Лекции Капустина (2006) (1159955), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Определение 2. Оператор A:X Y непрерывен в точке
X если для любой последовательности
, сходящейся к соответствующая последовательность образов
сходится к элементу А
, то есть для любого
существует
и такое, что как только выполняется неравенство
будет выполняться неравенство
Теорема 1. Линейный оператор А непрерывен на всем пространстве Х тогда и только тогда, когда А – непрерывен в одной точке
X.
Доказательство. Действительно, пусть x X – любая точка и
. Тогда
и в виду непрерывности А в точке
: А
=
=
, то есть
.
Примеры:
1) А=0 или А=I (тождественный оператор) линейные непрерывные операторы.
Оператор А, действует из Х на числовую прямую R1 по закону Ах(t) = x(0). Рассмотрим непрерывность А в нуле , или
при
.
Тогда , так как
означает равномерную сходимость к нулю по t
[0,1]. Следовательно, оператор А – непрерывен.
3)Пусть теперь норма для оператора А из пункта 2) вводится по формуле . Рассмотрим последовательность
, которая вычисляется по формуле
, t
;
=0, t
. В этом случае
, при
. Но
не стремится к 0, то есть оператор А не является непрерывным.
Определение 3. Оператор А называется ограниченным, если существует постоянная М такая, что оценка выполняется для всех x
X.
Ограниченный оператор переводит ограниченное множество пространства X в ограниченное множество пространства Y.
Теорема 2. Для того чтобы линейный оператор А был непрерывен необходимо и достаточно, чтобы А был ограничен.
Необходимость. Пусть А – непрерывен, предположим А – неограничен. Тогда существует последовательность , для членов которой выполняется неравенство
. Положим
,
,так как
. Но
, то есть
не стремиться к A0 = 0. Следовательно, оператор А не является непрерывным.
Достаточность. Пусть А – ограничен, то есть . Если
, или
при
, то из неравенства
следует
, значит А – непрерывен.
Определение 4. Наименьшая из постоянных М, удовлетворяющих условию для линейного ограниченного оператора А называется нормой оператора А и обозначается
. Другими словами
.
Покажем, что норму линейного ограниченного оператора А можно вычислить по формуле . Действительно, если
, то
и
. Но для любого
существует
такой, что
. Положим
, тогда
, а так как
, то
. Из этой оценки в силу произвольности
вытекает неравенство
.
Совокупность всех линейных ограниченных операторов, отображающих линейное нормированное пространство Х в линейное нормированное пространство Y, образует линейное пространство . Если А и В – линейные ограниченные операторы, то равенство
определяет сумму операторов, а
- умножение оператора на число. Нулем этого пространства является оператор 0x=0 для любого х
Х. В
можно ввести норму
:
1) если , то
для любого х
Х, то есть A=0;
Таким образом – линейное нормированное пространство.
Если линейный ограниченный оператор действует из линейного нормированного пространства Х на числовую прямую , то такой оператор называется линейным функционалом
. Совокупность всех линейных функционалов, действующих из Х называется сопряженным пространством к Х и обозначается
. Норма функционала вычисляется по формуле
.
Теорема 3. Если Х – линейное нормированное пространство, а Y – банахово пространство (полное линейное нормированное пространство), то пространство также будет полным, то есть банаховым.
Доказательство. Пусть последовательность операторов фундаментальна в L(X
Y),
, n,
, следовательно,
, n,
,а, значит последовательность
фундаментальная, то есть ограниченная:
для всех номеров n. Отсюда
и
, что и означает ограниченность оператора А. Докажем формулу
в смысле
. Действительно, для любого
существует
такой, что при всех
и любом натуральном p для всех х
Х,
, выполняется неравенство
, переходя пределе при
, получим
для любого
и любого х
Х,
. Но тогда
, то есть
в смысле сходимости по норме пространства L(X
Y). Теорема доказана.
Следствие. Пространство , сопряженное к линейному нормированному пространству
- банахово, так как
- банахово пространство.
Теорема 4 (теорема Банаха-Штейнгауза – принцип равномерной ограниченности). Пусть Х и Y – банаховы пространства. Если и последовательность
ограничена для любого, то найдется постоянная С такая, что
, то есть числовая последовательность
ограничена.
Доказательство. Предположим, что последовательность неограниченна, тогда множество
неограниченно на любом замкнутом шаре
,
,
. В самом деле, если бы неравенство
выполнялось для всех номеров
и всех
, то, взяв, любой элемент
, мы получим элемент
. Для этого элемента
, или
, следовательно,
и
, что противоречит предложению.
Если теперь - любой замкнутый шар, то на нем множество
неограниченно. Тогда существуют номер
и элемент
такие, что
. В силу непрерывности оператора
неравенство
выполняется и в некотором шаре
. На
множество
также неограниченно и существуют номер
и элемент
такие, что
и по непрерывности оператора
это неравенство выполнено в некотором замкнутом шаре
и так далее. Можно считать, что
и
. Тогда по теореме о вложенных шарах из §6 существует единственная точка
для всех номеров
. В этой точке
, что противоречит условию теоремы. Теорема доказана.
Следствие. Пусть Х и Y – банаховы пространства, , существует последовательность
такая, что
и
. Тогда существует
,
и
.
Пусть это не так, то есть для всех ,
последовательность
ограничена. Если
то
имеет норму
и
. Значит, последовательность
ограниченна для любого
и по теореме 4 существует постоянная С такая, что
, но и
, что противоречит стремлению последовательности
к
.
Приведем пример применения теоремы 4 в теории рядов Фурье. Мы докажем существование непрерывной периодической функции, для которой ряд Фурье расходиться.
Преобразуем частичную сумму ряда Фурье
Положим х=0 и ;
непрерывная на
функция, если ее доопределить нулем в точке.
Таким образом, ,
при
. Рассмотрим оператор
- линейный оператор из пространства
,
в пространстве
, ставящий с точностью до
в соответствие
ее частичную сумму ряда Фурье в точке
. Пусть
,
,
так как интеграл
сходится по признаку Дирихле-Абеля. Итак,
при
и согласно следствию к теореме 4 существует
,
для которой ряд Фурье расходится в точке
.
§8 Обратный оператор.
Пусть оператор А действует из множества Х на множество Y, - область значений оператора А. Если для любого элемента y
R(A) уравнение Ax = y имеет единственное решение, то говорят, что оператор А имеет обратный оператор А
, то есть х = А
y. Очевидно, что х = А
Ах и y = АА
y, или операторы I
= А
А, I
= АА
- тождественные операторы в Х и Y. Если А – линейный оператор, то и А
- линейный оператор. Пусть
х = А (
y
+
y
) -
А
y
-
А
y
, тогда
Ах = АА (
y
+
y
) -
АА
y
-
АА
y
=
y
+
y
-
y
-
y
= 0, и поэтому х = А
(Ах) = 0.
Теорема 1. Пусть А – линейный оператор, действующий из линейного нормированного пространства Х в линейное нормированное пространство Y, причем существует постоянная m>0 такая, что ||Ах|| m||x|| для всех х из Х.
Тогда существует А - линейный ограниченный оператор.
Доказательство. Прежде всего докажем, что уравнение Ах = y, y R(A), имеет единственное решение. Предположим, их два: х
и х
: Ах
= y, Ах
= y, тогда А(х
- х
) = 0 и m||х
- х
||
||A(х
- х
)|| = 0. Значит, х
= х
и существует А
- линейный оператор. Этот оператор ограничен, ибо
||А y||
||AА
y|| =
||y|| для всех y
Y.
Теорема 2 (Теорема Неймана). Пусть А – линейный ограниченный оператор, отображающий банахово пространство Х на себя и ||A|| q < 1. Тогда оператор I-A имеет обратный линейный ограниченный оператор (I-А)
.
Доказательство. Определим степени оператора А:
А = А(А
), k = 1,2,3,…, А
= I – тождественный оператор. Ясно, что
||А ||
||A||
q
. Далее
=
, пространство L(X
X) – банахово, значит сумма
представляет собой линейный ограниченный оператор. Для любого натурального числа n имеют место соотношения
(I-A) =
=
= I - A
, причем I - A
I при n
, ибо
||A ||
||A||
0. Следовательно, (I-A)
= I, то есть (I-A)
=
, причем
Замечание. Пусть А, В L(X
X). Тогда определен оператор АВ
L(X
X) по формуле АВх = А(Вх), причем ||AB||
||A|| ||B||. Действительно,
||ABx|| ||A|| ||Bx||
||A|| ||B|| ||x|| для любого х
Х.
Теорема 3. Пусть оператор А L(X
X), где Х – банахово пространство, имеет обратный оператор А
и существует линейный ограниченный оператор
А такой, что ||
А||<
. Тогда оператор В = А +
А, то есть возмущение оператора А, имеет обратный оператор В
, причем ||B
- А
||
.
Доказательство. Представим оператор В в виде А + А = А(I + А
А) и так как по условию ||A
A||
||A
|| ||
A|| < 1, то оператор I + A
A имеет по теореме Неймана обратный оператор (I + A
A)
. Произведение
(I + A
A)
А
является обратным оператором к оператору В и
||B - A
|| = ||(I + A
A)
А
- A
||
||(I + A
A)
- I|| ||A
||
=
. Теорема доказана.