В.Б. Андреев - Численные методы (2 в 1). (2007) (1160465), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Óðàâíåíèå (6.3) íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì. Ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ àíàëîãàìè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéè â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè ïîâòîðÿþò ñâîéñòâà ïîñëåäíèõ. Êàê è â ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, âàæíûì ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ïîðÿäêà ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ.Åñëè a(n) 6= 0, òî êàçàëîñü áû åñòåñòâåííûì îáúÿâèòü ïîðÿäêîì óðàâíåíèÿ (6.3)÷èñëî òðè. Îäíàêî ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè ïîðÿäêà ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ íàñ æäóòíåïðèÿòíîñòè. ×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, ïîëîæèì â (6.3) a(n) = 1, b(n) = 0, c(n) = −3,d(n) = 2.
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì óðàâíåíèå∇3 yn − 3∇yn + 2yn = f (n).Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (6.1) è (6.2), íàõîäèì, ÷òî∇yn = yn − yn−1 ,∇3 yn = yn − 3yn−1 + 3yn−2 − yn−3 ,à, ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â (6.4), áóäåì èìåòüyn − 3yn−1 + 3yn−2 − yn−3 − 3yn + 3yn−1 + 2yn = f (n)57(6.4)58 6. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßèëè3yn−2 − yn−3 = f (n).(6.5)Ââîäÿ íîâûé èíäåêñ m = n − 2, óðàâíåíèå (6.5) ïðåîáðàçóåì ê âèäó3ym − ym−1 = f (m + 2).(6.6)Ýòî óðàâíåíèå ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ (6.4), è íàçâàòü åãî ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì òðåòüåãî ïîðÿäêà ïðîñòî íå ïîâîðà÷èâàåòñÿ ÿçûê. È äåëî, êîíå÷íî, íå ïðîñòî âíàçâàíèè.
Îò óäà÷íî ââåäåííîãî îïðåäåëåíèÿ çàâèñèò ïðîñòîòà ïîñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé, èñïîëüçóþùèõ ýòî îïðåäåëåíèå. Ïîñêîëüêó çàïèñü (6.3) íå ñîäåðæèò ÿâíûìîáðàçîì èíôîðìàöèè î ÷èñëå, êîòîðûì ñëåäîâàëî áû îïðåäåëèòü ïîðÿäîê ðàçíîñòíîãîóðàâíåíèÿ, òî áóäåì ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå çàïèñûâàòü â âèäåΦ(n, yn , yn−1 , . . . , yn−k ) = 0.(6.7)Îïðåäåëåíèå 6.1. Óðàâíåíèå (6.7) íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì.Îïðåäåëåíèå 6.2.
Ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå (6.7), åñëè îíî ÿâíî çàâèñèò îò yn è îòyn−k , íàçûâåòñÿ óðàâíåíèåì k -ãî ïîðÿäêà.Îïðåäåëåíèå 6.3. Ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå k -ãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, åñëèîíî ëèíåéíî çàâèñèò îò yn , yn−1 , . . . , yn−k .Ìû áóäåì èçó÷àòü òîëüêî ëèíåéíûå ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ, êîòîðûå áóäåì çàïèñûâàòü â âèäåkXαj (n)yn−j = f (n), n ∈ Z.(6.8)j=0Ïîêà ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî óðàâíåíèå (6.8) çàäàíî ïðè âñåõ n ∈ Z. Óðàâíåíèå (6.8)áóäåò óðàâíåíèåì k -ãî ïîðÿäêà, åñëè êîýôôèöèåíòû α0 (n) è αk (n) íå îáðàùàþòñÿ âíóëü íè ïðè îäíîì n ∈ Z.Îïðåäåëåíèå 6.4. Ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ yn , n ∈ Z íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ(6.8), åñëè ïðè ïîäñòàíîâêå åå â (6.8) ïîñëåäíåå ïðåâðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî.Îïðåäåëåíèå 6.5.
Ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ yn , n ∈ Z íàçûâàåòñÿ îáùèì ðåøåíèåìðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (6.8), åñëè â íåé ñîäåðæèòñÿ ëþáîå ðåøåíèå (6.8).Äëÿ òîãî, ÷òîáû îïðåäåëèòü êàêîå-ëèáî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.8) (÷àñòíîå ðåøåíèå)äîñòàòî÷íî óêàçàòü åãî çíà÷åíèÿ â ëþáûõ k ïîñëåäîâàòåëüíûõ òî÷êàõ, íàïðèìåð,n0 , n0 + 1, . . . , n0 + k − 1.6.2.
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÏÅÐÂÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ596.2 Ëèíåéíûå ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêàÝòè óðàâíåíèÿ èìåþò âèäα0 (n)yn + α1 (n)yn−1 = f (n).(6.9)Ïîñêîëüêó α0 (n) 6= 0, òî íà ýòîò êîýôôèöèåíò óðàâíåíèå ìîæíî ïîäåëèòü. Ïóñòüα1 (n)/α0 (n) = −qn , à f (n)/α0 (n) ñíîâà îáîçíà÷èì ÷åðåç f (n) = fn . Òîãäà ðàçíîñòíîåóðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà (6.9) ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê(6.10)yn = qn yn−1 + fn .Ðàçðåøèòü ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå çíà÷èò âûðàçèòü yn ÷åðåç èçâåñòíûå âåëè÷èíû.×òîáû ìîæíî áûëî ðåøèòü (6.10), íóæíî çàäàòü íà÷àëüíîå óñëîâèå(6.11)y0 = a.Èñïîëüçóÿ òåïåðü ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ (6.10), ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëèòü yn ïðè âñåõ ïîñëåäóþùèõ çíà÷åíèÿõ n:y1 = q1 y0 + f1 = q1 a + f1 ,y2 = q2 y1 + f2 = q2 (q1 a + f1 ) + f2 = q1 q2 a + q2 f1 + f2è ò.ä.×àñòî áûâàåò ïîëåçíî èìåòü íå ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî âû÷èñëåíèÿ ðåøåíèÿ, à íåêîòîðóþ ôîðìóëó, ïðåäñòàâëÿþùóþ ðåøåíèå.
Íàéäåìïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (6.10). Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ñíà÷àëà îòâå÷àþùåååìó îäíîðîäíîå óðàâíåíèåyn = qn yn−1(6.12)è íàéäåì åãî ðåøåíèå. Èìååìy1 = q1 y0 ,y2 = q2 y1 ,..............yn = qn yn−1 .Ïåðåìíîæàÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà è ñîêðàùàÿ ëåâóþ è ïðàâóþ÷àñòè íà y1 y2 .
. . yn−1 , ïîëó÷èìyn = q1 . . . qn y0 = y0nYqj .(6.13)j=1Âåëè÷èíà y0 åñòü íà÷àëüíîå çíà÷åíèå yn è ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé ïîñòîÿííîé. Ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (6.12) íàéäåíî.60 6. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÇàìå÷àíèå 6.1. Íàïîìíèì, ÷òî åñëè ëèíåéíîå îäíîðîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâ-íåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà çàïèñàòü â âèäå y 0 = P (x)y , òî åãî îáùåå ðåøåíèå ïðèìåòâèä xZy(x) = c expP (ξ)dξ .0Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê íåîäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ (6.10).
Åãî ðåøåíèå áóäåì èñêàòü,èñïîëüçóÿ ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (6.12), ìåòîäîì âàðèàöèè ïîñòîÿííîé. Ïóñòü◦yn =nY(6.14)qj .j=1◦Ýòî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.12), à c y n åãî îáùåå ðåøåíèå. Çàñòàâèì êîýôôèöèåíòc çàâèñåòü îò n è â òàêîì âèäå áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.10)◦(6.15)yn = cn y n .Ïîäñòàâëÿÿ (6.15) â (6.10), ïîëó÷èì◦◦cn y n = qn cn−1 y n−1 + fn .◦◦Èç (6.12) y n = qn y n−1 è ïîýòîìó◦◦cn y n = cn−1 y n + fn ,ò.å.◦cn = cn−1 + fn /y n .Îòñþäà±◦c1 = c0+ f1 y 1 ,±◦c2 = c1+ f2 y 2 ,.........................±◦cn = cn−1 + fn y n ,Ñêëàäûâàÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ, íàõîäèì, ÷òîcn =nXfk◦k=1yk+ c0 ,à ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (6.14), áóäåì èìåòücn =nXk=1fkkYj=1qj−1 + c0 .6.3.
ÓÐÀÂÍÅÍÈß K -ÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ Ñ ÏÎÑÒÎßÍÍÛÌÈ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀÌÈ61Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (6.15), ïîëó÷èì îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ(6.10)Ã!nnkYXYyn =qj c +fkqj−1 .(6.16)j=1k=1j=1Çàìå÷àíèå 6.2. Íàïîìíèì, ÷òî åñëè ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà çàïèñàòü â âèäå y 0 = P (x)y +f (x), òî åãî îáùåå ðåøåíèå ïðèìåòâèä η xZx ZZc + f (η) exp − P (ξ)dξ dη .P (ξ)dξy(x) = exp000Åñëè êîýôôèöèåíò qn = const = q , òî èç (6.16) íàõîäèì, ÷òîÃ!nXyn = q n c +fk q −k ,(6.17)k=1à åñëè è fn = const = f , òî ïðè q 6= 1!õ¶nXq −1 − q −n+11 − qn−knnnq=q c+f.yn = q c + f=cq+f1 − q −11−q(6.18)k=16.3 Ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ k -ãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìèÅñëè êîýôôèöèåíòû αj (n) èç (6.8) íå çàâèñÿò îò n, òî ìû èìååì ðàçíîñòíîå óðàâíåíèåñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìèkXαj yn−j = f (n),n ∈ Z.(6.19)j=0Ðåøåíèå îòâå÷àþùåãî (6.19) îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿkXαj yn−j = 0(6.20)j=0ìîæíî èñêàòü â âèäåyn = q n ,q 6= 0¡¢ñð.
ñ y(x) = eλx ,ãäå q = const 6= 0. Ïîäñòàâëÿÿ (6.21) â (6.20), ïîëó÷èìq n−kkXj=0αj q k−j = 0.(6.21)62 6. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÍà q n−k ìîæíî ñîêðàòèòü, â ðåçóëüòàòå ÷åãî äëÿ îòûñêàíèÿ q ïîëó÷èì àëãåáðàè÷åñêîåóðàâíåíèå ñòåïåíè kα0 q k + α1 q k−1 + · · · + αk−1 q + αk = 0,(6.22)íàçûâàåìîå õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì, îòâå÷àþùèì ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ(6.20).Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (6.22) èìååò ðîâíî k êîðíåé, âêëþ÷àÿ êðàòíûå èêîìïëåêñíûå. Îáîçíà÷èì èõ ÷åðåçq1 , q 2 , . . .
, q k .(6.23)Î÷åâèäíî, ÷òî ñåòî÷íûå ôóíêöèèqln ,l = 1, . . . , k(6.24)ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (6.20).Èìååò ìåñòîÒåîðåìà 6.1. Åñëè êîðíè (6.23) õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (6.22) ïðîñòûå, òîðåøåíèÿ (6.24) ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (6.20) ëèíåéíî íåçàâèñèìû, à îáùåå ðåøåíèåýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèäkXcl qln .yn =l=1Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâî ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè (6.20) ïðèk = 2.
Äîïóñòèì ïðîòèâíîå, ò.å. ïóñòüc1 q1n + c2 q2n ≡ 0,Íî òîãäà è|c1 | + |c2 | 6= 0.c1 q1n−1 + c2 q2n−1 = 0.Ðàññìîòðèì ýòè äâà òîæäåñòâà êàê ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ c1 è c2 . Íàõîäèì, ÷òî îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû¯¯ n¯ q1q2n ¯¯¯∆ = ¯ n−1 n−1 ¯ = (q1 q2 )n−1 (q1 − q2 ) 6= 0q1q2è, ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà èìååò ëèøü òðèâèàëüíîå ðåøåíèå c1 = c2 = 0.
Ýòî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ, ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó.Çàìå÷àíèå 6.3. Åñëè êîìïëåêñíîå ÷èñëî q = |q|eiϕ , ϕ 6= mπ , m ∈ Z ÿâëÿåòñÿ êîðíåìõàðàêòåðèñòè÷å÷êîãî óðàâíåíèÿ (6.22), êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî äåéñòâèòåëüíû, òî6.3. ÓÐÀÂÍÅÍÈß K -ÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ Ñ ÏÎÑÒÎßÍÍÛÌÈ ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀÌÈ63÷èñëî q = |q|e−iϕ , êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîå ê q , òàêæå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (6.22), à íàðÿäó ñ êîìïëåêñíûìè ðåøåíèÿìè ðàçíîñòíîãîóðàâíåíèÿ (6.20)qn è q n(6.25)ðåøåíèÿìè óêàçàííîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ áóäóò è äåéñòâèòåëüíàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè ðåøåíèé (6.25), ò.å.|q|n cos nϕ, |q|n sin nϕ.(6.26)Ðåøåíèÿ (6.26), êàê è (6.25), ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Ïðèìåð 6.1. Íàéäåì îáùåå ðåøåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿyn − 2 ch αyn−1 + yn−2 = 0,α 6= 0.Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ýòîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèäq 2 − 2 ch αq + 1 = 0,à åãî êîðíè ñóòüq1,2 = ch α ±√ch 2 α − 1 = e±α .Ýòè êîðíè ðàçëè÷íûå, è ïîýòîìóyn = c1 eαn + c2 e−αn .Òåîðåìà 6.2.
Åñëè q åñòü êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (6.22) êðàòíîñòès > 1, òî ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿPs−1 (n)q n ,ãäå Ps−1 (n) ïðîèçâîëüíûé ìíîãî÷ëåí, ñòåïåíü êîòîðîãî íå âûøå s − 1, ÿâëÿåòñÿðåøåíèåì ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (6.20). Ïðè ýòîì ðåøåíèÿnl q n ,l = 0, . . . , s − 1ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ ñëó÷àÿ s = k = 2. Ïîêàæåìñíà÷àëà, ÷òî nq n åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.20) ïðè k = 2. Èìååìα0 nq n + α1 (n − 1)q n−1 + α2 (n − 2)q n−2 =£¤= q n−2 (α0 q 2 + α1 q + α2 )(n − 2) + q(2α0 q + α1 ) == q n−1 (2α0 q + α1 ) = 0,èáî 2α0 q +α1 = (α0 q 2 +α1 q +α2 )0 è îáÿçàíî îáðàùàòüñÿ â íóëü íà êîðíå êðàòíîñòè äâà.Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ðåøåíèé q n è nq n äîêàçûâàåòñÿ òàê æå, êàê è â ïðåäûäóùåéòåîðåìå.64 6. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÒåîðåìà 6.3.
Åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü f (n) íåîäíîðîäíîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (6.19)◦n◦èìååò âèä Pm (n) q , ãäå Pm (n) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè m, à q ÿâëÿåòñÿ s-êðàòíûì,s > 0, êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (6.22), òî óðàâíåíèå (6.19) èìååòðåøåíèå âèäà◦ny(n) = ns Qm (n) q .(6.27)Äîêàçàòåëüñòâî ñìîòðè, íàïðèìåð, â [].Óïðàæíåíèå 6.1. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿyn − 2yn−1 + yn−2 = n(1 + 2n ).Îòâåò.1yn = c1 + c2 n + (n + 3)n2 + (n − 2)2n+2 .66.4 Ñèñòåìû ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèéÐàññìîòðèì ñèñòåìó äâóõ ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè ôóíêöèÿìèun = a11 un−1 + a12 vn−1 ,vn = a12 un−1 + a22 vn−1 ,n ∈ Z,(6.28)ãäå aij , i, j = 1, 2 ïîñòîÿííûå. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âåêòîð-ôóíêöèþy(n) = [un vn ]Tè ìàòðèöó·¸a11 a12A=,a21 a22êîòîðóþ áóäåì ïðåäïîëàãàòü íåâûðîæäåííîé, det A 6= 0. Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå îáîçíà÷åíèÿ, ñèñòåìó (6.28) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âåêòîðíîì âèäåy(n) = Ay(n − 1), det A 6= 0, èëè A−1 y(n) = y(n − 1).(6.29) çàïèñè (6.29) ìîæíî çàáûòü, ÷òî y(n) áûë äâóìåðíûé âåêòîð, à A ìàòðèöà âòîðîãîïîðÿäêà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
