Лекции Капустина (2006) (1159955), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Доказательство. Пусть слабо, тогда и, значит, {Ax_n}-компактна. Кроме того, слабо в Y, так как, взяв произвольный функционал φ Y*, получим φ(Ax_n)=f(x_n), где f X*, φ(Ax₀)=f(x₀). Из слабой сходимости {x_n} к x₀ следует , или . Таким образом, последовательность {Ax_n} сходится слабо к Ax₀. По лемме 1 эта последовательность сходится сильно к Ax₀. Теорема доказана.

Если оператор А – вполне непрерывен, а В – ограничен, то операторы АВ и ВА – вполне непрерывные.

Теорема 4. Если А – вполне непрерывный оператор, действующий из гильбертова пространства Н в Н, то оператор А* также вполне непрерывен.

Доказательство. Пусть слабо. Докажем, что сильно. Действительно, =(A*(x_n-x₀),A*(x_n-x₀))=(x_n-x₀,AA*(x_n-x₀)) , так как , АА* - вполне непрерывен и по теореме 4 сильно. Поскольку любое в Н ограниченное множество – слабо компактно, то оператор А* переводит ограниченное множество в компактное, то есть является вполне непрерывным.

§13. Теорема фредгольма.

В связи с вопросом об однозначной разрешимости интегральных уравнений вида , , f(x) L₂(E), K(t,s) L2(E×E) рассмотрим теорию уравнений (I-A)x=f, где I – тождественный оператор, А – вполне непрерывный оператор, действующий из Н в Н f H. Обозначим и наряду с уравнением Lx=f будем рассматривать однородное уравнение Lx=0, а также сопряженные уравнения L*y=h и L*y=0.

Лемма 1. Многообразие ImL – замкнуто, где ImL={y H: y=Lx}.

Доказательство. Докажем, что , то есть, если y_n ImL и , то y ImL. По условию y_n=Lx_n=x_n-Ax_n y. Будем считать, что , ибо в противном случае перейдем к x_n-Px_n, где P – ортопроектор на KerL, причем L(Px_n)=0. Покажем, что . Если это не так, то существует подпоследовательность последовательности {X_n}: . По условию , значит , что приводит к соотношению . Так как А – вполне непрерывный оператор, а последовательность ограничена, то существует подпоследовательность последовательности такая, что последовательность сходится. Но когда сходится и последовательность {z_n}, где . Пусть и в силу имеет место . С другой стороны и из сходимости следует при , то есть Lz=0 и, значит, z KerL. Однако все , поэтому , или элемент z ортоганален самому себе. Это возможно только если z=0 и мы получили противоречие с равенством . Итак, , а поэтому существует сходящаяся подпоследовательность . Отсюда следует сходимость подпоследовательности , причем . В пределе получим Lx=y, то есть y ImL. Теорема доказана.

Лемма 2. , .

Непосредственным следствием леммы 2 является следующая

Теорема 1 (1-я теорема Фредгольма). Уравнение Lx=f разрешимо тогда и только тогда, когда , то есть элемент f ортоганален любому решению уравнения L*y=0.

Для любого натурального числа k положим H^k=ImL^k, в частности, H⁰=H=ImL⁰, где L⁰=I, H¹=ImL и так далее. По лемме 1 все H^k – замкнуты и очевидно , причем L(H^k)=H^k+1.

Лемма 3. Существует номер j такой, что H^k+1=H^k при всех .

Доказательство. Если это не так, то все подпространства H^k различны, поэтому по теореме Леви можно построить ортонормированную систему {x_k} так, что x_k H^k и . Пусть l>k: Ax_l-Ax_k=-x_k+(x_l+Lx_k-Lx_l). Выражение в скобках принадлежит H^k+1 и , поэтому , то есть из последовательности {Ax_k} нельзя выделить сильно сходящуюся подпоследовательность, что противоречит полной непрерывности оператора А.

Лемма 4. Если KerL=0, то ImL=H. Если KerL*=0, то ImL*=H.

Доказательство. Если KerL=0, то оператор L отображает H на Н взаимно однозначно, а при ImL≠H цепочка H^k состоит из различных подпространств. По лемме 3 их конечное число, то есть если x₀ H\H¹ и номер k такой, что H^k=^Hk+1, тогда L^kx₀ H^k и существует y H: L^kx₀=L^k+1y, или L(L^k-1x₀-L^ky)=0. Так как KerL=0, то L^k-1x₀=L^ky и так далее. В итоге получим x₀=Ly, что означает x₀ H¹. Полученное противоречие доказывает равенство ImL=H. Аналогично устанавливается соотношение ImL*=H, если KerL*=0. Лемма доказана.

Лемма 5. Если ImL=H, то KerL=0.

Так как ImL=H, то по лемме 2 KerL*=0, но тогда по лемме 4 ImL*=H. Снова применяя лемму 2, получим KerL=0.

Из лемм 4 и 5 непосредственно следует

Теорема 2 (2-я теорема Фредгольма или альтернатива Фредгольма). Либо уравнение Lx=f имеет единственное решение при любой правой части f H, либо уравнение Lx=0 имеет ненулевое решение.

Теорема 3 (3-я теорема Фредгольма). Однородные уравнения Lx=0 и L*y=0 имеют одно и то же и при том конечное число линейно независимых решений.

Доказательство. Пусть . Если , то в подпространстве KerL существует счетная ортонормированная система {x_k}. Из Lx_k=0 следует равенство Ax_k=x_k, причем при l≠k: , то есть из последовательности {Ax_k} нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, что противоречит полной непрерывности оператора А. Таким образом .

Докажем равенство . Пусть и – ортонормированные базисы соответственно в KerL и KerL*. От противного, предположим . Получим .

Так как оператор S получается сложением оператора L и конечномерного оператора, то все результаты для оператора L справедливы и для S. Покажем, что уравнение Sx=0 имеет только тривиальное решение. Итак, . По лемме 2 , значит для всех . Поэтому Lx=0, то есть x KerL и одновременно , следовательно x=0.

Из утверждения о том, что уравнение Sx=0 имеет только тривиальное решение по 2-ой теореме Фредгольма следует существование элемента y, для каждого справедливо равенство .

Умножая это равенство скалярно на , получим слева 0, а справа 1, ибо Ly ImL, а . Противоречие означает, что . Заменив теперь в наших рассуждениях L на L*, докажем неравенство . Таким образом и теорема доказана.

Теорема 4. В любом сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис, то есть полная ортонормированная система.

Доказательство. Пусть G = { …} – счетное и всюду плотное в гильбертовом пространстве H множество =H ( ). Положим и обозначим через - подпространство, порожденное . Выберем - первый по счёту элемент, не принадлежащий и рассмотрим - его проекцию на Ө . Так как , то , а через обозначим подпространство, порождённое и . Пусть - первый по счёту за и его проекция на Ө . Так как , то и так далее. Получим ортонормированную систему { } и в силу того, что любой элемент по построению, то замыкание линейной оболочки системы { } совпадает с H, то есть эта система образует базис. Теорема доказана.

Теорема 5. Любое комплексное (вещественное) сепарабельное гильбертово пространство изоморфно и изометрично комплексному (вещественному) пространству , то есть все комплексные (вещественные) сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны и изометричны между собой.

Доказательство. Пусть H – сепарабельное гильбертово пространство и { } – ортонормированный базис в нём. Если x – любой элемент из H, то , и так как , то . Пусть , и - числа из поля. Ясно, что , , , следовательно отображение сохраняет линейную операцию и расстояние. Обратно, пусть . Рассмотрим в H последовательность . Так как при n,m , то последовательность { } – фундаментальная. В силу полноты H имеет место , а имея в виду , получаем для любого элемент , где - коэффициенты Фурье. Таким образом отображение взаимно однозначно, а из рассуждений выше следует, что оно изометрично и изоморфно. Теорема доказана.

Непосредственным следствием из теоремы 5 является

Теорема 6 (теорема Рисса-Фишера). Пространства и изоморфны и изометричны, причём , где .

Теорема 7. В сепарабельном гильбертовом пространстве H ограниченная последовательность { } содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть и так как Н – сепарабельно, то в нём существует ортонормированный базис { }. В силу по теореме Больцано-Вейерштрасса существует подпоследовательность { } для которой сходится. Так как то существует подпоследовательность { } для которой сходится и так далее. Возьмём диагональную последовательность { }, то есть последовательность, где элемент равен n-му члену подпоследовательности для базисного элемента . Для неё сходится при и также сходится , где - любая линейная комбинация из элементов ортонормированного базиса.

Докажем сходимость последовательности для любого элемента . Пусть - любое наперёд заданное число. Тогда существует линейная комбинация такая, что выполняется неравенство . Выберем номер N=N( ), для которого при всех n,m N выполняется неравенство . Тогда , тем самым сходимость последовательности доказана для любого .

Покажем, что существует слабый предел последовательности . Обозначим - линейный функционал на H. По теореме Рисса-Фреше , то есть , а, значит, - слабый предел для . Теорема доказана.

§11.Сопряжённый оператор.

Характеристики

Список файлов лекций