В.Б. Андреев - Численные методы (2 в 1). (2007) (1160465), страница 14
Текст из файла (страница 14)
. , k , òî(rk , Apj )dk+1,j =, j = 1, 2, . . . , k.(10.33)(Apj , pj )Ñíîâà îáðàùàÿñü ê (10.31) è òåîðåìå 10.3, íàõîäèì, ÷òîApj ∈ span {r0 , r1 , . . . , rj },à ïî òåîðåìå 10.4kj(r , Ap ) =jXi=0lj,i (rk , ri ) = 0,j = 1, 2, . . . , k − 1.104 10. ÌÅÒÎÄ ÑÎÏÐßÆÅÍÍÛÕ ÃÐÀÄÈÅÍÒÎÂÑëåäîâàòåëüíî,dk+1,j = 0,j = 1, 2, . . . , k − 1,à (10.32) ïðèíèìàåò âèä(1 + dk+1,k+1 )pk+1 = rk − dk+1,k pk ,ãäå dk+1,k îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (10.33) (ñð. ñ (10.18)), ÷òî ñ òî÷íîñòüþ äî äëèíûâåêòîðà pk+1 (ñì. Çàìå÷àíèå 10.2) ñîâïàäàåò ñ (10.17). Òåîðåìà äîêàçàíà.Ïðåîáðàçóåì ñîîòíîøåíèÿ (10.19) ìåòîäà ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ.  ýòèõ ñîîòíîøåíèÿõ íàèáîëåå òðóäîåìêèìè ÿâëÿþòñÿ äâå îïåðàöèè: âû÷èñëåíèå âåêòîðîâ Axkè Apk .
Îäíàêî îïåðàöèþ âû÷èñëåíèÿ âåêòîðà Axk ìîæíî èñêëþ÷èòü. Ïîñêîëüêó ýòîòâåêòîð èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî ïðè âû÷èñëåíèè íåâÿçêè rk , òî ìîæíî çàìåíèòü ïåðâóþèç ôîðìóë (10.19) íà (10.26)rk = rk−1 − αk Apk ,k = 1, 2, . . . ,r0 = b.(10.34)Ïðåîáðàçóåì åùå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïàðàìåòðîâ αk+1 è βk+1 . Ïîäñòàâëÿÿ âòîðîå èç ñîîòíîøåíèé (10.19) â ÷åòâåðòîå è ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ëåììó 10.2, íàéäåì,÷òîαk+1 = (rk , rk )/(pk+1 , apk+1 ), k = 0, 1, . . . .(10.35)Äàëåå, çàìåíÿÿ çäåñü k + 1 íà k è ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ (pk , Apk ) âïîñëåäíåå èç ñîîòíîøåíèé (10.19), áóäåì èìåòüβk+1 = −αk(Apk , rk ).(rk−1 , rk−1 )Òåïåðü ïîäñòàâèì ñþäà âìåñòî Apk åãî âûðàæåíèå èç (10.34). Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèåòåîðåìó 10.4, íàéäåì, ÷òîβk+1 =(rk , rk ),(rk−1 , rk−1 )k = 1, 2, .
. . .(10.36)Ñ ó÷åòîì (10.34)-(10.36) ôîðìóëû ìåòîäà ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ (10.19) ïðåîáðàçóþòñÿ ê âèäórk = rk−1 − αk Apk , k = 1, 2, . . . , r0 = b,pk+1 = rk + βk+1 pk ,k = 1, 2, . . . ,xk+1 = xk + αk+1 pk+1 ,k 2k+1αk+1 = kr k /(p, Apβk+1 = krk k2 /krk−1 k2 ,k = 0, 1, . . .
,k+1),p1 = r 0 ,x0 = 0,k = 0, 1, . . . ,k = 1, 2, . . . .Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî âû÷èñëåíèÿ ìîæíî ïðîâîäèòü â ñëåäóþùåì ïîðÿäêår0 = b, p1 = r0 , Ap1 , α1 , x1 ,r1 , β2 , p2 , Ap2 , α2 , x2 , . . . .(10.37) 11Ïðîáëåìà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé11.1 Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÏóñòü A- êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, è òðåáóåòñÿ íàéòèñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýòîé ìàòðèöû.
ÍàïîìíèìÎïðåäåëåíèå 11.1. ×èñëî λ íàçûâåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàòðèöû A, åñëèîäíîðîäíàÿ ñèñòåìàAξ = λξ(11.1)èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå kξk 6= 0. Ýòî íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòðèöû A, îòâå÷àþùèì ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ.Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ íóëÿìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíàdet [A − λI] = 0,ñòåïåíü êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ ïîðÿäêîì ìàòðèöû è åñòü n. Òåì ñàìûì, ó êàæäîéêâàäðàòíîé ìàòðèöû ñóùåñòâóåò n ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, äåéñòâèòåëüíûõ èëè êîìïëåêñíûõ, ïðîñòûõ èëè êðàòíûõ. Ñ ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè ñèòóàöèÿ ñëîæíåå: èõ÷èñëî ìîæåò áûòü îò 1 äî n.Îïðåäåëåíèå 11.2.
Ìàòðèöû A è B íàçûâàþòñÿ ïîäîáíûìè, åñëè ñóùåñòâóåòíåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà S (ìàòðèöà ïîäîáèÿ) òàêàÿ, ÷òî B = S −1 AS .Ïîäîáíûå ìàòðèöû èìåþò îäèíàêîâûé íàáîð ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé.Ëþáàÿ ìàòðèöà A ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ S −1 AS ñ ïîäõîäÿùåé ìàòðèöåé ïîäîáèÿ S ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê íîðìàëüíîé (Æîðäàíîâîé) ôîðìå. (Íà ãëàâíîéäèàãîíàëè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, à íà íàääèàãîíàëè íóëè è (èëè) åäèíèöû)105106 11. ÏÐÎÁËÅÌÀ ÑÎÁÑÒÂÅÍÍÛÕ ÇÍÀ×ÅÍÈÉλ1 σ1 0 0 . . .00 0 λ2 σ2 0 . .
.00 0 0 λ3 σ3 . . .00. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 . . . λn−1 σn−1 0 0 0 0 ...0λnÎïðåäåëåíèå 11.3. Ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ïðîñòîé ñòðóêòóðû (èëè äèàãîíàëèçóåìîé), åñëè åå æîðäàíîâîé ôîðìîé ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà.• Ìàòðèöà ïðîñòîé ñòðóêòóðû èìååò ðîâíî n ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõâåêòîðîâ.
Ïðî òàêóþ ìàòðèöó åùå ãîâîðÿò, ÷òî îíà èìååò ïîëíûé íàáîð ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.• Åñëè âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A ðàçëè÷íû, òî îíà çàâåäîìî èìååòïðîñòóþ ñòðóêòóðó.• Ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà èìååò ïðîñòóþ ñòðóêòóðó, è ïîýòîìó ó íåå èìååòñÿ nëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Åå ñîáñòâåííûå âåêòîðû, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, îðòîãîíàëüíû â ñìûñëå îáû÷íîãîñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿy T x = (x, y) =nXxi y i ,i=1à ñîáñòâåííûå âåêòîðû, îòâå÷àþùèå êðàòíîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ (ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ êðàòíîñòè m îòâå÷àåò m ëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ), ìîãóò áûòü îðòîãîíàëèçèðîâàíû.• Ìàòðèöà AT èìååò òå æå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ÷òî è ìàòðèöà A, à ñîáñòâåííûåâåêòîðû ξi è ηj ìàòðèö A è AT , ñîîòâåòñòâåííî, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, îðòîãîíàëüíû (îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó).• Ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèö A è A−1 ñîâïàäàþò, à ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì λi (A−1 ) = λ−1i (A).• Ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèö A è B = A+αI ñîâïàäàþò, à ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè λi (B) = λi (A) + α.Çàäà÷à íàõîæäåíèÿ âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿïîëíîé ïðîáëåìîé ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé.
Ýòà ïðîáëåìà â îáùåì ñëó÷àå äîâîëüíîñëîæíà.Íàðÿäó ñ ïîëíîé ïðîáëåìîé ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñóùåñòâóþò ÷àñòè÷íûå ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, îòûñêàíèå ðåøåíèé êîòîðûõ ìíîãî ïðîùå.Ê ïîñëåäíèì îòíîñÿòñÿ:11.2. ÑÒÅÏÅÍÍÎÉ ÌÅÒÎÄ ÐÅØÅÍÈß ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÐÎÁËÅÌ1071) Çàäà÷à îòûñêàíèÿ ìàêñèìàëüíîãî èëè ìèíèìàëüíîãî ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîãîçíà÷åíèÿ è, áûòü ìîæåò, îòâå÷àþùåãî åìó ñîáñòâåííîãî âåêòîðà.2) Çàäà÷à îòûñêàíèÿ äâóõ íàèáîëüøèõ ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.3) Çàäà÷à îòûñêàíèÿ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ, íàèáîëåå áëèçêîãî ê çàäàííîìó ÷èñëó.Ýòèìè çàäà÷àìè ìû è çàéìåìñÿ.11.2 Ñòåïåííîé ìåòîä ðåøåíèÿ ÷àñòíûõ ïðîáëåìÈçëîæèì ìåòîä, ïîçâîëÿþùèé ðåøèòü íåêîòîðûå èç ÷àñòíûõ ïðîáëåì ñîáñòâåííûõçíà÷åíèé ïðè ïîìîùè âû÷èñëåíèé ïîñëåäîâàòåëüíûõ èòåðàöèé ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà. Èçëàãàåìûé ìåòîä íàçûâàåòñÿ ñòåïåííûì è ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøèì èòåðàöèîííûììåòîäîì.11.2.1 Íàõîæäåíèå ìàêñèìàëüíîãî ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿÁóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ìàòðèöà A èìååò ïðîñòóþ ñòðóêòóðó, à åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äåéñòâèòåëüíû, ò.å.Aξi = λi ξi ,Im λi = 0,1/2kξi k = kξi k2 = (ξi , ξi )i = 1, n,= 1,i = 1, n.Äîïóñòèì, ÷òî|λ1 | > |λ2 | > |λ3 | > · · · > |λn |.(11.2)(11.3)(11.4)Çàäàäèì ïðîèçâîëüíûé âåêòîð x0 .
Åãî ðàçëîæåíèå ïî ñîáñòâåííûì âåêòîðàì ξi ìàòðèöû A èìååò âèäx0 = c1 ξ1 + c2 ξ2 + · · · + cn ξn .(11.5)Çäåñü c1 , c2 , . . . , cn êîîðäèíàòû âåêòîðà x0 â áàçèñå ξ1 , ξ2 , . . . , ξn . Ïðåäïîëîæèì, ÷òîc1 6= 0(11.6)è âû÷èñëèì ïîñëåäîâàòåëüíî âåêòîðûxk = Axk−1 ,k = 1, 2, . . . .Òîãäà ñîãëàñíî (11.5), (11.2)x1 = Ax0 = A(c1 ξ1 + c2 ξ2 + · · · + cn ξn ) == c1 λ1 ξ1 + c2 λ2 ξ2 + · · · + cn λn ξn(11.7)108 11. ÏÐÎÁËÅÌÀ ÑÎÁÑÒÂÅÍÍÛÕ ÇÍÀ×ÅÍÈÉè âîîáùåxk = c1 λk1 ξ1 + c2 λk2 ξ2 + · · · + cn λkn ξn = λk1 (c1 ξ1 + η k ),(11.8)ãäåη k = c2 (λ2 /λ1 )k ξ2 + c3 (λ3 /λ1 )k ξ3 + · · · + cn (λn /λ1 )k ξn .Âû÷èñëÿÿ íîðìó η k , ñ ó÷åòîì (11.3), (11.4) íàõîäèì, ÷òîkkη k2 6nXk|cj | |λj /λ1 | |kξj k2 6 |λ2 /λ1 |kj=2nX|cj | =j=2(11.9)k= O(|λ2 /λ1 | ) → 0 ïðè k → ∞.Ñ ó÷åòîì (11.8) âû÷èñëèì ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ¡¢(xk , xk+1 ) = λ2k+1c1 ξ1 + η k , c1 ξ1 + η k+1 =1£ 2¤= λ2k+1c1 (ξ1 , ξ1 ) + c1 (ξ1 , η k+1 ) + c1 (η k , ξ1 ) + (η k , η k+1 ) .1Îöåíèâàÿ, íàõîäèì, ÷òî|(ξ1 , η k+1 )| 6 kξ1 k kη k+1 k = kη k+1 k|(η k , ξ1 )| 6 kη k k,|(η k , η k+1 )| 6 kη k k kη k+1 kè ñ ó÷åòîì (11.9)(xk , xk+1 ) = λ2k+1(c21 + O(|λ2 /λ1 |k )).1Àíàëîãè÷íî2k(xk , xk ) = λ2k1 (c1 + O(|λ2 /λ1 | ))è, ñëåäîâàòåëüíî,(k)λ1 :=Èç (11.10)(xk+1 , xk )= λ1 + O(|λ2 /λ1 |k−1 ).(xk , xk )(11.10)(11.11)¡¢kxk k = |λ1 |k |c1 | + O(|λ2 /λ1 |k ) ,à ñ ó÷åòîì (11.8)ξ k :=xk= ±ξ1 + rk ,kxk k(11.12)ãäåkrk k = O(|λ2 /λ1 |k ).Òàêèì îáðàçîì, èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (11.7), (11.11), (11.12) ïîçâîëÿåò íàéòè ñëþáîé òî÷íîñòüþ îäíîêðàòíîå ìàêñèìàëüíîå ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå (11.11)è îòâå÷àþùèé åìó ñîáñòâåííûé âåêòîð (11.12), åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (11.6).11.2.
ÑÒÅÏÅÍÍÎÉ ÌÅÒÎÄ ÐÅØÅÍÈß ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÐÎÁËÅÌ109Çàìå÷àíèå 11.1. Åñëè |λ1 | > 1, òî kxk k → ∞ ïðè k → ∞, à åñëè |λ1 | < 1, òîkxk k → 0. È òî, è äðóãîå ÿâëåíèå íåæåëàòåëüíû ïðè âû÷èñëåíèÿõ íà êîìïüþòåðå. ïåðâîì ñëó÷àå ìîæåò ïðîèçîéòè ïåðåïîëíåíèå, à âî âòîðîì ñëó÷àå xk ìîæåò ñòàòüìàøèííûì íóëåì. Ïîýòîìó âìåñòî (11.7) èòåðàöèè íóæíî âåñòè ïî ôîðìóëàìξ10 = x0 /kx0 k,(k)xk+1 = Aξ1k ,λ1 = (xk+1 , ξ1k ) = (Aξ1k , ξ1k ),(11.13)ξ1k+1 = xk+1 /kxk+1 k.Çàìå÷àíèå 11.2. Åñëè óñëîâèå (11.6) íå âûïîëíåíî (àïðèîðè ïðîâåðèòü ýòî óñëî-âèå íåëüçÿ), òî ýòî åùå íå çíà÷èò, ÷òî èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (11.7) (èëè (11.13)) ñíà÷àëüíûì ïðèáëèæåíèåì (11.5) íå ïðèâåäåò ê ðåçóëüòàòó.
Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì÷èñëå èòåðàöèé çà ñ÷åò îøèáîê îêðóãëåíèÿ ìîæåò ïîÿâèòüñÿ íåíóëåâàÿ êîìïîíåíòàc1 , è èòåðàöèîííûé ïðîöåññ âûéäåò â êîíöå êîíöîâ íà íóæíîå ðåøåíèå. Íî ïðè ýòîìíóæíî èìåòü â âèäó, ÷òî åñëè |λ3 | ¿ |λ2 |, òî èòåðàöèè î÷åíü áûñòðî âûéäóò íà âòîðîåñîáñòâåííîå çíà÷åíèå è âòîðîé ñîáñòâåííûé âåêòîð, è ìîæíî îáìàíóòüñÿ, ïðèíÿâèõ çà èñêîìûå âåëè÷èíû. Ýòî íå òàê âåðîÿòíî, åñëè |λ2 | è |λ3 | íå ñëèøêîì ñèëüíîðàçëè÷àþòñÿ, à òðåáóåìàÿ òî÷íîñòü äîñòàòî÷íî âåëèêà. Èòåðàöèè â ýòîì ñëó÷àå áóäóòñõîäèòüñÿ äîñòàòî÷íî ìåäëåííî, è èõ ïîòðåáóåòñÿ ìíîãî äëÿ ïîëó÷åíèÿ òðåáóåìîéòî÷íîñòè. Çà ýòî âðåìÿ ïîãðåøíîñòè îêðóãëåíèÿ íàêîïÿòñÿ, è ìîæåò ñôîðìèðîâàòüñÿíîâàÿ òî÷êà ïðèòÿæåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (λ1 , ξ1 ).
Åñëè íåò óâåðåííîñòèâ ïðàâèëüíîñòè íàéäåííîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ, ñëåäóåò ïðîâåñòè åùå îäèí èëèíåñêîëüêî ðàñ÷åòîâ ñ äðóãèìè íà÷àëüíûìè ïðèáëèæåíèÿìè.Çàìå÷àíèå 11.3. 1) Ïîäòâåðæäåíèåì òîãî, ÷òî λ1 íå ÿâëÿåòñÿ êðàòíûì ñîáñòâåííûìçíà÷åíèåì, è ÷òî íåò ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ (−λ1 ), ñëóæèò ñõîäèìîñòü èòåðàöèîííîãîïðîöåññà ê îäíîìó è òîìó æå ñîáñòâåííîìó âåêòîðó (ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà) ïðèðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ ïðèáëèæåíèÿõ.(k)2) Åñëè ïðè ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ âåêòîðàõ x0 çíà÷åíèÿ λ1 ñõîäÿòñÿ ê îäíîìó(k)è òîìó æå ÷èñëó, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âåêòîðîâ ξ1 ïðèâîäÿò ê íåêîëëèíåàðíûìâåêòîðàì, òî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ñëóæèò ïîäòâåðæäåíèåì òîãî, ÷òî ìàêñèìàëüíîå ïîìîäóëþ ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ÿâëÿåòñÿ êðàòíûì. Åñëè òðåáóåòñÿ íàéòè ñîáñòâåííîåïîäïðîñòðàíñòâî, èëè íóæíî îïðåäåëèòü êðàòíîñòü íàéäåííîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ, íóæíî ïðîâîäèòü âû÷èñëåíèÿ ñ ðàçëè÷íûìè íà÷àëüíûìè ïðèáëèæåíèÿìè äî òåõïîð, ïîêà ïåðåñòàíóò ïîëó÷àòüñÿ âåêòîðû, ëèíåéíî-íåçàâèñèìûå ñ óæå íàéäåííûìè.(k)(2k+1)(2k)3) Åñëè çíà÷åíèÿ λ1 íå ñõîäÿòñÿ ïðè k → ∞, îäíàêî λ1è λ1 ñõîäÿòñÿ, íîê ðàçíûì ÷èñëàì, òî ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò î íàëè÷èè äâóõ ìàêñèìàëüíûõ ïî ìîäóëþñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ, çíàêè êîòîðûõ ðàçëè÷íû.
 ýòîì ñëó÷àå öåëåñîîáðàçíî ïðîèçâåñòè "ñäâèã ñïåêòðà"ïóòåì ïðîâåäåíèÿ èòåðàöèé (11.7) ñ ìàòðèöåé A0 = A + cI , ãäåc çàäàííîå ÷èñëî.110 11. ÏÐÎÁËÅÌÀ ÑÎÁÑÒÂÅÍÍÛÕ ÇÍÀ×ÅÍÈÉ11.2.2 Íàõîæäåíèå âòîðîãî ïî âåëè÷èíå ìîäóëÿ ñîáñòâåííîãîçíà÷åíèÿÏóñòü|λ1 | > |λ2 | > |λ3 | > · · · > |λn |.Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî λ1 , ξ1 è η1 (AT η1 = λ1 η1 ) èçâåñòíû, ïðè÷åì kξ1 k = 1, (η1 , ξ1 ) = 1.Íàéòè λ1 , ξ1 è η1 ìîæíî îïèñàííûì âûøå ñïîñîáîì. Ïóñòü x0 ïðîèçâîëüíûé âåêòîð,òàêîé, ÷òî (x0 , η2 ) 6= 0. Òîãäàx0 = c1 ξ1 + c2 ξ2 + · · · + cn ξn ,c1 = (x0 , η1 ),c2 6= 0.Ïîñòðîèì âåêòîðy 0 = x0 − (x0 , η1 )ξ1 = c2 ξ2 + c3 ξ3 + · · · + cn ξnè âåêòîðξ20 = y 0 /ky 0 k.Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ áóäåì îñóùåñòâëÿòü ïî ôîðìóëàìxk+1 = Aξ2k ,(k)λ2 = (xk+1 , ξ2k ),y k+1 = xk+1 − (xk+1 , η1 )ξ1 ,Òîãäàξ2k+1 = y k+1 /ky k+1 k.(k)λ2 = λ2 + O(|λ3 /λ2 |k ),ξ2k = ±ξ2 + O(|λ3 /λ2 |k ).11.2.3 Íàõîæäåíèå max λi (A) è min λi (A)16i6n16i6nà) Íàéäåì ìàêñèìàëüíîå ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ïî îïèñàííîé âûøå ìåòîäèêå.
Ïóñòü ýòî λ̄(A)|λ̄(A)| = max |λi (A)|.iÅñëè λ̄(A) > 0, òî íàéäåííîå ìàêñèìàëüíîå ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ̄(A)áóäåò èñêîìûì ìàêñèìàëüíûì çíà÷åíèåìmax λi (A) = λ̄(A)iá) Íàéäåì λ̄i (B): |λ̄(B)| = max |λi (B)|, ãäåiB = A − λ̄(A)I.Ïðè ýòîìλi (B) = λi (A) − λ̄(A) 6 0.(11.14)11.3. ÌÅÒÎÄ ÎÁÐÀÒÍÛÕ ÈÒÅÐÀÖÈÉ111Ïîýòîìó ìàêñèìàëüíîå ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû B åñòü ìèíèìàëüíîåñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ýòîé ìàòðèöûλ̄(B) = min [λi (A) − λ̄(A)] = min λi (A) − λ̄(A),iiò.å.min λi (A) = λ̄(A) + λ̄(B).i(11.15)Åñëè æå λ̄(A) < 0, òî âñå íàîáîðîò.11.3 Ìåòîä îáðàòíûõ èòåðàöèéÅñëè ìàòðèöà A íåâûðîæäåíà, òî óðàâíåíèå (11.1) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå1ξ(11.16)λè äëÿ îòûñêàíèÿ íàèìåíüøåãî ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A èñïîëüçîâàòü ïðèáëèæåíèå ê íàèáîëüøåìó ïî ìîäóëþ çíà÷åíèþ ìàòðèöû A−1 . Èìåííî, ïóñòüA−1 ξ =x0 = c1 ξ1 + c2 ξ2 + · · · + cn ξn , cn 6= 0,|λ1 | > |λ2 | > · · · > |λn−1 | > |λn |.Òîãäà111>> ··· >,|λn ||λn−1 ||λ1 |x0ξn0 = 0 , xk+1 = A−1 ξnk ,kx k¡ k+1 k ¢1xk+1k+1=x,ξ,ξ=,nnλ(k+1)kxk+1 k(11.17)Ðàçóìååòñÿ, âû÷èñëÿòü A−1 íåò íåîáõîäèìîñòè äîñòàòî÷íî ðåøàòü ñèñòåìûAxk+1 = ξnk(11.18)ñ îäíîé è òîé æå ìàòðèöåé è ðàçëè÷íûìè ïðàâûìè ÷àñòÿìè.Ìåòîä îáðàòíûõ èòåðàöèé ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí è â òîì ñëó÷àå, êîãäà óæåèçâåñòíî ñ íåêîòîðîé òî÷íîñòüþ êàêîå-ëèáî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, è íóæíî åãî óòî÷íèòü, à òàêæå íàéòè îòâå÷àþùèé åìó ñîáñòâåííûé âåêòîð.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
