Главная » Просмотр файлов » Лекции Капустина (2006)

Лекции Капустина (2006) (1159955), страница 3

Файл №1159955 Лекции Капустина (2006) (Лекции Капустина (2006)) 3 страницаЛекции Капустина (2006) (1159955) страница 32019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

б) А(λ )= λА

Определение 2. Оператор A:X Y непрерывен в точке X если для любой последовательности , сходящейся к соответствующая последовательность образов сходится к элементу А , то есть для любого существует и такое, что как только выполняется неравенство будет выполняться неравенство

Теорема 1. Линейный оператор А непрерывен на всем пространстве Х тогда и только тогда, когда А – непрерывен в одной точке X.

Доказательство. Действительно, пусть x X – любая точка и . Тогда

и в виду непрерывности А в точке : А = = , то есть .

Примеры:

1) А=0 или А=I (тождественный оператор) линейные непрерывные операторы.

2) X=C[0,1], ,

Оператор А, действует из Х на числовую прямую R1 по закону Ах(t) = x(0). Рассмотрим непрерывность А в нуле , или при .

Тогда , так как означает равномерную сходимость к нулю по t [0,1]. Следовательно, оператор А – непрерывен.

3)Пусть теперь норма для оператора А из пункта 2) вводится по формуле . Рассмотрим последовательность , которая вычисляется по формуле , t ; =0, t . В этом случае , при . Но не стремится к 0, то есть оператор А не является непрерывным.

Определение 3. Оператор А называется ограниченным, если существует постоянная М такая, что оценка выполняется для всех x X.

Ограниченный оператор переводит ограниченное множество пространства X в ограниченное множество пространства Y.

Теорема 2. Для того чтобы линейный оператор А был непрерывен необходимо и достаточно, чтобы А был ограничен.

Необходимость. Пусть А – непрерывен, предположим А – неограничен. Тогда существует последовательность , для членов которой выполняется неравенство . Положим , ,так как . Но , то есть не стремиться к A0 = 0. Следовательно, оператор А не является непрерывным.

Достаточность. Пусть А – ограничен, то есть . Если , или при , то из неравенства следует , значит А – непрерывен.

Определение 4. Наименьшая из постоянных М, удовлетворяющих условию для линейного ограниченного оператора А называется нормой оператора А и обозначается . Другими словами .

Покажем, что норму линейного ограниченного оператора А можно вычислить по формуле . Действительно, если , то и . Но для любого существует такой, что . Положим , тогда , а так как , то . Из этой оценки в силу произвольности вытекает неравенство .

Совокупность всех линейных ограниченных операторов, отображающих линейное нормированное пространство Х в линейное нормированное пространство Y, образует линейное пространство . Если А и В – линейные ограниченные операторы, то равенство определяет сумму операторов, а - умножение оператора на число. Нулем этого пространства является оператор 0x=0 для любого х Х. В можно ввести норму :

1) если , то для любого х Х, то есть A=0;

2) ;

3)

Таким образом – линейное нормированное пространство.

Если линейный ограниченный оператор действует из линейного нормированного пространства Х на числовую прямую , то такой оператор называется линейным функционалом . Совокупность всех линейных функционалов, действующих из Х называется сопряженным пространством к Х и обозначается . Норма функционала вычисляется по формуле .

Теорема 3. Если Х – линейное нормированное пространство, а Y – банахово пространство (полное линейное нормированное пространство), то пространство также будет полным, то есть банаховым.

Доказательство. Пусть последовательность операторов фундаментальна в L(X Y), , n, , следовательно, , n, ,а, значит последовательность фундаментальная, то есть ограниченная: для всех номеров n. Отсюда и , что и означает ограниченность оператора А. Докажем формулу в смысле . Действительно, для любого существует такой, что при всех и любом натуральном p для всех х Х, , выполняется неравенство , переходя пределе при , получим для любого и любого х Х, . Но тогда , то есть в смысле сходимости по норме пространства L(X Y). Теорема доказана.

Следствие. Пространство , сопряженное к линейному нормированному пространству - банахово, так как - банахово пространство.

Теорема 4 (теорема Банаха-Штейнгауза – принцип равномерной ограниченности). Пусть Х и Y – банаховы пространства. Если и последовательность ограничена для любого, то найдется постоянная С такая, что , то есть числовая последовательность ограничена.

Доказательство. Предположим, что последовательность неограниченна, тогда множество неограниченно на любом замкнутом шаре , , . В самом деле, если бы неравенство выполнялось для всех номеров и всех , то, взяв, любой элемент , мы получим элемент . Для этого элемента , или , следовательно, и , что противоречит предложению.

Если теперь - любой замкнутый шар, то на нем множество неограниченно. Тогда существуют номер и элемент такие, что . В силу непрерывности оператора неравенство выполняется и в некотором шаре . На множество также неограниченно и существуют номер и элемент такие, что и по непрерывности оператора это неравенство выполнено в некотором замкнутом шаре и так далее. Можно считать, что и . Тогда по теореме о вложенных шарах из §6 существует единственная точка для всех номеров . В этой точке , что противоречит условию теоремы. Теорема доказана.

Следствие. Пусть Х и Y – банаховы пространства, , существует последовательность такая, что и . Тогда существует , и .

Пусть это не так, то есть для всех , последовательность ограничена. Если то имеет норму и . Значит, последовательность ограниченна для любого и по теореме 4 существует постоянная С такая, что , но и , что противоречит стремлению последовательности к .

Приведем пример применения теоремы 4 в теории рядов Фурье. Мы докажем существование непрерывной периодической функции, для которой ряд Фурье расходиться.

Пусть , , , , .

Преобразуем частичную сумму ряда Фурье

.

Положим х=0 и ; непрерывная на функция, если ее доопределить нулем в точке.

Таким образом, , при . Рассмотрим оператор - линейный оператор из пространства , в пространстве , ставящий с точностью до в соответствие ее частичную сумму ряда Фурье в точке . Пусть , ,

так как интеграл сходится по признаку Дирихле-Абеля. Итак, при и согласно следствию к теореме 4 существует , для которой ряд Фурье расходится в точке .

§8 Обратный оператор.

Пусть оператор А действует из множества Х на множество Y, - область значений оператора А. Если для любого элемента y R(A) уравнение Ax = y имеет единственное решение, то говорят, что оператор А имеет обратный оператор А , то есть х = А y. Очевидно, что х = А Ах и y = АА y, или операторы I = А А, I = АА - тождественные операторы в Х и Y. Если А – линейный оператор, то и А - линейный оператор. Пусть

х = А ( y + y ) - А y - А y , тогда

Ах = АА ( y + y ) - АА y - АА y = y + y - y - y = 0, и поэтому х = А (Ах) = 0.

Теорема 1. Пусть А – линейный оператор, действующий из линейного нормированного пространства Х в линейное нормированное пространство Y, причем существует постоянная m>0 такая, что ||Ах|| m||x|| для всех х из Х.

Тогда существует А - линейный ограниченный оператор.

Доказательство. Прежде всего докажем, что уравнение Ах = y, y R(A), имеет единственное решение. Предположим, их два: х и х : Ах = y, Ах = y, тогда А(х - х ) = 0 и m||х - х || ||A(х - х )|| = 0. Значит, х = х и существует А - линейный оператор. Этот оператор ограничен, ибо

||А y|| ||AА y|| = ||y|| для всех y Y.

Теорема 2 (Теорема Неймана). Пусть А – линейный ограниченный оператор, отображающий банахово пространство Х на себя и ||A|| q < 1. Тогда оператор I-A имеет обратный линейный ограниченный оператор (I-А) .

Доказательство. Определим степени оператора А:

А = А(А ), k = 1,2,3,…, А = I – тождественный оператор. Ясно, что

||А || ||A|| q . Далее = , пространство L(X X) – банахово, значит сумма представляет собой линейный ограниченный оператор. Для любого натурального числа n имеют место соотношения

(I-A) = = = I - A , причем I - A I при n , ибо

||A || ||A|| 0. Следовательно, (I-A) = I, то есть (I-A) = , причем

||(I-A) || .

Замечание. Пусть А, В L(X X). Тогда определен оператор АВ L(X X) по формуле АВх = А(Вх), причем ||AB|| ||A|| ||B||. Действительно,

||ABx|| ||A|| ||Bx|| ||A|| ||B|| ||x|| для любого х Х.

Теорема 3. Пусть оператор А L(X X), где Х – банахово пространство, имеет обратный оператор А и существует линейный ограниченный оператор А такой, что || А||< . Тогда оператор В = А + А, то есть возмущение оператора А, имеет обратный оператор В , причем ||B - А || .

Доказательство. Представим оператор В в виде А + А = А(I + А А) и так как по условию ||A A|| ||A || || A|| < 1, то оператор I + A A имеет по теореме Неймана обратный оператор (I + A A) . Произведение

(I + A A) А является обратным оператором к оператору В и

||B - A || = ||(I + A A) А - A || ||(I + A A) - I|| ||A || = . Теорема доказана.

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
2,74 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее