Лекции Капустина (2006) (1159955)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

§5 Пространство Lp

Пусть E - измеримое множество, число p 1

Определение 1. Множество всех измеримых на E функций f(x), для которых функции

суммируемы на E, называется пространством Lp(E).

Норма в пространстве Lp(E) вводится по формуле .

Если , то f(x) ~ 0, поэтому в этом пространстве элементы считаются равными, если они эквивалентны. Остается проверить аксиому треугольника для таким образом введенной нормы. В случаи = 1 это очевидно, в случаи p > 1 сначала докажем неравенство Гельдера, а затем неравенство Минковского.

Если p > 1, число q связано с числом p по формуле

, то функция f(x)g(x) суммируема на E и справедливо неравенство Гельдера. .

Для доказательства введем в рассмотрение на множестве x > 0 функцию . Производная функции больше нуля при и меньше нуля при x > 1. Следовательно, функция достигает максимума при x = 1. Запишем неравенство в виде и положим , где . Получим соотношение , справедливо для всех чисел . Если , то ; В результате выведем неравенство Юнга .

В случаях f(x) ~ 0 или g(x) ~ 0 неравенство Гельдера очевидно. Пусть f(x) 0, g(x) 0, положим . В результате неравенство Юнга примет вид .

Правая часть соотношения суммируема на множестве E, поэтому в силу мажорантного признака суммируема на E и левая часть, то есть функция f(x)g(x). Интеграл от функции, стоящий в скобках в правой части, равен единице. В итоге неравенство Гельдера доказано.

Если , то функция суммируема на множестве E и справедливо неравенство Минковского .

Суммируемость функций вытекает из очевидного неравенства , справедливо для любых чисел a и b. Также мы отметили справедливость неравенства Минковского при p = 1. Проведем доказательство для случая p > 1, воспользуемся неравенством Гельдера.

Если , то

Запищим сначала неравенство Гельдера, заменив функцию g(x) на ,

, а затем f(x) на g(x),а g(x) снова на ,

Используя выведенные соотношения в следующей цепочке неравенств

Учитывая равенство , из выведенной оценки получим неравенство Минковского, которое и подтверждает справедливость аксиомы треугольника в пространстве Lp(E)

Последовательность { } элементов нормированного пространства называется фундаментальной, если числовая последовательность стремится к нулю при . Последовательность { } элементов нормированного пространства называется сходящейся, если в этом пространстве существует элемент а такой, что .

Определение 2. Нормированное пространство называется полным(банаховым), ели любая

фундаментальная последовательность в этом пространстве является сходящийся.

Теорема 1. Пространство Lp(E), , является полным(банаховым)

пространством.

Доказательство. Пусть - произвольная фундаментальная последовательность в Lp(E). Для любого натурального числа k существует номер такой, что для всех выполняется неравенство . Можно считать, что , тогда . В силу неравенства Гельдера:

.

Из этого соответствия следует оценка

, которая по теореме 8(Б.Леви) из §4 гарантирует сходимость почти всюду на E ряду и тем более ряда

. Но это означает, что какая то частичная сумма этого ряда, равна сходится почти всюду на E к некоторой функции f(x). Далее, для любы существует номер N такой, что для всех номеров выполняется неравенство , а поскольку последовательность сходится почти всюду на E к функции при , то по теореме 9(Фату) из §4 и выполняется неравенство для всех . Отсюда в силу неравенства Минковского следует принадлежность функции f(x) пространству Lp(E) и сходимость последовательности { (x)} к функции f(x) в метрике Lp(E). Теорема доказана.

Измеримая функция F(x) на измеримом множестве E называется простой, если она принимает f(x) = , если , причем может быть равным . Характеристической функцией множества E называется функция .

Очевидно, что всякая простая функция f(x) имеет вид ,причем в этой сумме при каждом x отличном от нуля лишь одно слагаемое. Ясно, что функция измерима тогда и только тогда, когда множество E-измеримо.

Лемма 1. Для любой на измеримом множестве E неотрицательной f(x) существует неубывающая последовательность простых неотрицательных функций таких, что в каждой точке x множества E, причем сходимость равномерная на множестве конечных значений функции f(x).

Доказательство. Введем в рассмотрение множество ,

n = 1,2,…, k =0,1,2,…, . Ясно, что при любом натуральном n множество E представимо в виде объединения попарно не пересекающихся множеств . Определим следующим образом: , если , если на . При переходе от n к (n+1) множество , так как . На множестве выполняется равенство , а на . Кроме этого справедливо соответствие для всех точек . Лемма доказана.

Следствие. Последовательность , в которой функции определяются по формуле обладает свойством: для любой точки , , по равномерной сходимости на может и не быть.

Теорема 2. Пусть E-ограниченное измеримое множество, . Тогда пространство непрерывных на E функций С(E) плотно в Lp(E).

Доказательство. Необходимо доказать, что для любой функции и для любого числа найдется непрерывная на E функция такая, что . Так как , то теорему достаточно доказать для случая . Принадлежность f(x) классу Lp(E) означает, что функция f(x) почти всюду конечна на E и множеством можно пренебречь. В силу следствия к лемме 1 существует неубывающая последовательность простых неотрицательных функций превращающих каждое число значение такое, что . Поэтому согласно теореме 8(Б. Леви) из §4 для любого найдется номер N такой, что для всех выполняется равенство . Таким образом достаточно установить существование функции удовлетворяющий для любого неравенству

, для -произвольная простая функция, принимающая конечное число значений.

Для каждого множества существует, содержащийся в нем замкнутое множества , и такое, что , где -любое положительное число. При этом выполняется соотношение . Обозначим через -функцию расстояния от точки до множества . Ясно, что функция является непрерывной на E. Характеристическую функцию множества можно представить в виде где . Последовательность не возрастает с номером n, причем справедливо соотношение , и в силу теоремы 8(Б. Леви) из §4 будет выполнятся неравенство , если n - велико. Заметим, что все непрерывны на E и даже во всем .

Далее, определим функцию справедливо цепочка неравенств: , поэтому достаточно выбрать из неравенства . Теорема доказана.

Теорема 3. (Непрерывность в метрике Lp). Пусть E - ограниченное измеримое множеств, . Тогда любая функция непрерывна в метрике Lp, то есть для любого найдется число такое, что справедливо неравенство , ели , а функция f(x) считается продолженной нулем на все пространство .

Доказательство.

Пусть множество E содержится в шаре радиуса R с центром в точке x = 0. обозначим и воспользуемся теоремой 2.Тогда для любого существует и даже по замечанию в тексте доказательства такая, что . Пусть ,тогда при тоже и справедлива цепочка неравенств: . Неравенство при достаточно малых значениях h имеет место в силу равномерной непрерывности непрерывной на функции . Теорема доказана.

§6 Метрические и нормированные пространства.

Определение 1. Множество M называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов x и y поставлены в соответствия неотрицательное число , удовлетворяющее условиям:

1) = 0 тогда и только тогда, когда x = y(аксиома тождества);

2) = (аксиома симметрии);

3) (аксиома треугольника).

Число называется расстоянием между элементами x и y, а перечисленные три условия - аксиомами метрики. Любое множество можно сделать метрическим пространством, если ввести метрику по закону: = 0, если x = y, = 1, если .

Определение 2. последовательность элементов метрического множества M называется фундаментальной, если = 0. Последовательность элементов метрического множества M называется сходящейся, если существует и такой, что = 0. Если последовательность точек множества пространства M сходится к точке , то и любая подпоследовательность последовательности сходится к этой же точке. Фиксируем произвольное число . Ели для , то и для .

Последовательность точек метрического пространства M может сходиться не более, чем к одному пределу. Пусть , . Тогда

при любом для достаточно больших номеров n, но это возможно лишь в случае = 0, то есть x = y.

Если последовательность точек из метрического пространства M сходится к точке , то эта последовательность ограничена в том смысле, что числа ограничены для любой фиксированной точки из M. Действительно, по аксиоме треугольника для любого номера n имеем

,

ибо последовательность ограничена как сходящаяся числовая последовательность и, следовательно, числа не превосходят постоянной a.

Назовем шаром B(a,r) (замкнутым шаром ) с центром в точке и радиусом r совокупность точек x метрического пространства M, удовлетворяющих неравенству ( ). Окрестностью точки x назовем любой шар с центром в этой точке. Множество, лежащее целиком внутри некоторого шара, называется ограниченным.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций