В.Б. Андреев - Численные методы (2 в 1). (2007) (1160465), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Ïîëàãàÿf (m) (x) ≈ L(m)0 6 m 6 n,(14.19)n (x),ïîëó÷èì ôîðìóëó ÷èñëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.142 14. ×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÎÂÀÍÈÅÏðèìåð 14.3. Ïóñòü n = 1, x1 = x0 + h. ÒîãäàL1 (x) = f0x − x1x − x0+ f1,−hhL01 (x) =f0f1f1 − f0+=.−hhhÏîëàãàÿ çäåñü x = 0, ïîëó÷èì ôîðìóëó (14.5), ïîëàãàÿ x = h ôîðìóëó (14.6).Ïðèìåð 14.4. Ïóñòü òåïåðü n = 2, x0 = 0, x1 = h, x2 = 2h. Òîãäàx − x0 x − x2x − x0 x − x1x − x1 x − x2+ f1+ f2,x0 − x1 x0 − x2x1 − x0 x1 − x2x2 − x0 x2 − x12x − (x2 + x1 )2x − (x2 + x0 )2x − (x0 + x1 )L02 (x) = f0+ f1+ f2.(−h)(−2h)h(−h)2h · hL2 (x) = f0Îòñþäàf0 − 4f1 + 3f2(ñð. ñ (14.18))2hf2 − f0L02 (x1 ) = L02 (h) =(ñð. ñ (14.8))2h−3f0 + 4f1 − f2L02 (x0 ) = L02 (0) =.2hÝòî íîâàÿ ôîðìóëà; åå ïîãðåøíîñòü íà ôóíêöèÿõ èç C 3 åñòü O(h2 ).L02 (x2 ) = L02 (2h) =Ïðèìåð 14.5.
Ïóñòü òåïåðü n = 2, à x0 = 0, x1 = h1 , x2 = x1 + h2 , m = 2. Ëåãêîïðîâåðèòü, ÷òîL002 (x) =222f0 +f1 +f2 .−h1 (−h1 − h2 )h1 (−h2 )(h1 + h2 )h2Åñëè h1 = h2 = h, òîL002 (x) =f0 − 2f1 + f2= fx̄x (h).h2 ïðîòèâíîì ñëó÷àå11L002 (x) =(f0 − f1 ) +(f2 − f1 ) =h1 (h1 + h2 )/2h2 (h1 + h2 )/2µ¶f2 − f1 f1 − f012=−=[fx (x1 ) − fx̄ (x1 )] .h2h1(h1 + h2 )/2h1 + h2(14.20)Óïðàæíåíèå 14.2. Äîêàçàòü, ÷òî ñîîòíîøåíèå (14.20) ïðè h1 6= h2 àïïðîêñèìèðóåòïðîèçâîäíóþ f 00 (x1 ) ñ ïîãðåøíîñòüþ íå âûøå O(h1 + h2 ). Ïðè êàêîé ãëàäêîñòè f (x)òàêàÿ ïîãðåøíîñòü äîñòèãàåòñÿ?Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôîðìóë ÷èñëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü íåòîëüêî èíòåðïîëÿöèîííûå ìíîãî÷ëåíû Ëàãðàíæà, íî è èíòåðïîëÿöèîííûå ìíîãî÷ëåíû Ýðìèòà.
Òàêèå ôîðìóëû ïîëåçíû, êîãäà â óçëàõ çàäàíû íå òîëüêî çíà÷åíèÿ14.3. ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÅ ÈÍÒÅÐÏÎËßÖÈÎÍÍÛÕ ÔÎÐÌÓË143ôóíêöèè, íî è çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ, à ïðîèçâîäíûå íóæíî çíàòü â äðóãèõ òî÷êàõ. Ôîðìóëà ÷èñëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è â ýòîì ñëó÷àå âûãëÿäèò àíàëîãè÷íî(14.19). Åñëèf (x) = Hm (x) + Rm (x),ãäå Hm (x) èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Ýðìèòà, à Rm (x) îñòàòî÷íûé ÷ëåí, òî(k)f (k) (x) ≈ Hm(x),1 6 k 6 m.(14.21)Ïðèìåð 14.6. Ïóñòü èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Ýðìèòà èìååò ñòåïåíü òðè èíàïèñàí ïî çíà÷åíèÿì ôóíêöèè è åå ïåðâîé ïðîèçâîäíîé â äâóõ óçëàõ x0 = 0 è x1 = h,ò.å.H3 (x) = p00 (x)f0 + p01 (x)f00 + p10 (x)f1 + p11 (x)f10 ,ãäå(2x + h)(x − h)2x(x − h)2,p(x)=,01h3h2x2 (3h − 2x)x2 (x − h)p10 (x) =,p(x)=.11h3h2Òîãäà ôîðìóëà äëÿ ïðèáëèæåííîãî íàõîæäåíèÿ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé â òî÷êå x ïðèìåòâèäH30 (x) = p000 (x)f0 + p001 (x)f00 + p010 (x)f1 + p011 (x)f10 .p00 (x) =Åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå, ÷òîp000 (x) = 6x(x − h)/h3 ,p010 (x) = −6x(x − h)/h3 ,3x2 − 4hx + h2,h23x2 − 2hxp011 (x) =,h2p001 (x) =òî, íàïðèìåð, H30 (0) = f00 , à3 f1 − f0 f00 + f10−.2h4Äàëåå, äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé â òî÷êå x èìååì ôîðìóëóH30 (h/2) =H300 (x) = p0000 (x)f0 + p0001 (x)f00 + p0010 (x)f1 + p0011 (x)f10 .Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òîp0000 (x) = 6(2x − h)/h3 ,p0010 (x) = 6(−2x + h)/h3 ,p0001 (x) = 2(3x − 2h)/h2 ,p0011 (x) = 2(3x − h)/h2 ,Íàõîäèì, íàïðèìåð,6(f1 − f0 ) 4 0 2 0− f0 − f1 .h2hhÝëåìåíòàðíûå âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òîH300 (0) =6(f1 − f0 )/h2 − 4f00 /h − 2f10 /h = f000 −h2 IVf (ξ).12144 14.
×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÎÂÀÍÈÅ14.4 Î êîððåêòíîñòè ÷èñëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôîðìóëàõ ÷èñëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ëèíåéíûå êîìáèíàöèè çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x) â óçëàõ xi äåëÿòñÿ íà hm , ãäå m ïîðÿäîê âû÷èñëÿåìîé ïðîèçâîäíîé.Ïîñêîëüêó ñàìè çíà÷åíèÿ ôóíêöèè, êàê ïðàâèëî, çàäàþòñÿ èëè âû÷èñëÿþòñÿ íå òî÷íî,òî ïðè ìàëûõ h íåóñòðàíèìûå ïîãðåøíîñòè îêàçûâàþò ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íàòî÷íîñòü ÷èñëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.Ïóñòü δi âåëè÷èíà ïîãðåøíîñòè, ñ êîòîðîé âû÷èñëÿåòñÿ çíà÷åíèå ôóíêöèè f (x)â óçëå xi , ò.å.
âû÷èñëÿåìîå ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå åñòüf˜i = fi + δi .Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî |δi | 6 δ .Ïóñòü äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé èñïîëüçóåòñÿ ôîðìóëà(14.8). Òîãäà, ñ ó÷åòîì (14.7),f˜i+1 − f˜i−1fi+1 + δi+1 − fi−1 − δi−1==2h2hh2 0000= f (xi ) + f (ξi ) + (δi+1 − δi−1 )/(2h).6f 0 (xi ) ≈Îòñþäà íàõîäèì, ÷òî äëÿ ïîëíîé ïîãðåøíîñòè ýòîé ôîðìóëû ε1 = (f˜i+1 − f˜i−1 )/(2h) −f 0 (xi ) ñïðàâåäëèâà îöåíêàh2|ε1 | 6 M3 + δ/h,(14.22)6ãäå M3 =max|f 000 |. Èç ýòîé îöåíêè ñëåäóåò, ÷òî ïðè óìåíüøåíèè h ïîëíàÿx∈[xi+1 ,xi−1 ]ïîãðåøíîñòü óáûâàåò òîëüêî äî îïðåäåëåííîãî ïðåäåëà, ïîñëå ÷åãî íà÷èíàåò ðàñòè.Åñëè, íàïðèìåð, δ ñðàâíèìà ñ h, òî ìû íå ìîæåì íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèåïðîèçâîäíîé , èáî ïîãðåøíîñòü áóäåò O(1).
×òîáû âû÷èñëåííîå çíà÷åíèå ìîæíî áûëîðàññìàòðèâàòü êàê ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé, íóæíî, ÷òîáû h áûëî ìíîãîáîëüøå δ . Íàèâûñøóþ òî÷íîñòü ìû ïîëó÷èì ïðè òîì h, ïðè êîòîðîì ïðàâàÿ ÷àñòü(14.22) äîñòèãàåò ìèíèìóìà ïî h. Óêàçàííîå çíà÷åíèåph = h1 = 3 3δ/M3 .Ïðè ýòîì3ε1 =2µM33¶1/3δ 2/3 .Åñëè ïðè òåõ æå ïðåäïîëîæåíèÿõ î òî÷íîñòè âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé fi âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé èç ëåâîé ÷àñòè (14.10), äàþùåå ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå âòîðîéïðîèçâîäíîé, òî ïîëíàÿ ïîãðåøíîñòü ε2 = (f˜i+1 − 2f˜i + f˜i−1 )/(h2 ) − f 00 (xi ) îöåíèòñÿ òàê4δh2|ε2 | 6 M4 + 2 ,12h14.4. Î ÊÎÐÐÅÊÒÍÎÑÒÈ ×ÈÑËÅÍÍÎÃÎ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÎÂÀÍÈß145ãäå M4 =max |f IV |. Ïðè ýòîì îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå h = h2 = 2(3δ/M4 )1/4 , àxi−1 6x6xi+1pε2 = 2 M4 /3 δ 1/2 .Ñëåäóåò, îäíàêî, çàìåòèòü, ÷òî ïðåäåëüíàÿ òî÷íîñòü ïðè ïðèáëèæåííîì âû÷èñëåíèè ïðîèçâîäíûõ íå âñåãäà íèæå, ÷åì òî÷íîñòü, ñ êîòîðîé çàäàíà ñàìà ôóíêöèÿ.Ïóñòü, íàïðèìåð, f˜i = fi + δvi , ãäå vi íåêîòîðàÿ "ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ", ò.å.
òàêàÿ,÷òî, íàïðèìåð, |vx,i | 6 M . Òîãäà äëÿ ôîðìóëû (14.8) ïîëíàÿ ïîãðåøíîñòü áóäåòîöåíèâàòüñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:|ε1 | 6√è, åñëè h/ δ = O(1), òî |ε1 | = O(δ).h2M3 + M δ6Â.Á. Àíäðååâ×ÈÑËÅÍÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ×àñòü II146Ãëàâà IVÌåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿîáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé147 15Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è ïåðâûå ïðèìåðû15.1 Ââåäåíèå. Çàäà÷à ÊîøèÐàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãîïîðÿäêàdu= f (t, u), t > 0,u(0) = u0 .(15.1)dtÈç êóðñà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé èçâåñòíî, ÷òî äëÿ îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòèçàäà÷è (15.1) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè t = 0 äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ôóíêöèÿ f (t, u)áûëà íåïðåðûâíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè (0, u0 ) è óäîâëåòâîðÿëà óñëîâèþ Ëèïøèöà ïîâòîðîìó àðãóìåíòó.
Èçâåñòíû ïðèìåðû, èëëþñòðèðóþùèå îòñóòñòâèå ðåøåíèÿ çàäà÷è(15.1) èëè åãî íååäèíñòâåííîñòü ïðè íàðóøåíèè óêàçàííûõ óñëîâèé. Ìû âñåãäà áóäåìïðåäïîëàãàòü, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è (15.1) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî. Äëÿ äàëüíåéøåãîíàì äàæå ïðèäåòñÿ ïðåäïîëàãàòü, ÷òî èñêîìîå ðåøåíèå äîñòàòî÷íî ãëàäêîå.15.2 Ïðèìåðû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâÏðèâåäåì íåñêîëüêî ïðîñòåéøèõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è (15.1). Äëÿ ýòîãîââåäåì íà ïîëóîñè t > 0 ðàâíîìåðíóþ ñåòêó, ò.å. ìíîæåñòâî òî÷åê (êîòîðûå íàçîâåìóçëàìè)ω = {tn = nτ, n = 0, 1, . .
. ; τ > 0}è áóäåì èñêàòü ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (15.1) â óçëàõ ω . Âåëè÷èíó τ áóäåìíàçûâàòü øàãîì ñåòêè ω . Äîãîâîðèìñÿ ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå â óçëå tn îáîçíà÷àòüòîé æå áóêâîé, ÷òî è ðåøåíèå çàäà÷è (15.1), íî ñ èíäåêñîì n âíèçó: un . Òåì ñàìûì, ìûîòêàçûâàåìñÿ îò ÷àñòî èñïîëüçóåìîãî îáîçíà÷åíèÿ u(tn ) = un ; òåïåðü u(tn ) çíà÷åíèåòî÷íîãî ðåøåíèÿ â óçëå tn , à un çíà÷åíèå ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ â ýòîì óçëå,è, âîîáùå ãîâîðÿ, u(tn ) 6= un . Íàîáîðîò, un − u(tn ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîãðåøíîñòü÷èñëåííîãî ìåòîäà â óçëå tn , êîòîðóþ íàì ïðåäñòîèò îöåíèâàòü.
Äàííîå ñîãëàøåíèåíå ïðåäñòàâëÿåòñÿ íàèëó÷øèì, îäíàêî îñòàíîâèìñÿ íà íåì.149150 15. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È È ÏÅÐÂÛÅ ÏÐÈÌÅÐÛÄëÿ ïîñòðîåíèÿ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ïðîèíòåãðèðóåì óðàâíåíèå (15.1) îò tn äî tn+1Z tn+1u(tn+1 ) − u(tn ) =f (t, u(t)) dt(15.2)tnè çàìåíèì ïðèáëèæåííî èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ýòîé ôîðìóëû êàêîé-ëèáî êâàäðàòóðíîé ôîðìóëîé. Çäåñü ìû ðàññìîòðèì ÷åòûðå òàêèõ ôîðìóëû.Ïîñòðîåííàÿ â êóðñå "Ââåäåíèå â ÷èñëåííûå ìåòîäû"êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà ïðÿìîóãîëüíèêîâ ïðåäñòàâëÿåò èíòåãðàë ïðîèçâåäåíèåì äëèíû îòðåçêà èíòåãðèðîâàíèÿè çíà÷åíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â ñåðåäèíå ýòîãî îòðåçêඵZ ba+b.(15.3)ϕ(x) dx ≈ |b − a|ϕ2aÝòà êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà òî÷íà íà ìíîãî÷ëåíàõ ïåðâîé ñòåïåíè, è ïðè ìàëûõ |b − a|åå ïîãðåøíîñòü åñòü O(|b − a|3 ).Íàðÿäó ñ ýòîé êâàäðàòóðíîé ôîðìóëîé, êîòîðóþ ìû âïðåäü áóäåì íàçûâàòü ôîðìóëîé öåíòðàëüíûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ , ìîæíî ââåñòè òàê íàçûâàåìûå ôîðìóëû ëåâûõè ïðàâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ .
Ïåðâàÿ èç íèõ ñîñòîèò â ïðåäñòàâëåíèè èíòåãðàëà ïðîèçâåäåíèåì äëèíû îòðåçêà èíòåãðèðîâàíèÿ è çíà÷åíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè âëåâîì êîíöå îòðåçêàZb(15.4)ϕ(x) dx ≈ |b − a|ϕ(a),aà âòîðàÿ ïðîèçâåäåíèåì äëèíû îòðåçêà èíòåãðèðîâàíèÿ è çíà÷åíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â ïðàâîì êîíöå îòðåçêàZ bϕ(x) dx ≈ |b − a|ϕ(b).(15.5)aÎáå ýòè ôîðìóëû òî÷íû òîëüêî íà ìíîãî÷ëåíàõ íóëåâîé ñòåïåíè è èìåþò ïîãðåøíîñòüO(|b − a|2 ).à) Ìåòîä Ýéëåðà. Çàìåíèì èíòåãðàë â (15.2) ôîðìóëîé ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ(15.4).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî(15.6)u(tn+1 ) − u(tn ) ≈ τ f (tn , u(tn )).Îïðåäåëèì ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (15.1) êàê òàêóþ ñåòî÷íóþ ôóíêöèþ, çàäàííóþ íà ω , êîòîðîå ïðåâðàùàåò ñîîòíîøåíèå (15.6) â ðàâåíñòâî. Ðàçäåëèâ ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî íà τ , áóäåì èìåòüun+1 − un= f (tn , un ),τn = 0, 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
