåíèå Lv , åñëè ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè Ψv → 0 (â êàêîì-íèáóäü ñìûñëå)ïðè h → 0.Îïðåäåëåíèå 19.3. Ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿz = uh − u,x ∈ ω,(19.15)ãäå uh ðåøåíèå çàäà÷è (19.12), (19.13), à u ðåøåíèå çàäà÷è (19.10), (19.11),íàçûâàåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ ðåøåíèÿ.Ñôîðìóëèðóåì çàäà÷ó äëÿ ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ z . Ïîäñòàâèì â (19.12), (19.13)u , âûðàæàåìîå èç (19.15) ÷åðåç z è u: uh = z + u.
Áóäåì èìåòühLh z = f h − Lh u,lh z = g h − lh u.(19.16)x ∈ ω,(19.17)Îïðåäåëåíèå 19.4. ÔóíêöèÿΨ = f h − Lh u,ÿâëÿþùàÿñÿ ïðàâîé ÷àñòüþ óðàâíåíèÿ äëÿ ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ (19.16), íàçûâàåòñÿïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè óðàâíåíèÿ (19.10) óðàâíåíèåì (19.12).206 19. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÑÕÅÌÎïðåäåëåíèå 19.5. Ôóíêöèÿψ = g h − lh u,(19.18)ÿâëÿþùàÿñÿ ïðàâîé ÷àñòüþ â ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ äëÿ ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ (19.16),íàçûâàåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (19.11) ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (19.13).Çàìå÷àíèå 19.2. Òàê êàê â ñèëó (19.10) Lu − f = 0, òî, äîáàâëÿÿ ýòîò íóëü êïðåäñòàâëåíèþ ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè (19.17), áóäåì èìåòüΨ = f h − Lh u = f h − f − (Lh u − Lu) = (f h − f ) − Ψu ,(19.19)ãäå Ψu îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (19.14).
Òåì ñàìûì, ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèèóðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàçíîñòü ìåæäó ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè ïðàâîé÷àñòè è ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè äèôôåðåíöèàëüíîãî âûðàæåíèÿ. Àíàëîãè÷íûåïðåäñòàâëåíèÿ èìåþò ìåñòî è äëÿ ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé:ψ = g h − lh u = g h − g − (lh u − lu) = (g h − g) − ψu .(19.20)Îïðåäåëåíèå 19.6. Çàäà÷à (19.12), (19.13) àïïðîêñèìèðóåò çàäà÷ó (19.10), (19.11),åñëè Ψ è ψ ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè h → 0 âìåñòå ñ Ψu è ψu .Îïðåäåëåíèå 19.7. Ðåøåíèå çàäà÷è (19.12), (19.13) ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è(19.10), (19.11), åñëè z → 0 (â êàêîì-ëèáî ñìûñëå) ïðè h → 0.Îïðåäåëåíèå 19.8. Çàäà÷à (19.12), (19.13) àïïðîêñèìèðóåò çàäà÷ó (19.10), (19.11)ñ ïîãðåøíîñòüþ ïîðÿäêà n > 0, åñëèkΨu k(1) = o(1),kψu k(2) = o(1),kΨk(1) = O(hn ),kψk(2) = O(hn )Îïðåäåëåíèå 19.9.
Ðåøåíèå çàäà÷è (19.12), (19.13) ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è(19.10), (19.11) ñî ñêîðîñòüþ O(hn ), åñëèkzk(3) = O(hn ).Ïðîèëëþñòðèðóåì ââåäåííûå ïîíÿòèÿ íà ïðèìåðå çàäà÷è (19.1), (19.2). Òàê êàê âäàííîì ñëó÷àå L = −d2 v/d x2 , àLh v = −òî, â ñèëó (19.7),v(xi+1 ) − 2v(xi ) + v(xi−1 ),h2Ψv = O(h2 ),ò.å. äèôôåðåíöèàëüíîå âûðàæåíèå v 00 àïïðîêñèìèðóåòñÿ ðàçíîñòíûì âûðàæåíèåì (vi+1 −2vi + vi−1 )/h2 íà ôóíêöèÿõ v(x) ∈ C 4 ñ ïîãðåøíîñòüþ O(h2 ).19.3. ÐÀÇÐÅØÈÌÎÑÒÜ È ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ207Äàëåå, òàê êàê fih = f (xi ), òî ñ ó÷åòîì (19.19) çàêëþ÷àåì, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíîåóðàâíåíèå (19.1) àïïðîêñèìèðóåòñÿ ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì (19.8) ñ ïîãðåøíîñòüþO(h2 ), åñëè u(x) ∈ C 4 [0, l].Íàêîíåö,lu = {u(0), u(1)},lh u = {u0 , uN },g = {g0 , g1 } = g h ,òàê ÷òîψ = g h − lh u = 0.Èòàê, çàäà÷à (19.8), (19.9) àïïðîêñèìèðóåò çàäà÷ó (19.1), (19.2) (ïðè u(x) ∈ C 4 [0, l] )ñ ïîãðåøíîñòüþ O(h2 ).Î÷åâèäíî, ÷òî, åñëè âìåñòî óðàâíåíèÿ (19.1) ðàññìîòðåòü óðàâíåíèåL1 u := −u00 (x) + q(x)u(x) = f (x),x ∈ (0, 1)(19.21)i = 1, N − 1(19.22)è àïïðîêñèìèðîâàòü åãî ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåìLh1 uhuhi+1 − 2uhi + uhi−1+ q(xi )uhi = f (xi ),:= −2hòî çàäà÷à (19.22), (19.9) áóäåò àïïðîêñèìèðîâàòü çàäà÷ó (19.21), (19.2) òîæå ñ ïîãðåøíîñòüþ O(h2 ).19.3 Ðàçðåøèìîñòü è ñõîäèìîñòüÈññëåäóåì âîïðîñ î ñõîäèìîñòè ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé çàäà÷è ê ðåøåíèþ çàäà÷è äèôôåðåíöèàëüíîé.
Äëÿ óðàâíåíèÿ (19.21) ýòî ñäåëàòü íåñêîëüêî ïðîùå, ÷åì äëÿ óðàâíåíèÿ(19.1). Ïîýòîìó ê íåìó ìû è îáðàòèìñÿ. Íî ñíà÷àëà óñòàíîâèì ñóùåñòâîâàíèå èåäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è (19.22), (19.9).Òåîðåìà 19.1. Åñëèq(x) > c1 > 0,0 < x < 1,(19.23)òî ðåøåíèå çàäà÷è (19.22), (19.9) ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî, è äëÿ íåãî ñïðàâåäëèâààïðèîðíàÿ îöåíêà|fi |.(19.24)max |uhi | 6 |g0 | + |g1 | + maxiic1Äîêàçàòåëüñòâî. Çàäà÷à (19.22), (19.9) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ êâàäðàòíîé ìàòðèöåé ïîðÿäêà (N +1).
Ïîýòîìó âñåãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïðàâàÿ ÷àñòü [g0 , f1 , . . . , fN −1 , g1 ] ýòîé ñèñòåìû (áåðåòñÿ ïåðâîå óðàâíåíèåèç (19.9), çàòåì ïîñëåäîâàòåëüíî âñå óðàâíåíèÿ (19.22) è, íàêîíåö, âòîðîå óðàâíåíèå(19.9)), ÷òî ðåøåíèå uh ñóùåñòâóåò. Íàïðèìåð, âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé íàáîð ÷èñåë208 19. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÑÕÅÌuh0 , uh1 , . . . , uhN è ïîäñòàâèì åãî â ëåâûå ÷àñòè (19.22), (19.9). Ýòèì ìû îïðåäåëèì ïðàâûå÷àñòè (19.22), (19.9), ïðè êîòîðûõ ðåøåíèå çàâåäîìî ñóùåñòâóåò.Ïîëó÷èì àïðèîðíóþ îöåíêó ýòîãî ðåøåíèÿ. Ïóñòümax |uhi | = |uhi0 |.iÅñëè i0 = 0 èëè i0 = N , òî â ñèëó (19.9)max |uhi | 6 max{|g0 |, |g1 |} 6 |g0 | + |g1 |,i(19.25)÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ (19.24).
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìàêñèìóì ìîäóëÿ äîñòèãàåòñÿ âî âíóòðåííåì óçëå xi0 ∈ ω . Çàïèøåì óðàâíåíèå (19.22) â ýòîì óçëå−Åñëè uhi0 > 0, òîuhi0 −1 − 2uhi0 + uhi0 +1+ qi0 uhi0 = fi0 .h2−[(uhi0 −1 − uhi0 ) + (uhi0 +1 − uhi0 )] > 0/\\0è, ñëåäîâàòåëüíî,/\\0qi0 uhi0 6 fi0 .Îòñþäà ñ ó÷åòîì (19.23)fi016max |fi |.qi0c1 i0 6 uhi0 6Åñëè æå uhi0 < 0, òî−[(uhi0 −1 − uhi0 ) + (uhi0 +1 − uhi0 )] 6 0\//0è, ñëåäîâàòåëüíî,Îòñþäà(19.26)(19.27)\//0qi0 uhi0 > fi0 .−qi0 |uhi0 | > fi0è ñíîâà|uhi0 | 6 −1fi06max |fi |.qi0c1 i(19.28)Ñîáèðàÿ îöåíêè (19.25), (19.26), (19.28), ïðèõîäèì ê (19.24).
Àïðèîðíàÿ îöåíêà ïîëó÷åíà.Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî ðåøåíèå åäèíñòâåííî. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, ò.å. äîïóñòèìñóùåñòâîâàíèå äâóõ ðåøåíèé uh(1) è uh(2) . Î÷åâèäíî, ÷òî èõ ðàçíîñòü z = uh(1) − uh(2)óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ (19.22) è îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì(19.9).  ñèëó àïðèîðíîé îöåíêè (19.24)max |zi | 6 0.i19.3. ÐÀÇÐÅØÈÌÎÑÒÜ È ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ209Ñëåäîâàòåëüíî, zi ≡ 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. Ìû äîêàçàëè, ÷òî îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà (19.22), (19.9) èìååò ëèøü òðèâèàëüíîå ðåøåíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöàýòîé ñèñòåìû íåâûðîæäåíà, è çàäà÷à (19.22), (19.9) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ïðèëþáûõ g0 , g1 è fi .
Òåîðåìà äîêàçàíà.Òåîðåìà 19.2. Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (19.23), è ðåøåíèå u(x) çàäà÷è (19.21), (19.2)ïðèíàäëåæèò C 4 [0, l], òî ðåøåíèå uh çàäà÷è (19.22), (19.9) ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþçàäà÷è (19.21), (19.2) ñî ñêîðîñòüþ O(h2 ), ò.å.¯¯¯u(xi ) − uhi ¯= O(h2 ).Äîêàçàòåëüñòâî. Íàïèøåì çàäà÷ó äëÿ ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ zi = uhi − u(xi ).Áóäåì èìåòüzi+1 − 2zi + zi−1+ qi z i = Ψ i ,z0 = zN = 0.h2Ê çàäà÷å (19.29)ïðèìåíèì òåîðåìó 19.1, â ñèëó êîòîðîé−max |zi | 6i(19.29)1max |Ψi |.c1 iÍî â ñèëó âûøåäîêàçàííîãî Ψi = O(h2 ), ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó.Çàìå÷àíèå 19.3.
Áîëåå äåòàëüíûé àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òîmax |uhi − u(xi )| 6i1h2max |uIV (x)| .c1 x∈[0,l]12Òåîðåìà 19.3 (Î ìîíîòîííîñòè). Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèåqi > 0,i = 1, N − 1,(19.30)à ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ Ui , i = 0, N òàêîâà, ÷òîU0 > 0,èLh1 Ui > 0,UN > 0i = 1, N − 1,òîUi > 0,i = 1, N − 1.(19.31)(19.32)(19.33)Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, ò.å. äîïóñòèì, ÷òî ôóíêöèÿ Ui ìîæåò ïðèíèìàòü îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîé óçåë xi0 , i0 ∈ {1, 2, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
