В.Б. Андреев - Численные методы (2 в 1). (2007) (1160465), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Òåì ñàìûì, ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ (19.53) íà ðåøåíèè óðàâíåíèÿ (19.38)åñòü O(h2 ).Óïðàæíåíèå 19.5. Èíòåãðî-èíòåðïîëÿöèîííûì ìåòîäîì ïîñòðîèòü àïïðîêñèìàöèþ ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿdu(1)p(1)+ κ1 u(1) = g1(19.59)dxè èññëåäîâàòü ïîãðåøíîñòü ïîëó÷åííîé àïïðîêñèìàöèè.Òåîðåìà 19.7. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿphi > c0 > 0,qih > c1 > 0,κ0 > 0.(19.60)Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (19.43), (19.53), (19.61)uhN = g1 ,è äëÿ íåãî ñïðàâåäëèâà àïðèîðíàÿ îöåíêà|fi ||g0 |max |uhi | 6+ |g1 | + max.iiκ0c1Óïðàæíåíèå 19.6. Äîêàçàòü òåîðåìó 19.7.(19.61)(19.62)Òåîðåìà 19.8. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ (19.60), è ðåøåíèå çàäà÷è (19.38), (19.48),(19.63) u(x) ∈ C 4 [0, 1],u(1) = g1 ,(19.63)òî ðåøåíèå uh çàäà÷è (19.43), (19.44), (19.53), (19.61) ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è(19.38), (19.48), (19.63) ñî ñêîðîñòüþ O(h2 ) ðàâíîìåðíî ïî x1 ∈ ω , ò.å.max |u(xi ) − uhi | = O(h2 ).i19.7.
ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÎÁÎÁÙÅÍÈß21719.7 Íåêîòîðûå îáîáùåíèÿÄëÿ êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿd−dxµdup(x, u)dx¶+ q(x, u) = 0ðàçíîñòíóþ àïïðîêñèìàöèþ ìîæíî âçÿòü â âèä嵸· µ¶¶uhi + uhi−1uhi+1 + uhi1hh−p xi+1/2 ,ux,i − p xi−1/2 ,ux̄,i +h22+q(xi , uhi )= 0,+= 0,(19.65)i = 1, . . . , N − 1.Ñ ðàâíûì óñïåõîì ìîæíî ïîñòóïèòü è òàê:·¸p(xi , uhi ) + p(xi−1 , uhi−1 ) h1 p(xi+1 , uhi+1 ) + p(xi , uhi ) h−ux,i −ux̄,i +h22q(xi , uhi )(19.64)(19.66)i = 1, . .
. , N − 1.Óïðàæíåíèå 19.7. Âûÿñíèòü ïîðÿäêè ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè ñõåì (19.65) è(19.66).Åñëè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (19.38) íå ÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêèìè, òî òåîðåìà19.8 î ñõîäèìîñòè ñî ñêîðîñòüþ O(h2 ) ìîæåò íå èìåòü ìåñòî.  ýòîé ñèòóàöèè äëÿóìåíüøåíèÿ ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè â îêðåñòíîñòè òåõ òî÷åê, ãäå óìåíüøàåòñÿãëàäêîñòü ðåøåíèÿ, ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü íåðàâíîìåðíóþ ñåòêó. Ïóñòü© ¯ªωb = xi ¯ x0 = 0 < x1 < x2 < · · · < xN −1 < xN = 1(19.67) ïðîèçâîëüíàÿ íåðàâíîìåðíàÿ ñåòêà íà [0, 1]. Áóäåì îáîçíà÷àòühi = xi − xi−1 ,~i =hi + hi+1.2Íà ñåòêå (19.67) äëÿ óðàâíåíèÿ (19.38) ìåòîäîì áàëàíñà ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ àïïðîêñèìàöèþ· µµ¸¶¶1hi+1 uhi+1 − uhihi+1 uhi − uhi−1−p xi +− p xi −+~i2hi+12hi(19.68)h+ q(xi )ui = f (xi ), i = 1, N − 1.Åñëè ñåòêà (19.67) ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé, òî ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè (19.68) åñòüòîëüêî O(h), ãäå h = max hi . Îäíàêî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ïîãðåøíîñòü ðåøåíèÿñîîòâåòñòâóþùåé ñåòî÷íîé çàäà÷è è íà ýòîé ñåòêå áóäåò âåëè÷èíîé O(h2 ) ïðè ñîîòâåòñòâóþùåé ãëàäêîñòè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (19.38).218 19.
ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÑÕÅÌÓïðàæíåíèå 19.8. Èññëåäîâàòü ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè (19.68).Âûøå âñþäó ðå÷ü øëà î òîì ñëó÷àå, êîãäà êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (19.38) äîñòàòî÷íî ãëàäêèå.  ïðèëîæåíèÿõ ÷àñòî êîýôôèöèåíòû áûâàþò êóñî÷íî-ãëàäêèå (íàïðèìåð, êóñî÷íî-ïîñòîÿííûå).  ýòîì ñëó÷àå äëÿ àïïðîêñèìàöèè óðàâíåíèÿ öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ñåòêó, ó êîòîðîé â êà÷åñòâå óçëîâ ïðèñóòñòâóþò âñå òî÷êèðàçðûâà êîýôôèöèåíòîâ p(x), q(x) è ïðàâîé ÷àñòè f (x). Òàêàÿ ñåòêà áóäåò, êàê ïðàâèëî, íåðàâíîìåðíîé è ìîæåò áûòü êóñî÷íî-ðàâíîìåðíîé.
Óêàçàííûé âûáîð ñåòêèïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü òî÷íîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ íå íèæå, ÷åì â ãëàäêîì ñëó÷àå.19.8 Óðàâíåíèå êîíâåêöèè-äèôôóçèèÄîáàâèì ê óðàâíåíèþ åùå (19.38) îäèí ÷ëåí ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ èñêîìîãî ðåøåíèÿ, óìíîæåííóþ íà íåêîòîðûé êîýôôèöèåíò−(pu0 )0 − r(x)u0 + q(x)u = f.(19.69)Êàê àïïðîêñèìèðîâàòü ïåðâûé è ïîñëåäíèé ÷ëåíû ëåâîé ÷àñòè (19.69), ìû çíàåì.Îñòàëîñü ïîñòðîèòü àïïðîêñèìàöèþ âòîðîãî ÷ëåíà. Ñ òî÷êè çðåíèÿ íàèëó÷øåãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè ñëåäóåò ïîëîæèòüui+1 − ui−1=: ux◦ .2hu0i ≈Òîãäà àïïðîêñèìàöèÿ óðàâíåíèÿ (19.69) ïðèìåò âèä¡¢− pi−1/2 uhx̄ x,i − ri uh◦ + qi uhi = fi , i = 1, . . . , N − 1.x,i(19.70)(19.71)Òåîðåìà 19.9.
Åñëè u ∈ C 4 [0, 1], òî ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ðàçíîñòíîé ñõåìû(19.71) Ψ = O(h2 ).Äîïîëíèì óðàâíåíèå (19.69) ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Ïóñòü, íàïðèìåð,u(0) = g0 ,u(1) = g1 .(19.72)Òîãäà ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ (19.71) íóæíî äîïîëíèòü ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèuh0 = g0 ,uhN = g1 .(19.73)Èìååò ìåñòîÒåîðåìà 19.10. Åñëè êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (19.69) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì(19.23), (19.47), à ñåòêà òàêîâà, ÷òîmaxi|r(xi )|h6 1,2c0(19.74)19.8. ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÊÎÍÂÅÊÖÈÈ-ÄÈÔÔÓÇÈÈ219òî çàäà÷à (19.71), (19.73) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, è äëÿ íåãî ñïðàâåäëèâà àïðèîðíàÿ îöåíêà|fi |max |uhi | 6 |g0 | + |g1 | + max.(19.75)iic1Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðåäñòàâèìuhx◦uhi+1 − uhi−1uhi+1 − uhi + uhi − uhi−111=== ux + ux̄ .2h2h22Ïîäñòàâèì ýòî ïðåäñòàâëåíèå â (19.71)−¢ ri ¡ h¢1¡pi+1/2 uhx,i − pi−1/2 uhx̄,i −ux,i + uhx̄,i + qi uhi = fi .h2Îòñþäà−³pi+1/2h³pri ´ uhi+1 − uhiri ´ uhi − uhi−1i−1/2++−+ qi uhi = fi .2hh2hÏðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (19.74) âûðàæåíèÿ â ñêîáêàõ íåîòðèöàòåëüíûå. Ýòîãî çàìå÷àíèÿ äîñòàòî÷íî äëÿ òîãî, ÷òîáû çàâåðøèòü äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû, èñïîëüçóÿòå æå ñàìûå ðàññóæäåíèÿ, ÷òî è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåì 19.7 è 19.1.Óïðàæíåíèå 19.9.
Çàâåðøèòü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 19.10.Óïðàæíåíèå 19.10. Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü òåîðåìó î ñõîäèìîñòè ðàçíîñòíîéçàäà÷è (19.71), (19.73).220 19. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÑÕÅÌ 20Ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûå óðàâíåíèÿ.Íåãëàäêèå ðåøåíèÿ20.1 Îñöèëëÿöèè ðåøåíèÿ è ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûå óðàâíåíèÿÏðè èññëåäîâàíèè ðàçðåøèìîñòè è ñõîäèìîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû (19.71) äëÿ óðàâíåíèÿ êîíâåêöèè-äèôôóçèè (19.69) ìû ââåëè îãðàíè÷åíèå (19.74) íà øàã ñåòêè. Ýòîîãðàíè÷åíèå â ðÿäå ñëó÷àåâ îêàçûâàåòñÿ èçëèøíå îáðåìåíèòåëüíûì, è òîãäà îò àïïðîêñèìàöèè (19.70) ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ïðèõîäèòñÿ îòêàçûâàòüñÿ. Îáñóäèì ýòîòâîïðîñ íà ïðèìåðå ïðîñòåéøåãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìèd2 udu+r= 0,r = const.(20.1)2dxdxÍàðÿäó ñ àïïðîêñèìàöèåé (19.70) ïðîèçâîäíîé u0 ðàññìîòðèì òàêæå åå àïïðîêñèìàöèèîäíîñòîðîííèìè ðàçíîñòíûìè îòíîøåíèÿìè ux è ux̄ .
Ðàçóìååòñÿ, ïîðÿäîê ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè â ýòèõ ñëó÷àÿõ áóäåò õóæå. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü îäíîâðåìåííîâñå òðè èç óêàçàííûõ àïïðîêñèìàöèé u0 . Äëÿ ýòîãî â ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå ââåäåìïàðàìåòð σ£¤uhx̄x + r σuhx + (1 − σ)uhx̄ = 0.(20.2)Ïðè σ = 1/2 èìååì ux◦ = (ux + ux̄ )/2, ïðè σ = 1 ux , à ïðè σ = 0 ux̄ . Ïåðåïèøåì(20.2) â ïîòî÷å÷íîì âèäåµµµ¶¶¶σr2(2σ − 1)r1(σ − 1)r1hh+++ui+1 −ui +uhi−1 = 0.222hhhhhhÝòî åñòü ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âè䵶µ¶µ¶1212+ σr q −+ (2σ − 1)r q ++ (σ − 1)r = 0.(20.3)hhh221222 20.
ÑÈÍÃÓËßÐÍÎ ÂÎÇÌÓÙÅÍÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÏîñêîëüêó ñóììà êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ (20.3) ðàâíà íóëþ, òî ñðåäè åãî êîðíåéåñòü êîðåíü q1 = 1. Âòîðîé êîðåíüq2 = q =1 + (σ − 1)rh.1 + σrh(20.4)Ïðîâåäåì êà÷åñòâåííîå ñðàâíåíèå ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (20.1) èðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (20.2). Äëÿ ýòîãî ïðåäïîëîæèì, ÷òî(20.5)r>0è ïîñòàâèì çàäà÷ó äëÿ (20.1) íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè Oxu(0) = 1,u(∞) = 0.(20.6)Î÷åâèäíî, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è (20.1), (20.5), (20.6) èìååò âèäu(x) = e−rx .(20.7)Ôóíêöèÿ (20.7) ïîëîæèòåëüíà è ìîíîòîííî óáûâàåò ïðè x → ∞.Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (20.2), óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿìuh0 = 1,lim uhi = 0.i→∞(20.8)Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (20.2) â ñèëó âûøåñêàçàííîãî åñòüuhi = c1 + c2 q i .(20.9)Äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòî ðåøåíèå íà áåñêîíå÷íîñòè áûëî õîòÿ áû îãðàíè÷åííûì, íóæíîïîòðåáîâàòü, ÷òîáû (ñì.
(20.4))|q| 6 1,ò.å.−161 + (σ − 1)rh6 1.1 + σrh(20.10)Ïóñòü σ > 0. Òîãäà çíàìåíàòåëü â (20.10) ïîëîæèòåëåí, ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâàèìååò ìåñòî âñåãäà, è ïîýòîìó îñòàåòñÿ òîëüêî îãðàíè÷åíèå−1 − σrh 6 1 + (σ − 1)rh,ò.å.2 + (2σ − 1)rh > 0.Åñëè σ = 1 èëè σ = 1/2, òî ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî ñî çíàêîì ñòðîãîãî íåðàâåíñòâà, èðåøåíèå çàäà÷è (20.2), (20.8) ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ èìååò âèäuhi = q i ,i ∈ N.(20.11)20.1. ÎÑÖÈËËßÖÈÈ ÐÅØÅÍÈß223Íàëîæèì áîëåå ñèëüíîå óñëîâèå íà ñåòî÷íîå ðåøåíèå. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû îíî áûëîìîíîòîííûì êàê è ðåøåíèå (20.7) äèôôåðåíöèàëüíîé çàäà÷è.
Ðåøåíèå (20.11) áóäåòìîíîòîííûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà q > 0, ò.å åñëè(20.12)1 + (σ − 1)rh > 0.Ïðè σ = 1 ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî, à ïðè σ = 1/2 òðåáóåòñÿ, ÷òîáû(20.13)rh 6 2(ñðàâíèòü ñ (19.74)).Èòàê, åñëè σ = 1, ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè óðàâíåíèÿ (20.2) åñòü O(h), íîðåøåíèå (20.11) çàäà÷è (20.2), (20.8) ìîíîòîííî ïðè ëþáûõ h. Åñëè σ = 1/2, òîïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè åñòü O(h2 ), íî ðåøåíèå (20.11) ìîíîòîííî òîëüêî ïðèâûïîëíåíèè óñëîâèÿ (20.13).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðåøåíèå (20.11) áóäåò êîëåáàòüñÿ(ñì.
ðèñ. 1), ìåíÿÿ çíàê ïðè ïåðåõîäå îò îäíîãî óçëà ê äðóãîìó.6-12345 iÐèñ. 1Èìåííî ýòè îñöèëëÿöèè ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû (20.2) ïðè σ = 1/2 è íå ëþáÿòïðèêëàäíèêè.Çàìå÷àíèå 20.1. Ïðîâåäåííûé àíàëèç ïîêàçàë ïðèíöèïèàëüíîå ðàçëè÷èå ìåæäóñõåìàìè (20.2) ïðè σ = 1 è ïðè σ = 0, õîòÿ îáå ýòè ñõåìû èìåþò ïîãðåøíîñòü O(h) èâ ýòîì ñìûñëå áëèçêè. Ïðè÷èíà ðàçëè÷èÿ ñîñòîèò â çíàêå êîýôôèöèåíòà r.
Åñëè áûîí áûë îòðèöàòåëüíûì, òî ñõåìû ñ σ = 1 è σ = 0 ïîìåíÿëèñü áû ðîëÿìè.224 20. ÑÈÍÃÓËßÐÍÎ ÂÎÇÌÓÙÅÍÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÊàçàëîñü áû, îãðàíè÷åíèå (20.13) íå ÿâëÿåòñÿ ñëèøêîì îáðåìåíèòåëüíûì, ÷òîáûâñåãäà òðåáîâàòü åãî âûïîëíåíèÿ. Äëÿ îáû÷íûõ çàäà÷ ýòî òàê. Íî åñòü âàæíûé êëàññòàê íàçûâàåìûõ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ óðàâíåíèé, êîãäà îãðàíè÷åíèå (20.13) îêàçûâàåòñÿ âåñüìà îáðåìåíèòåëüíûì. Ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåεu00 + u0 = 0.(20.14)Çäåñü ε ∈ (0, 1] ìàëûé ïàðàìåòð.
Ïðè ε → 0 äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãîïîðÿäêà (20.14) ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà, äëÿ êîòîðîãî îäíî èç äâóõãðàíè÷íûõ óñëîâèé, âûäåëÿþùèõ åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (20.14), ñòàíîâèòñÿ ëèøíèì. Ýòî è ÿâëÿåòñÿ ïðè÷èíîé íåïðîñòîãî ïîâåäåíèÿ ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåéçàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ (20.14) ïðè ìàëûõ ε. Åñëè äëÿ óðàâíåíèÿ (20.14) ïîñòàâèòüãðàíè÷íûå óñëîâèÿu(0) = 0,u(1) = 1,(20.15)òî ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è áóäåò ôóíêöèÿu(x) =1 − e−x/εe−x/ε − e−1/ε=1−,1 − e−1/ε1 − e−1/ε(20.16)ÿâëÿþùàÿñÿ ñóììîé ãëàäêîé, ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ ôóíêöèè u0 (x) := 1 è áûñòðîìåíÿþùåéñÿ ôóíêöèè u1 (x) := (e−x/ε − e−1/ε )/(1 − e−1/ε ).Ïîñêîëüêó óðàâíåíèÿ (20.1) è (20.14) ïåðåõîäÿò îäíî â äðóãîå ïðè r = 1/ε, òîóñëîâèå (20.13) ïðèìåíèòåëüíî ê ðàçíîñòíîé ñõåìå (20.2) äëÿ óðàâíåíèÿ (20.14) ïðèìåòâèäh 6 2ε.(20.17)Íî â (20.14) ïàðàìåòð ε ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ 10−2 , 10−4 èëè äàæå 10−8 , èîãðàíè÷åíèå (20.17) ñòàíîâèòñÿ ñëèøêîì îáðåìåíèòåëüíûì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
