Лекции Капустина (2006) (1159955), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Введём понятие сопряжённого оператора . Пусть А – линейный оператор, действующий из линейного нормированного пространства Х в линейное нормированное пространство Y, или y=Ax. Если - любой линейный функционал, определённый на Х: . Таким образом любому линейному функционалу ставится в соответствие линейный функционал , то есть построен оператор, определённый на со значениями в . Этот оператор обозначим и назовём сопряжённым: . Если записать значение функционала , то можно написать . Легко проверяется свойство сопряжённого оператора: если А и В – линейные ограниченные операторы, то .

Теорема 1. Пусть . Тогда существует , то есть - линейный ограниченный оператор, причём .

Доказательство. Из определения оператора следует цепочка соотношений , откуда сначала следует неравенство , а затем оценка . Далее, пусть - любой элемент пространства Х. По первому следствию из теоремы Хана-Банаха существует линейный функционал такой, что и . Тогда . Отсюда в силу произвольности элемента получаем оценку , а, затем, и равенство . Теорема доказана.

Оператор сопряжён к линейному непрерывному оператору , действующему в гильбертовом пространстве Н, если для любых элементов выполняется равенство .

В пространстве рассмотрим оператор , где , где . Произвольный линейный функционал , действующий в , имеет вид , где - однозначно определяется по . Поэтому , где , то есть . Переход к сопряженному оператору означает переход к транспонированному ядру, другими словами у переставляются аргументы.

Пусть . Обозначим - образ оператора А,

- ядро оператора А. Если А – ограничен, то - подпространство.

Теорема 2. Если , - гильбертово пространство, то .

Доказательство. Так как - подпространство, то . По теореме 1 существует линейный ограниченный оператор . Покажем, что . Если , то и для любого справедливо равенство , то есть , при . Отсюда следует, что , а потому . Обратно , следовательно, , или даже . Значит для всех и из . Но , или полагая , получим , , то есть Теорема доказана.

§12. Вполне непрерывные операторы.

Определение 1. Множество линейного нормированного пространства называется компактным, если любая последовательность его элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.

Очевидными являются следующие факты: компактное множество ограничено, любое ограниченное множество в конечномерном пространстве является компактным, единичная сфера в бесконечномерном пространстве – множество ограниченное, но не компактное ( из последовательности, состоящей из элементов ортонормированного базиса, нельзя выделить сходящейся подпоследовательности).

Определение 2. Линейный оператор , действующий из линейного нормированного пространства в линейное нормированное пространство , называется вполне непрерывным (компактным), если он всякое ограниченное множество переводит в компактное.

Любой ограниченный оператор переводит ограниченное множество в ограниченное и компактное в компактное. Вполне непрерывный оператор является ограниченным, а любой ограниченный оператор в конечномерном пространстве – компактным. В бесконечномерном пространстве единичный (тождественный) оператор – ограничен, но не компактен.

Пусть - ограниченное замкнутое множество в , - множество непрерывных на У функций.

Теорема 1 (критерий компактности в ). Для того, чтобы множество было компактным в необходимо и достаточно выполнение условий:

1. множество - равномерно ограничено в , то есть существует постоянная такая, что для любой функции ;

2. множество - равностепенно непрерывно в , то есть для любого найдётся и такое, что как только , , будет выполняться неравенство для любой функции .

Теорема 2 (критерий компактности в ). Для того чтобы множество , , , было компактно в необходимо и достаточно, чтобы это множество было равномерно ограничено в и равностепенно непрерывно в .

Пусть , , где - непрерывная функция на квадрате . Покажем, что - вполне непрерывный оператор. 1) Если , то , где . 2) По теореме Кантора любая непрерывная на замкнутом ограниченном множестве в функция является равномерно непрерывной. Потому для любого найдётся такой, что как только , то будет выполняться неравенство для всех и . Следовательно, . Условия теоремы 1 выполнены.

Пусть , , , где . Тогда также вполне непрерывный оператор. Следует использовать теорему 2, неравенство Коши-Буняковского и теорему непрерывности в метрике .

§14. Элементы спектральной теории.

Пусть X – банахово пространство над полем комплексных чисел. Оператор , то есть линейный ограниченный оператор, действующий из X в X.

Определение 1. Резольвентное множество оператора A есть множество комплексных чисел , для которых существует - ограниченный оператор, определенный на всем X. Спектром оператора A называется дополнение к множеству на комплексной плоскости, то есть .

Определение 2. Операторнозначная функция , определенная на множестве , называется резольвентой оператора A, а называется регулярным значением оператора A.

Таким образом, - регулярно, если:

1. ;

2. ;

3. .

В конечномерном пространстве либо , то есть - собственное значение, либо - регулярное значение. В бесконечномерном пространстве возможно, что , но обратный оператор действует не на всем пространстве, так как в случае по теореме Банаха мы имели бы существование ограниченного оператора . Кроме того, при несовпадении образа оператора и пространства X оператор может быть и неограничен.

Рассмотрим в качестве примера оператор , действующий в пространстве . Из равенства следует для любого , то есть . Обратный оператор задается равенством и, очевидно, действует не на всем пространстве при . Таким образом, спектр этого оператора равен отрезку .

Определение 3. Комплексное число называется собственным значением оператора A, если , а любой не равный нулю элемент называется собственным элементом, отвечающим собственному значению .

Теорема 1. Резольвентное множество - открыто.

Доказательство. Пусть - фиксированное число из , а - любое комплексное число такое, что . Покажем, что . Введем в рассмотрение оператор .

Так как по условию , то ряд сходится сильно (по норме в ). Далее, , то есть - ограниченный оператор и . Теорема доказана.

Следствие. Спектр - замкнут.

Теорема 2. Пусть X - банахово бесконечномерное пространство и A – вполне непрерывный оператор в нем. Тогда , то есть не является регулярным значением.

Если бы , то оператор A имел бы ограниченный обратный оператор и оператор являлся вполне непрерывным, что невозможно.

Теорема 3 (теорема Гильберта-Шмидта). Пусть - вполне непрерывный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Тогда любой элемент представим в виде ряда Фурье

по собственным элементам оператора A, образующим ортонормированную систему.

Замечание. Для всякого самосопряженного вполне непрерывного оператора A в сепарабельном гильбертовом пространстве H существует ортонормированный базис пространства H, состоящий из собственных векторов этого оператора. Для этого достаточно систему из теоремы 3 дополнить произвольным ортонормированным базисом из .

Характеристики

Список файлов лекций