Лекции Капустина (2006) (1159955), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Теорема 4 (теорема Банаха об обратном операторе). Если линейный ограниченный оператор А отображает банахово пространство Х на банахово пространство Y взаимно однозначно, то существует линейный ограниченный оператор А , обратный к оператору А, отображающий Y на Х.

Доказательство. По условию линейный оператор А устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами Х и Y. По доказанному выше обратный оператор А , отображающий Y на Х, также является линейным. Остается доказать ограниченность оператора А .

Обозначим через Y множество элементов y Y таких, что ||A y|| n||y||. Каждое из множеств Y не пусто, так как, например, нулевой элемент пространства Y принадлежит всем Y . Кроме того, всякий элемент y Y, y 0, попадает в множество Y , если в качестве n взять любое целое число, превосходящее . Поэтому можно записать Y = .

Ввиду того, что полное пространство Y не может быть объединением счетного числа нигде не плотных множеств (теорема Бэра категориях из §6), по крайней мере, одно из множеств Y не является нигде не плотным. Следовательно, существует шар В(y,r), в котором множество В(y,r) Y всюду плотно. Рассмотрим шар , лежащий целиком внутри В(y,r) и такой, что y Y . Возьмем любой элемент y с нормой ||y|| = r . Элемент y+y , ибо ||(y + y ) - y || = r . Так как , то найдется последовательность элементов {z } из Y и такая, что z y+y при k , Эта последовательность может быть стационарной, если y+y Y .

Обозначим y = z -y y; при этом можем считать, что ||y ||, и, кроме того, ||y || r .

Так как z и y Y , то

||A y || = ||A z - A y || ||A z || + ||A y || n (|| z || + ||y ||).

Далее, ||z || = ||y + y || ||y || + ||y || r + ||y ||.

Поэтому имеем оценку ||A y || n (r + 2||y ||) .

Обозначим через N наименьшее целое число, превосходящее .

Для элементов последовательности {y } справедливо неравенство

||A y || N||y ||, откуда следует, что все y Y .

Итак, любой элемент y с нормой, равной r , можно аппроксимировать элементами из Y . Пусть теперь y – любой элемент из Y. Рассмотрим элемент y’ = y,

||y’|| = r . По доказанному найдется последовательность {y’ } элементов из Y , сходящаяся к y’. Тогда y = y’ y и справедливы соотношения

||A y || = ||A y’ || N||y’ || = N||y ||.

Отсюда следует, что y Y , то есть множество Y всюду плотно в Y.

Рассмотрим снова произвольный элемент y Y. Пусть ||y|| = . Выберем y Y такой, что ||y - y || , ||y || .

Это можно сделать, так как (0, ) Y всюду плотно в В(0, ) и y (0, ). Найдем далее элемент y Y такой, что ||(y - y ) - y || , ||y || ; возможность выбора обеспечена тем, что (0, ) Y всюду плотно в (0, ) и y - y (0, ). Продолжая этот процесс, построим элементы y Y такие, что ||y – (y + … + y )|| , ||y || .

В итоге получим представление . Обозначим х = А y , тогда ||x || N||y || . Последовательность {S }, где S = , при n сходится к некоторому пределу x E, так как

||S - S || = || || <

и Х – полное пространство. Следовательно,

.

Далее .

Отсюда .

Так как y – любой элемент из Y, то ограниченность оператора A доказана.

§9 Линейные функционалы

Выше мы определили линейные функционалы как линейные непрерывные операторы со значениями в .

Теорема 1(теорема Хана-Банаха). Любой линейный функционал , определённый на линейном многообразии линейного нормированного пространства X, можно продолжить на всё пространство X с сохранением нормы, то есть существует линейный функционал , определённый на всём X и такой, что для любой точки ,

Доказательство. Пусть и - множество элементов вида , где , а t – любое действительное число. Множество - линейное многобразие и каждый его элемент однозначно представим в таком виде. Пусть ; если , то ; если , то и , что невозможно.

Выберем любые два элемента и из L. Справедливы соотношения , из которых вытекает неравенство , а в силу произвольности элементов и имеет место оценка

.

Пусть u – любой элемент из L. Введём функционал на по правилу . На L имеет место равенство , так как . Очевидно, что -линеен; покажем ограниченность функционала и равенство .

Если , то из принадлежности элемента многообразию L и неравенства для постоянной с справедливы соотношения

, итогом которых является неравенство

. При имеем , а, значит,

, то есть . Заменяя в этих рассуждениях элемент u на (-u), получим , в совокупности . Мы доказали неравенство , но так как есть продолжение , то его норма не может быть уменьшена; следовательно, .

Закончим доказательство теоремы в случае сепарабельного пространства X, то есть такого пространства, в котором существует счётное всюду плотное множество элементов , , … . Пусть эти элементы линейно независимы и не попали в . Продолжая функционал с многообразия на многообразия , , …, мы построим линейный функционал , определённый на всюду плотном в X линейном многообразии , причём . Доопределим на всё пространство X по непрерывности. Если , то существует последовательность элементов из и при , причём . Следовательно, последовательность имеет предел , однозначно определяющая функционал на X. Этот функционал линеен в силу линейности и линейности операции предельного перехода. Ограниченность вытекает из того, что следствием неравенства является неравенство . Итак, , а так как -продолжение функционала , то его норма не может быть уменьшена. Мы доказали формулу , завершив тем самым доказательство теоремы.

Следствие 1. Пусть X – линейное нормированное пространство, , . Тогда в X существует линейный функционал такой, что , .

Доказательство. Пусть . На линейном многообразии L определим функционал : если , то . Ясно, что , , то есть . Продолжая функционал на всё пространство X с сохранением нормы, получим требуемый функционал.

Замечание. Это следствие доказывает существование в любом линейном нормированном пространстве X нетривиальных линейных функционалов, то есть . С другой стороны из следствия 1 вытекает, что если для некоторого элемента выполнено равенство для всех , то .

Следствие 2. Пусть X – линейное нормированное пространство, . Тогда в X существует линейный функционал такой, что . Следует положить и воспользоваться утверждением следствия 1.

Обсудим вопрос об общем виде линейного функционала в различных нормировнных пространствах.

1) Если -конечномерное и - ортонормированный базис, то . Тогда любой линейный функционал однозначно определяется числами

2) Если -бесконечномерное пространство элементов таких, что . Пусть -ортонормированный базис , тогда , . Выясним свойства чисел . Рассмотрим последовательность элементов , где Справедливы соотношения , откуда в сиду произвольности числа n следует неравенство или . С другой стороны в сиду неравенства Гёльдера , или . Значит, , то есть . Заметим также, -рефлексивно.

3) Если . Можно показать, что -однозначно определяемая функция по функционалу , причём

4) Если . Справедлива теорема Расса, в которой утверждается, что любой линейный функционал на имеет вид , где , - фиксированная функция с ограниченным изменением:

, где точная верхняя грань берётся по всевозможным разбиениям

Непосредственным следствием теоремы Банаха-Штейнгаузена для функционалов являются её следующие аналоги.

Теорема 2. Пусть -последовательность элементов из банахового пространства X такая, что последовательность ограничена для любого функционала . Тогда существует постоянная и такая, что , то есть последовательность ограничена в X.

Теорема 3. Пусть X – банахово пространство, , числовая последовательность ограничена в , то есть .

Определение 1. Последовательность элементов линейного нормированного пространства X называется слабо сходящейся к элементу , если для любого линейного функционала числовая последовательность сходится к .

В силу замечания к следствию 1 из теоремы 1 слабый предел единственен. Из теоремы 2 вытекает ограниченность слабо сходящейся последовательности.

Сильная сходимость влечёт за собой слабую сходимость, так как . Обратное неверно. Рассмотрим и последовательность элементов из , , единица стоит на месте с номером n, . Так как ряд сходится, то при и, значит, сходится к , или слабо. Однако, , и последоватеьность не фундаментальна.

Теорема 4. Последовательность линейного нормированного пространства X сходится сильно тогда и только тогда, когда последовательность сходится равномерно в единичном шаре .

Характеристики

Список файлов лекций