В.Б. Андреев - Численные методы (2 в 1). (2007) (1160465), страница 28
Текст из файла (страница 28)
 ýòîé ñèòóàöèè ñëåäóåòëèáî îãðàíè÷èòüñÿ ñõåìîé ñ σ = 1, êîòîðàÿ íå íàêëàäûâàåò íèêàêèõ îãðàíè÷åíèéíà øàã ñåòêè ñ òî÷êè çðåíèÿ îñöèëèðîâàíèÿ ðåøåíèÿ, è äîâîëüñòâîâàòüñÿ ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè O(h), ëèáî ïûòàòüñÿ ñòðîèòü äðóãèå ñõåìû, êîòîðûå èìåþòïîãðåøíîñòü O(h2 ) è íå òðåáóþò îãðàíè÷åíèÿ òèïà (20.17).20.2 ×åòûðåõòî÷å÷íàÿ ñõåìàÏîñòðîèì äðóãóþ àïïðîêñèìàöèþ óðàâíåíèÿ (20.1). Áóäåì àïïðîêñèìèðîâàòü â (20.1)âòîðîå ñëàãàåìîå ïðè ïîìîùè ñîîòíîøåíèÿu0 (xi ) ≈−ui+2 + 4ui+1 − 3ui,2hïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè êîòîðîãî åñòü O(h2 ). Èñïîëüçóÿ ýòó àïïðîêñèìàöèþ, âìåñòî (20.2) áóäåì èìåòü−uhi+2 + 4uhi+1 − 3uhiuhi+1 − 2uhi + uhi−1+r= 0.h22h(20.18)20.2. ×ÅÒÛÐÅÕÒÎ×Å×ÍÀß ÑÕÅÌÀ225Íàïèøåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ýòîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìèêîýôôèöèåíòàìèq 2 − 2q + 1−q 3 + 4q 2 − 3q+r= 0.h22hÎáîçíà÷èì rh/2 = ξ è ïåðåïèøåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå â âèäå−ξq 3 + (1 + 4ξ)q 2 − (2 + 3ξ)q + 1 = 0.Ñóììà êîýôôèöèåíòîâ ýòîãî óðàâíåíèÿ ðàâíà íóëþ, è ñëåäîâàòåëüíî, q = 1 åñòüêîðåíü ýòîãî óðàâíåíèÿ.
Ïîñëå äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà èç ëåâîé ÷àñòè íà (q − 1) ïîëó÷èìóðàâíåíèå−ξq 2 + (1 + 3ξ)q − 1 = 0,êîðíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ÷èñëàp1 + 6ξ + 9ξ 2 − 4ξq2,3 =.2ξÎ÷åâèäíî, ÷òî îáà ýòè êîðíÿ ïîëîæèòåëüíû ïðè ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ ξ . Ïîñêîëüêóîáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (20.18) èìååò âèä1 + 3ξ ±uhi = c1 + c2 q2i + c3 q3i ,òî îñöèëëÿöèè ýòîãî ðåøåíèÿ áóäóò îòñóòñòâîâàòü íà ëþáîé ñåòêå, ò.å.
ïðè ëþáûõ h.Àïïðîêñèìèðóþùèì ýêñïîíåíòó e−rh áóäåò êîðåíüip1 hq2 =1 + 3ξ − 1 + 2ξ + 9ξ 2 =2ξ½·¸¾2ξ + 9ξ 2 (2ξ + 9ξ 2 )28 3141 + 3ξ − 1 +−+ ξ + O(ξ )==2ξ2816r 2 h2= 1 − 2ξ + 2ξ 2 + O(ξ 3 ) = 1 − rh ++ O(h3 ) = e−rh + O(h3 )2Çàìå÷àíèå 20.2. Ïîñêîëüêó óðàâíåíèå (20.18) íåëüçÿ íàïèñàòü äëÿ i = N − 1, òî âýòîì óçëå äîëæíà áûòü íàïèñàíà äðóãàÿ àïïðîêñèìàöèÿ óðàâíåíèÿ (20.1), íàïðèìåð,(20.2) ïðè i = N − 1 ñ ëþáûì σ (ëèáî σ = 1/2, ëèáî σ = 1).Çàìå÷àíèå 20.3. Ìû ðàññìîòðåëè ñëó÷àé r > 0. Åñëè r < 0, òî, ñäåëàâ â (20.1)çàìåíó íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé 1 − x = t, ïðèäåì ê óðàâíåíèþdud2 u−r= u00 + |r|u0 = 0.2dtdtÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè r < 0 â èñõîäíûõ ïåðåìåííûõ íóæíî èñïîëüçîâàòü àïïðîêñèìàöèþ, çåðêàëüíóþ ê òîé, êîòîðàÿ èñïîëüçóåòñÿ ïðè r > 0.
Èìåííî, âìåñòî ðàçíîñòèâïåðåä(ui+1 − ui )/h ðàçíîñòü íàçàä (ui − ui−1 )/h, à âìåñòî(−ui+2 + 4ui+1 − 3ui )/2h àïïðîêñèìàöèÿui−2 − 4ui−1 + 3uih.ux̄,i + ux̄x,i =22h226 20. ÑÈÍÃÓËßÐÍÎ ÂÎÇÌÓÙÅÍÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß20.3 Î ðàâíîìåðíîé ïî ε ñõîäèìîñòèÈññëåäîâàíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî êàêîé áû ìåòîä àïïðîêñèìàöèè óðàâíåíèÿ (20.1) èç÷èñëà ðàññìîòðåííûõ âûøå ìû íè èçáðàëè, â ëþáîì ñëó÷àå ïðè ôèêñèðîâàííîì Nè ε → 0 íàéäóòñÿ òàêèå óçëû ðàâíîìåðíîé ñåòêè, â êîòîðûõ ïîãðåøíîñòü ðåøåíèÿáóäåò O(1). ×òîáû îòìåòèòü ýòîò ôàêò, ãîâîðÿò, ÷òî ðàçíîñòíàÿ ñõåìà íå îáëàäàåòñâîéñòâîì ðàâíîìåðíîé ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó ñõîäèìîñòè .Îäèí èç ïóòåé îáåñïå÷åíèÿ ðàâíîìåðíîé ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó ñõîäèìîñòè èñïîëüçîâàíèå ñãóùàþùèõñÿ ñåòîê.
Îäíà èç ïðîñòåéøèõ ñåòîê, íàçûâàåìàÿ ñåòêîé Øèøêèíà, èìååò âèä© ¯Ω = xi ¯ xi = ih, i = 0, N/2, xi = xN/2 + (i − N/2)H, i = N/2 + 1, N ,ªh = δ/(N/2), H = (1 − δ)/(N/2), δ = min {c ε ln N, 1/2}èëè (ñì. ðèñ. 2)xi = x(ti ), ãäå ti = i/N, à(2δt,0 6 t 6 1/2,x(t) =1 − 2(1 − δ)(1 − t),1/2 < t 6 1åñòü êóñî÷íî-ëèíåéíîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå îòðåçêà [0, 1] íà ñåáÿ.6x1δ-1/21tÐèñ. 2Ýòà ñåòêà ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ðàâíîìåðíîé ñ øàãîì h ¿ H íà îòðåçêå [0, δ] è ñ øàãîìH íà îòðåçêå [δ, 1].20.4. ÍÅÃËÀÄÊÈÅ ÐÅØÅÍÈß227hHδÐèñ.
3Ðàâíîìåðíàÿ ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó òî÷íîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû îïðåäåëÿåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè ðàçíîñòíîé ñõåìû è âåëè÷èíîé ïàðàìåòðà c, êîòîðûéäîëæåí áûòü âûáðàí òàêèì, ÷òîáû íà äëèíå δ áûñòðî ìåíÿþùàÿñÿ ñîñòàâëÿþùàÿòî÷íîãî ðåøåíèÿ óñïåëà ïðèíÿòü ñòîëü ìàëîå çíà÷åíèå, êîòîðîå óæå íå âëèÿåò íàïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ.20.4 Íåãëàäêèå ðåøåíèÿÐàññìîòðèì ñëåäóþùåå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå1λ2− (xu0 )0 + 2 u = 0,xx0 < x < 1.(20.19)Ýòî óðàâíåíèå íå âêëàäûâàåòñÿ â òîò êëàññ óðàâíåíèé, êîòîðûé ìû äëÿ ñåáÿ âûäåëèëè. Èìåííî, êîýôôèöèåíò p(x) := x > 0, íî íå îòðåçàí îò íóëÿ ïîñòîÿííîé (íàðàññìàòðèâàåìîì îòðåçêå).
Ïîýòîìó äëÿ óðàâíåíèÿ (20.19) â òî÷êå x = 0 íåëüçÿ ñòàâèòü ïðîèçâîëüíîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå.  ñàìîì äåëå, áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ(20.19) â âèäåu(x) = xα .Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (20.19), íàõîäèì, ÷òî äëÿ óäîâëåòâîðåíèÿ óðàâíåíèÿòðåáóåòñÿ âûïîëíåíèå óñëîâèÿα 2 = λ2 ,ò.å. α = ±λ. Òåì ñàìûì, ìû íàøëè äâà ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (20.19),è åãî îáùåå ðåøåíèå åñòüu(x) = c1 xλ + c2 x−λ .(20.20)Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî λ > 0. Åñëè íàñ èíòåðåñóåò îãðàíè÷åííîå ðåøåíèå (÷òî åñòåñòâåííî ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðèëîæåíèé), òî c2 = 0 èu(x) = c1 xλ .Îòñþäà íàõîäèì, ÷òî åäèíñòâåííûì äîïóñòèìûì ãðàíè÷íûì óñëîâèåì èç ÷èñëà êëàññè÷åñêèõ ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåu(0) = 0.(20.21)228 20.
ÑÈÍÃÓËßÐÍÎ ÂÎÇÌÓÙÅÍÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß(èìåííî ýòî óñëîâèå è áóäåò âûäåëÿòü èç (20.20) îãðàíè÷åííîå ðåøåíèå). Ïðè x = 1ìîæíî ñòàâèòü ëþáîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå, íàïðèìåð,(20.22)u(1) = 1.Òîãäà ðåøåíèåì çàäà÷è (20.19), (20.21), (20.22) áóäåò ôóíêöèÿu(x) = xλ .(20.23)Åñëè 0 < λ < 1, òî óæå ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ èíòåðåñóþùåãî íàñ ðåøåíèÿ íå îãðàíè÷åíà, íå ãîâîðÿ óæå î ÷åòâåðòîé ïðîèçâîäíîé, êîòîðàÿ ôèãóðèðóåò â ïîãðåøíîñòèàïïðîêñèìàöèè. Î õîðîøåé ñõîäèìîñòè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ íà ðàâíîìåðíîé ñåòêåãîâîðèòü òðóäíî. Âûõîä èç ñîçäàâøåãîñÿ ïîëîæåíèÿ ìîæíî íàéòè íà ïóòè èñïîëüçîâàíèÿ ñïåöèàëüíîé ñãóùàþùåéñÿ ê òî÷êå x = 0 ñåòêè.
Êàê ýòó ñåòêó ïîñòðîèòü? Ïóñòüx = x(t) åñòü îòîáðàæåíèå îòðåçêà [0, 1] íà ñåáÿ. Äëÿ t ∈ [0, 1] ââåäåì ðàâíîìåðíóþñåòêó ñ øàãîì h = 1/N . Òîãäàxi = x(ti )áóäåò çàäàâàòü óçëû íåðàâíîìåðíîé ñåòêè ïî x. Íà ýòîé íåðàâíîìåðíîé ñåòêå6x1xi-tiÐèñ. 4è àïïðîêñèìèðóåì óðàâíåíèå (20.19). Ïóñòühi = xi − xi−1 ,~i = (hi + hi+1 )/2.1t20.4. ÍÅÃËÀÄÊÈÅ ÐÅØÅÍÈß229Òîãäà, èñïîëüçóÿ, íàïðèìåð, ìåòîä áàëàíñà (ñì.
§ 7), äëÿ óðàâíåíèÿ (20.19) ïîëó÷èìñëåäóþùóþ àïïðîêñèìàöèþµ¶uhi+1 − uhiuhi − uhi−1λ21 1xi+1/2− xi−1/2− 2 uhi = 0.(20.24)xi ~ ihi+1hixiÈññëåäóåì ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ýòîé ðàçíîñòíîé ñõåìû íà íåðàâíîìåðíîéñåòêå. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Òåéëîðà, áóäåì èìåòü¤ 11 1 £xi+1/2 ux,i − xi−1/2 ux̄,i − (xu0 )0i =xi ~ ixi·µ¶µ¶h2i+1 000 h3i+1 IV1 1hi+1hi+1 000=xi +ui +−u +u +ũxi ~i22 i6 i24 iµ¶µ¶¸hihi 00 h2i 000 h3i ˜IV10− xi −ui − ui + ui − ũi− (xu0 )0i =22624xi¶µ¶·µh4xi IV1 1xi 000 1 001 00032=ui + ui + hi+1ũi + ui + i+1 ũIV−hi+1xi ~i64241248 iµ¶µ¶¸xi 000 1 00xi ˜IV1 000h4i ˜IV23− hiu + ui + hiũ + ui − ũi=6 i424 i1248µ¶µ¶h2i+1 − h2i 1 000 1 u00ih3i+1 1 IV1 u000iu +ũ +=++~i6 i4 xi~i24 i12 xiµ¶1 ˜IV1 u0001 h4i+1 ũIV1 h4i ũ˜IVh3iiiiũi ++−.+~i 2412 xi48 ~i xi48 ~i xiΨi =(20.25)Ïîäñòàâèì ñþäà èñòèííîå çíà÷åíèå u(x) èç (20.23) è îöåíèì âêëàä â ïîãðåøíîñòüðåøåíèÿ òèïè÷íîé ñîñòàâëÿþùåé ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè◦ψ i = c(xi )h2i xλ−4.iÝòà ñîñòàâëÿþùàÿ ïðåäñòàâëåíà â ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè (20.25) âòîðûì è òðå◦òüèì ñëàãàåìûìè.
Ñîñòàâëÿþùóþ ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ, îòâå÷àþùóþ ψ i , îáîçíà÷èì◦÷åðåç z i . Äëÿ íåå èìååì óðàâíåíèåÃ!◦◦◦◦1 1z i+1 − z iz i − z i−1λ2 ◦−xi+1/2− xi−1/2+ 2 z i = c(xi )h2i xλ−4.ixi ~ ihi+1hixi◦Êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 19.1 äëÿ ìàêñèìóìà |z i | ïîëó÷àåì îöåíêó◦max |z i | 6 maxiic(xi )h2i xλ−2i.λ2(20.26)Èç ýòîé îöåíêè ñëåäóåò, ÷òî, åñëè λ > 2, òî íèêàêèõ ïðîáëåì íåò, èáî â ýòîì ñëó÷àåâûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ïðàâîé ÷àñòè ïîä çíàêîì max, èìååò ðàâíîìåðíóþ ïî xi ìàëîñòü230 20. ÑÈÍÃÓËßÐÍÎ ÂÎÇÌÓÙÅÍÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßO(h2i ), è ñåòêó ìîæíî áðàòü ðàâíîìåðíîé.
Åñëè æå λ < 2, òî ðàâíîìåðíîé ïî xi ìàëîñòèO(h2i ) óêàçàííîãî âûðàæåíèÿ íå ãàðàíòèðóåòñÿ, åñëè ñåòêà íå âûáðàíà íàäëåæàùèìîáðàçîì. Ïîñêîëüêó c(xi ) èç ïðàâîé ÷àñòè (20.26) ìåíÿåòñÿ ìàëî, âûáåðåì ñåòêó ïðèλ < 2 òàê, ÷òîáûh2i xλ−2≈ const.iÒàê êàêhi = xi − xi−1 = N −1 x0 (t∗i ),òî(20.27)2.= N −2 x0 (t∗i )xλ−2h2i xλ−2iiÏóñòü2x0 xλ−2 = c,ãäå c íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, èëèx0 xλ/2−1 =√c = c1 .Èíòåãðèðóÿ ýòî óðàâíåíèå, íàõîäèì, ÷òîxλ/2 = c1 t + c2 ,èëèx = (c1 t + c2 )2/λ .Òàê êàê x(0) = 0, à x(1) = 1, òî c2 = 0, à c1 = 1. Òåì ñàìûì,è, ñëåäîâàòåëüíî,x = t2/λ ,(20.28)xi = (i/N )2/λ .(20.29)Åñëè óçëû ñåòêè áóäóò çàäàíû ïî çàêîíó (20.29), òî, â ñèëó (20.27), (20.28) ïðè λ < 22/λ−1hi = 2N −1 t̃i/λ,è âåëè÷èíû øàãîâ ñåòêè óìåíüøàþòñÿ ïðè ïðèáëèæåíèè ê ãðàíèöå x = 0, ò.å. ïîñòðîåííàÿ ñåòêà ÿâëÿåòñÿ ñãóùàþùåéñÿ â îêðåñòíîñòè x = 0.
Åñëè i ∼ N , òî hi ∼ cN −1 , àåñëè i = 1, òî2h1 = N −2/λ (λ < 2).λÏðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ñêàçàííîå, à òàêæå (20.23), (20.28) è (20.26), ëåãêî ïðîâåðèòü,÷òî âêëàä ïîñëåäíèõ ÷åòûðåõ ñëàãàåìûõ ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè (20.25) â ïîãðåøíîñòü ðåøåíèÿ ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé O(N −2 ).Îáðàòèìñÿ ê ïåðâîìó ñëàãàåìîìó ïðàâîé ÷àñòè (20.25).
Èñïîëüçóÿ, íàïðèìåð, ôîðìóëó Òåéëîðà, íàõîäèì, ÷òîh2i+1 − h2i= 2(hi+1 − hi ) = 2(xi+1 − 2xi + xi−1 ) = 2N −2 x00i (t∗ ).~i20.4. ÍÅÃËÀÄÊÈÅ ÐÅØÅÍÈß231Ñíîâà ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (20.23), (20.28) è (20.26), çàêëþ÷àåì, ÷òî âêëàä è ïåðâîãîñëàãàåìîãî ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè (20.25) â ïîãðåøíîñòü ðåøåíèÿ îöåíèâàåòñÿâåëè÷èíîé O(N −2 ).232 20. ÑÈÍÃÓËßÐÍÎ ÂÎÇÌÓÙÅÍÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßÃëàâà VI×èñëåííûå ìåòîäû äëÿäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè233 21Ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ óðàâíåíèÿòåïëîïðîâîäíîñòè21.1 Íåñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòèÍåñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ÿâëÿåò ñîáîé ïðîñòåéøèé ïðèìåð ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè.
Âîçüìåì åãî â âèäå∂u∂2u=+ f (x, t),0 < x < 1, 0 < t 6 T.(21.1)∂t∂x2×òîáû âûäåëèòü åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (21.1), íóæíî çàäàòü äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ. Òàêîâûìè ìîãóò áûòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, çàäàâàåìûå ïðè x = 0 è x = 1,è íà÷àëüíîå óñëîâèå, çàäàâàåìîå ïðè t = 0. Ïóñòü, íàïðèìåð, ãðàíè÷íûå óñëîâèÿèìåþò âèäu(0, t) = u(1, t) = 0,(21.2)à íà÷àëüíîå óñëîâèå u(x, 0) = ϕ(x).(21.3)Êàê èçâåñòíî èç êóðñà ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, çàäà÷à (21.1)-(21.3) ïîñòàâëåíà êîððåêòíî è ïðè íàäëåæàùåé ãëàäêîñòè f (x, t) è ϕ(x) èìååò åäèíñòâåííîåðåøåíèå.Ïîñìîòðèì íà óðàâíåíèå (21.1) ñ òî÷êè çðåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ îáûêíîâåííûõäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
Äëÿ ýòîãî îáîçíà÷èì ∂u/∂t = u̇ è ïåðåïèøåì (21.1) ââèäå∂ 2u(21.4)− 2 = f (x, t) − u̇ ≡ F(x, t).∂xÑ÷èòàÿ F(x, t) â (21.4) çàäàííîé ôóíêöèåé, à t ïàðàìåòðîì, ìû ìîæåì óñëîâíî ðàññìàòðèâàòü (21.4) êàê îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, àïïðîêñèìàöèþêîòîðîãî ìû ñòðîèòü óìååì. Íà [0, 1] ââåäåì ñåòê󯩪ω̄ h = x = xi = ih ¯ i = 0, . . . , N235236 21. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÑÕÅÌÛ ÄËß ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÒÅÏËÎÏÐÎÂÎÄÍÎÑÒÈñ âíóòðåííèìè óçëàì诪©ω h = xi ∈ ω̄ h ¯ i = 1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
