Лекции Капустина (2006) (1159955), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Пусть дано множество X метрического пространства M. Точка называется предельной точкой этого множества, если любая окрестность точке а содержит хотя бы одну точку множества X \ {a}, то есть для любого r. Множество, полученное присоединением к X всех его придельных точек, называется замыканием множества X и обозначается . Множество X называется замкнутым, если X = . Множество Y называется открытым, если его дополнение M \ Y замкнуто. Множество X называется всюду плотным в пространстве M, если = M. Множество X называется нигде не плотным в пространстве M, если каждый шар этого пространства содержит в себе шар, свободный от точек множества X.

Определение 3. Если в метрическом пространстве M каждая фундаментальная последовательность является сходящейся, то пространство M называется полным.

Фиксируем число . Рассмотрим множество числовых последовательностей таких, что . Это множество обозначается . Метрика для элементов и вводится по формуле

Справедливость аксиомы треугольника для таким образом введенного расстояния проверяется по схеме, изложенной в §5 для доказательств неравенств Гельдера и Минковского (здесь фактически имеет место дискретный аналог этих неравенств).

Докажем полноту пространства . Для этого рассмотрим фундаментальную последовательность этого пространства, то есть последовательность, у которой для любого выполняется неравенство

для всех . Отсюда следует, что для любого индекса i имеет место

при . Фиксируем число i. Последовательность фундаментальная, поэтому она сходится к некоторому пределу , или .

Обозначим . Для любого натурального числа k справедливо неравенство

.

Переходя к пределу при , получим

при . В свою очередь, переходя к пределу при , будем иметь

при . Отсюда следует, что . Кроме того, при , и полнота пространства доказана.

Теорема 1(о вложенных шарах). Пусть дана в полном метрическом пространстве M последовательность замкнутых шаров, вложенных друг в друга (то есть таких, что каждый последующий шар содержится внутри предыдущего), радиусы которых стремятся к нулю. Тогда существует и притом единственная точка, принадлежащая всем этим шарам.

Доказательство. Обозначим рассматриваемые шары следующим образом:

.

По условию теоремы

.

Рассмотрим последовательность центров этих шаров:

.

Так как , то . Поэтому . Следовательно, при независимо от номера p, т.е. последовательность центров сфер является фундаментальной.

В силу того, что пространство M - полное, эта последовательность сходится в некоторому пределу . Возьмем любой шар . Тогда точки принадлежат этому шару. В силу замкнутости шара предельная точка а этой последовательности также принадлежит . Таким образом, принадлежит всем шарам.

Допустим, что существует еще одна точка b, принадлежащая всем шарам и отличная от точки a, так, что . Так как a и b , то

,

что невозможно, ибо при . Теорема доказана.

Определение 4. Множество X называется множеством 1-ой категории, если она может быть представлено в виде суммы конечного или счетного числа нигде не плотных множеств. Множество, не являющееся множеством 1-ой категории, называется множеством второй категории.

Теорема 2(Бэра о категориях). Полное метрическое пространство есть множество 2-ой категории.

Доказательство. Предположим противное и допустим, что полное пространство , где множества нигде не плотны. Возьмем шар с центром в произвольной точке a и радиусом, равным единице. Так как нигде не плотно, то внутри шара найдется шар радиуса , не содержащий точек множества . Так как нигде не плотно, то внутри шара найдется шар радиуса , не содержащий точек множества и так далее.

Мы получили последовательность замкнутых шаров

,

каждый из которых вложен в предыдущий и радиусы которых стремятся к нулю. При этом шар не содержит точек множеств . По теореме 1 существует точка , принадлежащая всем шарам. С другой стороны, эта точка не принадлежит ни одному из множеств , поэтому . Мы получили противоречие, которое и доказывает теорему.

Если рассмотреть числовую прямую с обычной евклидовой нормой как метрическое пространство, то множество рациональных точек на представляет собой множество 1-ой категории, а множество иррациональных точек является множеством 2-ой категории.

Теорема 3 (принцип сжатых отображений). Пусть в полном метрическом пространстве M задан оператор A, переводящий элементы пространства M в элементы этого пространства. Пусть, кроме того,

,

где , а x и y - любые элементы M. Тогда существует и притом единственная точка и такая, что . Эта точка называется неподвижной точкой оператора A, который, в свою очередь, называется сжатым (сжимающим) отображением.

Доказательство. Зафиксируем произвольный элемент и положим , , … , ,… . Покажем, что последовательность является фундаментальной. В связи с этом, заметим

,

…, , … .

Далее,

.

Из этой оценки следует, что , то есть - фундаментальная последовательность. В силу полноты M существует элемент , . Докажем, что . В самом деле,

.

Но при достаточно больших значениях n выполняются неравенства: , , следовательно для произвольного числа . Поэтому или .

Докажем единственность неподвижной точки. Предположим, что существуют два элемента такие, что , . Тогда , а это возможно при только в случае . Теорема доказана.

Рассмотрим пример на применения принципа сжатых отображений из теории интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода. Пусть K(s,t) - функция, определенная и измеримая на квадрате и такая, что . Пусть, кроме того, . Тогда интегральное уравнение имеет при каждом достаточно малом значении параметра единственное решение .

Введем оператор . Покажем, что этот оператор действует из в . Для этого достаточно доказать выполнение указанного свойства для оператора . Пусть . Тогда согласно неравенству Коши - Буняковского:

.

Следовательно, в силу теоремы Фубини и мажорантного признака, функция

интегрируема на интервале (a,b) , причем

.

Оценим теперь . Имеем:

.

Если , то мы находимся в условиях применения принципа сжатых отображений.

Определение 5. Пусть X - линейное пространство над полем вещественных или комплексных чисел. X называется линейным нормированным пространством, если каждому его элементу x поставлено в соответствие вещественное число , называемое нормой этого элемента, причем выполнены следующие аксиомы:

1) ,

2) , - число из поля,

3) .

Сходимость последовательности из линейного нормированного пространства отождествляется со сходимостью в метрике , причем полное линейное нормированное пространство называется банаховым.

Примеры:

1) - n мерное евклидово пространство, банохово пространство с нормой , где ;

2) C[0,1] - пространство непрерывных на [0,1] функций с нормой , отвечающий равномерной сходимости, поэтому С[0,1] также банохово пространство:

3) , . , - банохово пространство в силу теоремы 1 из §5;

4) , , , , - банохово пространство (доказательство в начале этого параграфа) ;

5) - пространство на [0,1] функций, имеющих непрерывную производную порядка m , - банохово пространство.

Определение 6. Линейное многообразие L линейного нормированного пространства X называется подпространством, если множество L замкнуто относительно сходимости по норме.

Отметим, что из при следует , так как в частности, если последовательность - ограниченная числовая последовательность.

Теорема 4 (теорема Рисса). Пусть L - подпространство линейного пространства X, . Тогда для любого существует элемент , и такой, что для .

Доказательство. Фиксируем произвольный элемент и обозначим . Тогда d > 0, ибо если d = 0, то и (в силу замкнутости L), что невозможно. Для любого существует такой, что . Положим ; , так как в противном случае , что невозможно, . Далее, . Теорема доказана.

§7. Линейные операторы.

Пусть X и Y – линейные нормированные пространства над полем действительных или полем комплексных чисел.

Определение 1. Отображение A:X Y (y = Ax), то есть оператор А, определяемый на X с областью значений в Y, называется линейным оператором, если для любых элементов , X и любого числа λ справедливы равенства:

а) A( + ) = A + A ,

Характеристики

Список файлов лекций