В.Б. Андреев - Численные методы (2 в 1). (2007) (1160465), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Åñëè áû f íå çàâèñåëà îò u (u0 = f (t), un+1 = un + τ fˆ(θ) dθ),0òî äâóõýòàïíûé ìåòîä ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ïîëó÷èëñÿ áû òîëüêî åñëè êâàäðàòóðà â(16.7) áûëà êâàäðàòóðîé Ãàóññà, ò.å. b1 = b2 = 1/2, à θ1 è θ2 ñäâèíóòûå íà [0, 1]íóëè ïîëèíîìà Ëåæàíäðà âòîðîé ñòåïåíè P2 (x) = 21 (3x2 −1). Êîðíÿìè ýòîãî ïîëèíîìà√ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà x1,2 = ±1/ 3. Äåëàÿ ëèíåéíóþ çàìåíó, ïåðåâîäÿùóþ îòðåçîê√ [−1, 1] âîòðåçîê [0, 1], íàõîäèì, ÷òî óçëû êâàäðàòóðû Ãàóññà íà [0, 1] ñóòü θ1,2 = 1/2∓ 3/6, êàêâ (16.34).
Îñòàëüíûå êîýôôèöèåíòû ïîëó÷àþòñÿ, åñëè ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî [0, θ1 ] è[0, θ2 ] âåñîâûå ôóíêöèè èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà Ëàãðàíæà ñ ãàóññîâûìè óçëàìè.166 16. ÌÅÒÎÄÛ ÐÓÍÃÅ-ÊÓÒÒÛÓïðàæíåíèå 16.5. Äîêàçàòü, ÷òî â (16.34)Zθjaij =pi (θ) dθ,0ãäå pi (θ) ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ (èíòåðïîëÿíò ïî äâóì óçëàì) òàêàÿ, ÷òî pi (θi ) = 1,pi (θj ) = 0 ïðè i 6= j . Óáåäèòüñÿ â âûïîëíåíèè óñëîâèé (16.20)-(16.22).16.7 ßâíûå òðåõýòàïíûå ìåòîäû Ðóíãå-Êóòòû òðåòüåãî ïîðÿäêàÐàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî ÿâíûå òðåõýòàïíûå ìåòîäû.  ñèëó îïðåäåëåíèÿa11 = a12 = a13 = a22 = a23 = a33 = 0,è óêàçàííûå ìåòîäû çàäàþòñÿ òàáëèöåéc2a21c3a31 a32b1 b2 b3Óñëîâèÿ òðåòüåãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè (16.20), (16.21) â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïðèíèìàþò âèäb1 + b2 + b3 = 1,b2 c2 + b3 c3 = 1/2,(16.35)b2 c22 + b3 c23 = 1/3,b3 a32 c2 = 1/6.Ýòà ñèñòåìà èìååò äâà îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ñåìåéñòâà ðåøåíèé è îäíî äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå.
Íàéäåì èõ. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû(16.35) êàê ëèíåéíóþ ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî b2 è b3 . Ýòà ñèñòåìà ìîæåò áûòü êàêâûðîæäåííîé (è ýòî ïðèâîäèò ê äâóì îäíîïàðàìåòðè÷åñêèì ñåìåéñòâàì ðåøåíèé),òàê è íåâûðîæäåííîé (äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî).Ïóñòü ýòà ñèñòåìà âûðîæäåíà, ò.å.¯¯¯c2 c3 ¯¯ 2 2 ¯ = c2 c3 (c3 − c2 ) = 0.(16.36)¯c2 c3 ¯Â ñèëó ïîñëåäíåãî èç óðàâíåíèé (16.35) c2 6= 0, è ïîýòîìó ëèáîc3 = 0(16.37)c2 = c3 .(16.38)ëèáî16.7. ßÂÍÛÅ ÒÐÅÕÝÒÀÏÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ ÒÐÅÒÜÅÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ167i) Ïóñòü ñíà÷àëà èìååò ìåñòî (16.37).
Òîãäà âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ (16.35) ïðèíèìàþò âèäc2 b2 = 1/2,c22 b2 = 1/3è, ñëåäîâàòåëüíî,c2 = 2/3,b2 = 3/4.Åñëè òåïåðü b3 = b ïðèíÿòü çà ïàðàìåòð, òî èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ (16.35) íàõîäèìa32 =1.4bÏîñêîëüêó c3 = 0, òîa31 = −a32 = −14bè, íàêîíåö, èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (16.35)b1 =1− b.4Ñîáèðàÿ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷èì òàáëèöó2/32/30−(4b)−1 (4b)−11/4 − b3/4(16.39)bii) Òåïåðü ïóñòü èìååò ìåñòî (16.38). Ñíîâà èç âòîðîãî è òðåòüåãî óðàâíåíèé (16.35)íàõîäèì, ÷òî11b2 + b3 == 2,2c23c2ò.å.c3 = c2 = 2/3,b2 = 3/4 − b,ãäå b = b3 ïàðàìåòð. Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ (16.35)a32 =1,4bà èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿb1 = 1/4.Òàáëèöà ðàññìàòðèâàåìîãî ìåòîäà èìååò âèä2/32/32/321 1−3 4b 4b1/43/4 − b b(16.40)168 16.
ÌÅÒÎÄÛ ÐÓÍÃÅ-ÊÓÒÒÛiii) Åñëè ñîîòíîøåíèå (16.36) ìåñòà íå èìååò, òî èç âòîðîãî è òðåòüåãî óðàâíåíèé(16.35) íàõîäèìc3 /2 − 1/31/3 − c2 /2b2 =,b3 =,(16.41)c2 (c3 − c2 )c3 (c3 − c2 )Ïðèâëåêàÿ ïåðâîå óðàâíåíèå (16.35), íàéäåì, ÷òîb1 = 1 −à èç ÷åòâåðòîãîa32 =3(c2 + c3 ) − 2,6c2 c3(16.42)c3 (c3 − c2 ).c2 (2 − 3c2 )(16.43)Åùå ðàç íàïîìíèì, ÷òî â ìåòîäå (16.41)-(16.43) ïàðàìåòðû c2 è c3 óäîâëåòâîðÿåòóñëîâèþc2 c3 (c3 − c2 )(c2 − 2/3) 6= 0.Ñðåäè ÿâíûõ òðåõýòàïíûõ ìåòîäîâ Ðóíãå-Êóòòû òðåòüåãî ïîðÿäêà â ñèëó èñòîðè÷åñêèõ ïðè÷èí íàèáîëüøåé ïîïóëÿðíîñòüþ ïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùèé ìåòîä èç ñåìåéñòâà(16.41)-(16.43)1/2 1/21−12.(16.44)1/6 2/3 1/616.8 Áîëåå îáùèå ìåòîäû Ðóíãå-ÊóòòûÒåîðåìà 16.1.
Íå ñóùåñòâóåò ÿâíîãî s-ýòàïíîãî ìåòîäà Ðóíãå-Êóòòû ïîðÿäêà p,åñëè p > s.Äëÿ s = 1, 2 ýòà òåîðåìà íàìè ôàêòè÷åñêè äîêàçàíà.Òåîðåìà 16.2. Ïðè s > 5 íå ñóùåñòâóåò ÿâíîãî s-ýòàïíîãî ìåòîäà Ðóíãå-Êóòòûïîðÿäêà p = s (1963ã.). Ïðè s > 8 íå ñóùåñòâóåò ÿâíîãî s-ýòàïíîãî ìåòîäà ÐóíãåÊóòòû ïîðÿäêà p = s − 1 (1965ã.). Ïðè s > 10 p = s − 2 (1985ã.).Çàìå÷àíèå 16.8.
Ïðè s = 6 ñóùåñòâóåò ÿâíûé ìåòîä Ðóíãå-Êóòòû ïîðÿäêà 5.Ïðè s = 7 ñóùåñòâóåò ÿâíûé ìåòîä ïîðÿäêà 6. Íàèâûñøèé ïîðÿäîê, ôàêòè÷åñêèäîñòèãíóòûé äëÿ ÿâíî ïîñòðîåííûõ ÿâíûõ ìåòîäîâ Ðóíãå-Êóòòû ðàâåí 10. Ïðè ýòîì÷èñëî ýòàïîâ ðàâíî 17. (Ýòîò ðåçóëüòàò çàíåñåí â êíèãó ðåêîðäîâ Ãèííåñà).Òåîðåìà 16.3. Ïðè ëþáîì s ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé íåÿâíûé ìåòîä Ðóíãå-Êóòòû ïîðÿäêà p = 2s.16.9.
ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ ÌÅÒÎÄΠÐÓÍÃÅ-ÊÓÒÒÛ169Çàìå÷àíèå 16.9. Äëÿ îïòèìàëüíîãî ìåòîäà ïîðÿäêà p = 2s óçëû θj è âåñà bj ñóòüóçëû è âåñà êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû Ãàóññà, àZθjaij =pi (θ) dθ,0ãäå pj (θ) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè s òàêîé, ÷òî pi (θi ) = 1, pi (θj ) = 0 ïðè i 6= j . âû÷èñëèòåëüíîé ïðàêòèêå øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùèé ÿâíûé 4-ýòàïíûéìåòîä Ðóíãå-Êóòòû 4-ãî ïîðÿäêà1/21/21/201/210011/6 1/3 1/3 1/6.Çàìå÷àíèå 16.10. Äî íåäàâíåãî âðåìåíè â ìåòîäàõ Ðóíãå-Êóòòû (ÿâíûõ) âìåñòîïåðåìåííûõ Yj ôèãóðèðîâàëè kj = f (Yj ). Ïîýòîìó, âìåñòî (16.7), (16.8) ïèñàëèki = f (un + τun+1 = un + τs−1Xaij kj ),j=1sX(16.45)b j kj .j=116.9 Ñõîäèìîñòü ìåòîäîâ Ðóíãå-ÊóòòûÓñòàíîâèì îöåíêó ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ, ïîëó÷àåìîãî ïðè ïîìîùèòîãî èëè èíîãî ìåòîäà Ðóíãå-Êóòòû.Åñëè, êàê è ðàíüøå,zn = un − u(tn ),òî èç (16.7) íàõîäèì, ÷òî zn+1 óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ¯szn+1 − zn X d f (Yi (u)) ¯¯bizn + ψn .=¯τduu=u(t)+σznnii=1(16.46)Ïðåæäå ÷åì îöåíèâàòü zn+1 , îöåíèì êîýôôèöèåíò ïðè zn â ïðàâîé ÷àñòè (16.46).
Áóäåìïðè ýòîì ïðåäïîëàãàòü, ÷ò¯ d f (u) ¯¯6 L.(16.47)max ¯|u|<∞ ¯du ¯170 16. ÌÅÒÎÄÛ ÐÓÍÃÅ-ÊÓÒÒÛÒîãä௯¯6 L max¯¯¯¯¯ d f (Yj (u)) ¯¯¯= max ¯ d f d Yjmax ¯¯¯ |u|<∞ ¯ d Yj d u|u|<∞du¯¯Îöåíèì ¯ d Yj /d u| ¯. Èç (16.8) ñ u âìåñòî un¯¯ d Yj¯|u|<∞ ¯ d u¯¯¯.¯(16.48)sXd Yid f d Yj=1+τaij.dudYdujj=1Ïóñòü¯¯ d Yi0max ¯¯|u|<∞du¯¯¯¯¯= max max ¯ d Yj¯ 16j 6s |u|<∞ ¯ d uÒîãäà ñ ó÷åòîì (16.47)¯¯¯sX¯ d Yi0 ¯¯ d Yj¯¯6 1 + τmax ¯¯|a|Lmaxij0|u|<∞|u|<∞ ¯ d udu ¯j=1ãä寯¯.¯¯¯¯¯¯6 1 + τ asL max ¯ d Yi0¯|u|<∞ ¯ d u¯¯a = max ¯ aij ¯,(16.49)ijè, ñëåäîâàòåëüíî,¯¯ d Yi0(1 − τ asL) max ¯¯|u|<∞du¯¯¯,¯¯¯¯6 1.¯Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òîτ61,2asL1ò.å. 1 − τ asL > .2Òîãäà(16.50)¯¯¯ d Yj ¯¯¯(16.51)¯ d u ¯6 2, j = 1, . . .
, s.Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî êîýôôèöèåíòû bj íåîòðèöàòåëüíû. Ïîñêîëüêóèõ ñóììà ðàâíà åäèíèöå, òî ñ ó÷åòîì (16.48), (16.51)¯X¯¯ s¯df(Y(u))j¯¯6 2L.bj¯¯duj=1Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ýòó îöåíêó, èç (16.46) íàõîäèì, ÷òî|zn+1 | 6 (1 + 2τ L)|zn | + τ |ψn |.Ðàçðåøèì ýòè íåðàâåíñòâà. Ïîñêîëüêó z0 = u0 − u(0) = 0, òî|z1 | 6 τ |ψ0 |,|z2 | 6 (1 + 2τ L)|z1 | + τ |ψ1 |,|z3 | 6 (1 + 2τ L)|z2 | + τ |ψ2 |,...........................|zn | 6 (1 + 2τ L)|zn−1 | + τ |ψn−1 |16.9. ÑÕÎÄÈÌÎÑÒÜ ÌÅÒÎÄΠÐÓÍÃÅ-ÊÓÒÒÛ171Ïîäñòàâèì òåïåðü îöåíêó |z1 | â ïðàâóþ ÷àñòü îöåíêè |z2 |, à ïîëó÷åííóþ îöåíêó |z2 | âñâîþ î÷åðåäü â ïðàâóþ ÷àñòü îöåíêè |z3 | è ò.ä. Ïîëó÷èì|zn | 6n−1Xτ (1 + 2τ L)n−1−j |ψj | 6 (1 + 2τ L)nj=0n−1Xj=02LT=eτ |ψj | 6 e2τ LT /τ T max |ψj | =j(16.52)T max |ψj |.jÈç (16.52) ñëåäóåòÒåîðåìà 16.4. Åñëè ìåòîä Ðóíãå-Êóòòû (16.7), (16.8) àïïðîêñèìèðóåò èñõîäíîåóðàâíåíèå (16.10 )ñ ïîðÿäêîì p, òî ïðè τ → 0 îí ñõîäèòñÿ ñ òåì æå ïîðÿäêîì.172 16.
ÌÅÒÎÄÛ ÐÓÍÃÅ-ÊÓÒÒÛ 17Ëèíåéíûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäûÏðè èçó÷åíèè ìåòîäîâ Ðóíãå-Êóòòû, èñïîëüçóåìûõ ïðè ðåøåíèè çàäà÷è Êîøèdu= f (u),dtt > 0,u(0) = u0 ,(17.1)ìû íå îáðàùàëè îñîáîãî âíèìàíèÿ íà çàäàíèå íà÷àëüíûõ óñëîâèé, èáî ýòî ñîâåðøåííîòðèâèàëüíàÿ ïðîöåäóðà: äëÿ òîãî, ÷òîáû íà÷àë ðàáîòàòü ëþáîé èç ðàññìîòðåííûõíàìè ìåòîäîâ Ðóíãå-Êóòòû, íóæíî çàäàòü u0 = u(0), ò.å. òàê æå êàê è äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.
Îáóñëîâëåíî ýòî òåì, ÷òî â êàæäîì óðàâíåíèè ñâÿçàíû ìåæäóñîáîé çíà÷åíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ â äâóõ ñîñåäíèõ óçëàõ ñåòêè (íå ñ÷èòàÿ ïðîìåæóòî÷íûõ çíà÷åíèé). Äðóãîé êëàññ ìåòîäîâ ñîñòàâëÿþò òàê íàçûâàåìûå ìíîãîøàãîâûå ìåòîäû, â êîòîðûõ óðàâíåíèÿ ñâÿçûâàþò çíà÷åíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ âíåñêîëüêèõ ñîñåäíèõ óçëàõ.17.1 Ìåòîäû ÀäàìñàÍàèáîëåå èçâåñòíûìè èç ìíîãîøàãîâûõ ìåòîäîâ è íàèáîëåå ñòàðûìè ÿâëÿþòñÿ ìåòîäûÀäàìñà.
Îïèøåì ýòè ìåòîäû íà ïðèìåðå óðàâíåíèÿ (17.1). Âíîâü áóäåì ïðåäïîëàãàòü,÷òî íà îòðåçêå èíòåãðèðîâàíèÿ ââåäåíà ðàâíîìåðíàÿ ñåòêà ñ øàãîì τ , à óðàâíåíèå(17.1) ïðîèíòåãðèðîâàíî ïî îòðåçêó ìåæäó óçëàìè tn è tn+1Z tn+1u(tn+1 ) − u(tn ) =f (u(t))dt.(17.2)tnÇàìåíèì ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ â (17.2) èíòåðïîëÿöèîííûì ìíîãî÷ëåíîì Ëàãðàíæà ïî íåêîòîðûì óçëàì ñåòêè ω (à íå ïî ïðîìåæóòî÷íûì óçëàì, êàê ýòî áûëî âìåòîäàõ Ðóíãå-Êóòòû (!)).  çàâèñèìîñòè îò òîãî, ó÷àñòâóåò ëè óçåë tn+1 â èíòåðïîëÿöèè f (u(t)) èëè íåò, ðàçëè÷àþò íåÿâíûå è ÿâíûå ìåòîäû Àäàìñà.à) ßâíûå ìåòîäû Àäàìñà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
