В.Б. Андреев - Численные методы (2 в 1). (2007) (1160465), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Áóäåì ìûñëèòü ñèñòåìó (6.29) êàê ñèñòåìó m-ãî ïîðÿäêà. Ðåøåíèå ýòîéñèñòåìû áóäåì èñêàòü â âèäåy(n) = ξq n(6.30)ãäå q = const 6= 0, à ξ íåíóëåâîé m-ìåðíûé âåêòîð. Ïîäñòàâëÿÿ (6.30) â (6.29),ïîëó÷èìξq n = Aξq n−1 ,6.5. ÇÀÄÀ×À ÍÀ ÑÎÁÑÒÂÅÍÍÛÅ ÇÍÀ×ÅÍÈß65à ñîêðàùàÿ íà q n−1 6= 0, ïðèõîäèì ê ñèñòåìåξq = Aξ.Ýòà ñèñòåìà îäíîðîäíà, è, ÷òîáû ó íåå áûëè íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ, îïðåäåëèòåëüåå ìàòðèöû äîëæåí áûòü ðàâåí íóëþ¯¯¯ A − qI ¯= 0.(6.31)Óðàâíåíèå (6.31) õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (6.29) ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèåì m-îé ñòåïåíè. Åñëè âñå åãî êîðíè qk ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿìàòðèöû A ðàçëè÷íû, òî ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå âåêòîðû ξk ëèíåéíî íåçàâèñèìû, è îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (6.29) ïðèíèìàåò âèäy(n) =mXck ξk qkn .(6.32)k=1Ìàòðèöà A ìîæåò èìåòü ïîëíûé íàáîð ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ èïðè íàëè÷èè êðàòíûõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (6.31).
È â ýòîì ñëó÷àåîáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (6.29) èìååò âèä (6.32). Åñëè æå ó êàíîíè÷åñêîé ôîðìûìàòðèöû A èìåþòñÿ æîðäàíîâû êëåòêè, òî äëÿ îòûñêàíèÿ îáùåãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû(6.29) íóæíî ïîñòóïàòü òàê æå, êàê è â ñëó÷àå ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Íà ýòîì ìû îñòàíàâëèâàòüñÿ íå áóäåì.Óïðàæíåíèå 6.2. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (6.29) ñ ìàòðèöåé·¸−1 −1A=1 −1Îòâåò. 3πn3πn − sin 4 cos 4 n/2y(n) = c1 3πn + c2 3πn q .cossin446.5 Ðàçíîñòíàÿ çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿÄî ñèõ ïîð ìû îáñóæäàëè âîïðîñû îòûñêàíèÿ îáùåãî ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðîå çàâèñèò îò k ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ, åñëè óðàâíåíèå èìååò ïîðÿäîêk . ×òîáû âûäåëèòü åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ, êàê è â ñëó÷àåäèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ k -ãî ïîðÿäêà, íóæíî çàäàòü k ëèíåéíî íåçàâèñèìûõíà÷àëüíûõ èëè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Êàê è äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, äëÿðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî ïîñòàâèòü çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ.66 6.
ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÇàéìåìñÿ ýòîé çàäà÷åé, ðåøåíèå êîòîðîé ïîíàäîáèòñÿ íàì ïðè äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèÿõ. Ïóñòü−yn+1 + 2yn − yn−1 = λyn ,n = 1, . . . , N − 1,y0 = yN = 0.(6.33)Òðåáóåòñÿ íàéòè òàêèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà λ (ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ), ïðè êîòîðûõîäíîðîäíàÿ çàäà÷à (6.33) èìååò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ. Åñëè èñêëþ÷èòü èç ïåðâîãîóðàâíåíèÿ (6.33) íåèçâåñòíîå y0 , à èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ íåèçâåñòíîå yN , òî ïîëó÷èì îáû÷íóþ àëãåáðàè÷åñêóþ çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ òðåõäèàãîíàëüíîéìàòðèöû2 −1 −12 −1−12−1A= ........................... ,−12 −1 −12ïîðÿäîê êîòîðîé ðàâåí N − 1.
Ìàòðèöà A ñèììåòðè÷íà, è ïîòîìó åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äåéñòâèòåëüíû, à ñîáñòâåííûå âåêòîðû, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûìçíà÷åíèÿì, îðòîãîíàëüíû â ñìûñëå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ(v, w) :=N−1Xvi w i .i=1Íàéäåì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è îòâå÷àþùèå èì ñîáñòâåííûå ôóíêöèè çàäà÷è (6.33).Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (6.33) â âèäå−yn+1 + 2(1 − λ/2)yn − yn−1 = 0,è ïðåäïîëîæèì, ÷òîò.å.|1 − λ/2| 6 1,n = 1, . . . , N − 10 6 λ 6 4.(6.34)Òîãäà äëÿ íåêîòîðîãî α ìîæíî ïîëîæèòü1 − λ/2 = cos α/N(6.35)è ïåðåïèñàòü óðàâíåíèå òàêyn+1 − 2 cosαyn + yn−1 = 0.NÕàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå, îòâå÷àþùåå óðàâíåíèþ (6.36), åñòüq 2 − 2 cosà åãî êîðíè ñóòüq1,2α= cos ±Nrcos2αq + 1 = 0,Nααα− 1 = cos ± i sin= e±αi/N .NNN(6.36)6.5. ÇÀÄÀ×À ÍÀ ÑÎÁÑÒÂÅÍÍÛÅ ÇÍÀ×ÅÍÈß67Òåì ñàìûì,αnαn+ c2 cos(6.37)NNåñòü îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.36). Ïîòðåáóåì, ÷òîáû ýòî ðåøåíèå óäîâëåòâîðÿëîãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (6.34).
Áóäåì èìåòüyn = c1 siny0 = c2 = 0,(6.38)yN = c1 sin α = 0.Ïîñêîëüêó c1 íå ìîæåò áûòü íóëåâûì, òî îòñþäà íàõîäèì, ÷òî sin α = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî,α = kπ, k ∈ Z.(6.39)Èç (6.35) íàõîäèìµkπλ = λk = 2 1 − cosN¶= 4 sin2à èç (6.38) yn = yn(k) = c1 sinkπ,2Nk ∈ Z,kπn.N(6.40)(6.41)(0)Ïðè k = 0 ðåøåíèå yn ≡ 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî λ0 = 0 íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì(N )çíà÷åíèåì. Ïðè k = N ðåøåíèå yn = c sin N π ≡ 0, è λN òîæå íå ìîæåò áûòüñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì.
Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿλk = 4 sin2kπ,2Nk = 1, . . . , N − 1(6.42)ðàçëè÷íû, èáî ôóíêöèÿ sin t ïðè 0 < t < π/2 ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé. Ïîñêîëüêóèçó÷àåìàÿ çàäà÷à ýêâèâàëåíòíà àëãåáðàè÷åñêîé çàäà÷å íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿìàòðèöû (N − 1) ïîðÿäêà, òî ñîîòíîøåíèÿ (6.42) çàäàþò âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿçàäà÷è (6.33). Ñîáñòâåííûå ôóíêöèèyn(k) = c1 sinkπn,Nk = 1, . .
. , N − 1îðòîãîíàëüíû. Ïîäñ÷èòàåì èõ íîðìûkyn(k) k2=¡yn(k) , yn(k)¢=c21N−1Xn=1= c21N−1Xn=1Äàëåå,sin2kπn=N2kπn"#N−1X1N−12kπnN = c2−cos.1222 n=1N1 − cosN−1 ³´nX2ikπe2ikπ − e2ikπ/N2kπn= Ree N= Re= −1.cosNe2ikπ/N − 1n=1n=1N−1X(6.43)68 6. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÒåì ñàìûì,p2/N ,(6.44)k = 1, . . . , N − 1.(6.45)kyn(k) k2 = c21 N/2 = 1 ïðè c1 =à îðòîíîðìèðîâàííûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ñóòüyn(k) =p2/N sinkπn,NÈç (6.42) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ïðåäïîëîæåíèå (6.34) âûïîëíåíî. Ïîýòîìó â ðàññìîòðåíèè ïðîòèâîïîëîæíîãî ïðåäïîëîæåíèÿ ñìûñëà íåò.Óïðàæíåíèå 6.3.
Ðåøèòü ñëåäóþùóþ çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ− yn+1 + 2yn − yn−1 ,λ− y1 + y0 + y0 = 0,2Îòâåò.λk = 4 sin2kπ,2Nk = 0, . . . , N,(k)yn =n = 1, . . . , N − 1,λyN − yN −1 + yN = 0.2p2/N coskπn.N 7Îðòîãîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíû7.1 Îáùèå îðòîãîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíûÔóíêöèþ ρ(x) 6≡ 0 áóäåì íàçûâàòü âåñîâîé ôóíêöèåé íà èíòåðâàëå (−1, 1), åñëè íàýòîì èíòåðâàëå îíà íåîòðèöàòåëüíà è èíòåãðèðóåìà.Ïóñòü íà (−1, 1) çàäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîãî÷ëåíîâ(7.1)P0 (x), P1 (x), . .
. , Pn (x), . . . ,â êîòîðîé êàæäûé ìíîãî÷ëåí Pn (x) èìååò ñòåïåíü n. Åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ èç ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèåZ1( Pm , Pn ) :=ρ(x)Pm (x)Pn (x)dx = 0,m 6= n,−1òî ìíîãî÷ëåíû (7.1) íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè íà (−1, 1) ñ âåñîì ρ(x).Ëåììà 7.1. Åñëè â ñèñòåìå èç (n + 1) îðòîãîíàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâP0 (x), P1 (x), . .
. , Pn (x)êàæäûé ìíîãî÷ëåí Pk (x) èìååò ñòåïåíü k , òî âñÿêèé ìíîãî÷ëåí Qn (x) ñòåïåíè nìîæíî åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâèòü â âèäåQn (x) = a0 P0 (x) + a1 P1 (x) + · · · + an Pn (x).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü îðòîãîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíû Pk (x) èìåþò âèä(k)(k)(k)Pk (x) = c0 + c1 x + · · · + ck xk ,à ìíîãî÷ëåí(k)ck 6= 0,Qn (x) = c0 + c1 x + · · · + cn xn .69(7.2)70 7. ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÛÏîäñòàâëÿÿ ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ â (7.2) è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõñòåïåíÿõ xk , ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé äëÿîïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ak(0)(1)(2)(n)c0 a0 + c0 a1 + c0 a2 + . .
. + c0 an = c0 ,(1)(2)(n)c1 a1 + c1 a2 + . . . + c1 an = c1 ,......................................................(n)cn an = cn .(k)Ïî óñëîâèþ òåîðåìû êîýôôèöèåíòû ck ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ îòëè÷íû îò íóëÿ, è, ñëåäîâàòåëüíî, ýòà àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîåðåøåíèå. Ëåììà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå 7.1. Óìíîæàÿ ñîîòíîøåíèå (7.2) íà ρ(x)Pk (x) è èíòåãðèðóÿ ðåçóëüòàò ïîèíòåðâàëó (−1, 1), ëåãêî íàõîäèì, ÷òîak =( Pk , Qn ),kPk k2kPk k2 = ( Pk , Pk ).Ëåììà 7.2.
Äëÿ âñÿêîé âåñîâîé ôóíêöèè ρ(x) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îðòîíîðìèðîâàííûõ ìíîãî÷ëåíîâ {Pn (x)}, èìåþùèõ ïîëîæèòåëüíûéêîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåé ñòåïåíè.Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì êîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåé ñòåïåíè x ìíîãî÷ëåíàPn (x) ÷åðåç µn . Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïðîâåäåì ìåòîäîì ïîëíîé ìàòåìàòè÷åñêîéèíäóêöèè. Èìååì, P0 (x) = µ0 > 0 è, ñëåäîâàòåëüíî,( P0 , P0 ) = µ20 ( 1 , 1 ) = 1.Ïîýòîìópµ0 = 1/ ( 1 , 1 )è ìíîãî÷ëåí P0 (x) îïðåäåëåí.Ïóñòü îïðåäåëåíû îðòîíîðìèðîâàííûå ìíîãî÷ëåíûP0 (x), P1 (x), . . . , Pn−1 (x).Îïðåäåëèì ìíîãî÷ëåí Pn (x).
Áóäåì åãî èñêàòü â âèäå Pn (x) = µn xn + Qn−1 (x).  ñèëóëåììû 7.1 íàõîäèì, ÷òîn−1XnPn (x) = µn x +ak Pk (x),k=0ãäå ÷èñëà µn è ak ïîäëåæàò îïðåäåëåíèþ. Óìíîæàÿ ýòî ñîîòíîøåíèå ñêàëÿðíî íàPm (x), m = 0, . . . , n − 1, íàõîäèì, ÷òî0 = µn ( xn , Pm (x) ) + am ,m = 0, . . . , n − 1,7.1. ÎÁÙÈÅ ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÛò.å.71am = −µn ( xn , Pm (x) )è, ñëåäîâàòåëüíî,"Pn (x) = µn xn −n−1X#( xn , P k ) xkk=0åñòü ïðîèçâîëüíûé îðòîãîíàëüíûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n.
Óìíîæàÿ åãî ñêàëÿðíî íàñàìîãî ñåáÿ è òðåáóÿ íîðìèðîâàííîñòè, íàõîäèìÃ!2 n−1X1 = µ2n xn −( xn , Pk )xk , 1 .|k=1{z}∨0Îòñþäà îïðåäåëÿåì µn > 0. Ëåììà äîêàçàíà.Ëåììà 7.3. Åñëè Pn (x) ïðèíàäëåæèò ñîâîêóïíîñòè îðòîãîíàëüíûõ ñ âåñîì ρ(x)ìíîãî÷ëåíîâ, òî äëÿ âñÿêîãî ìíîãî÷ëåíà Qm (x) ñòåïåíè m < n( Qm , Pn (x) ) = 0,m < n.(7.3)Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó ëåììû 7.1Qm (x) = a0 P0 (x) + a1 P1 (x) + · · · + am Pm (x).Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ïðåäñòàâëåíèå â (7.3), ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå ëåììû.Ëåììà 7.4. Åñëè âåñîâàÿ ôóíêöèÿ ρ(x) ÷åòíàÿ, òî êàæäûé îðòîãîíàëüíûé ìíîãî-÷ëåí Pn (x) ñîäåðæèò òîëüêî òå ñòåïåíè x, êîòîðûå èìåþò îäèíàêîâóþ ñ íîìåðîìn ÷åòíîñòü, ò.å.Pn (−x) ≡ (−1)n Pn (x).(7.4)Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü ρ(x) = ρ(−x) èZ1ρ(x)Pn (x)Pm (x)dx = 0,m = 0, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
